真题题型全库（期末 6/22）
穷尽 5 套往年期末真题（2018 / 2019线上 / 2020 / 2021线上 / 2022）+ 2025 期中，逐题型给 频次·年份 + 标准解法 + 真题原型 + 易错
本届范围（2026 确认）：多元微分 → 重积分 → 曲线/曲面积分（含格林/高斯）→ 无穷级数 → 一阶微分方程（凑全微分）。斯托克斯不考、傅立叶不考。重心在后半（曲线曲面积分 + 级数，大题常占 50+ 分）。
卷型与分值（近 6 年固定）
| 题型 | 题量 | 分值 | 考查重心 |
|---|
| 单项选择 | 5 | 15 | 级数敛散判断(必1) + 曲面积分/切线/可微/收敛域 |
| 填空 | 5 | 15 | 对称性积分、凑微分ODE、散度/梯度、交换次序、级数表定积分 |
| 计算/应用大题 | ~6 | 62~70 | 重心 |
| 证明题 | 1 | 8 | 几乎年年级数证明（压轴） |
| 大题号 | 分 | 题型 | 真题对应 |
|---|
| T11 | 8 | 极值 / 切平面切线 | 22求极值、20切平面、18切线 |
| T12 | 8 | 二重积分 / 第一型曲线积分 | 22面积、20弧长、18曲线质量 |
| T13 | 10 | 第一型曲面质量 / 路径无关做功 | 22抛物面壳、20路径无关、18做功 |
| T14 | 8~10 | 第二型曲面（投影/高斯） | 22下侧投影、20椭球高斯 |
| T15 | 10 | 第二型曲面（高斯凑面） | 18抛物面下侧、20椭球凑面 |
| T16 | 8 | 收敛域 / 展开幂级数 | 18/20收敛域、22展开 |
| T17 | 10 | 级数求和 / 展开 | 18求和、22求和函数 |
| T18 | 8 | 级数证明 | 18半径=1、20φ连续、22绝对收敛 |
题型1 ★★★ 第二型曲面积分（高斯+投影）5/5 年 · T14/T15 · 10分
出现：2018-T15、2020-T15、2022-T14、2019线上Q33/34、2021线上Q19/23。大题最高频、最高分值。
标准解法（决策树）
- 判断曲面是否封闭。
- 封闭 → 直接高斯：$\oiint_{\Sigma_外} P\dd y\dd z+Q\dd z\dd x+R\dd x\dd y=\iiint_\Omega(P_x+Q_y+R_z)\dd V$。内侧取负。
- 不封闭 → 补面凑封闭：补简单面（常 $z=$ 常数），所求 $\iint_\Sigma=\iint_{封闭外侧}-\iint_{\Sigma_1}$。
- 投影法（不补面）：合一投影 $\pm\iint_{D_{xy}}(-Pz_x-Qz_y+R)\dd x\dd y$，上侧 +、下侧 −。
真题原型（2018-T15）：$\iint_S y^2\dd y\dd z+(z^2+1)\dd x\dd y$，$S$ 抛物面 $z=x^2+y^2$ 介于 $z=1,2$ 的
下侧。下侧 → 配 $(2x,2y,-1)$，对称砍 $2xy^2$，$=-\int_0^{2\pi}\dd\theta\int_1^{\sqrt2}r(r^4+1)\dd r=\boxed{-\dfrac{10\pi}{3}}$。
→ 详细步骤+图见 ch10-6 真题精选
真题原型（2020-T15）：椭球面 $4x^2+4y^2+z^2=1(z\ge0)$ 上侧，分母在曲面上 $\equiv1$（假奇点直接提出），补底面用高斯，$\boxed{\dfrac{31\pi}{60}}$。
易错（你的命门）：① "与 z 轴正向成锐角"在凹朝上碗壁 = 内侧（要负号）；② 补面后所求 = 封闭外侧 − 补面，给定面朝内多一个负号；③ 投影法忘按上/下侧加正负号；④ 化第一类方向余弦必须单位化。
题型2 ★★★ 幂级数收敛域/收敛半径5/5 年 · T16 · 8分
出现：2018-T16、2020-T16、2022-T17(1)、2019线上Q3/16、2021线上Q7/17。
标准解法
- 含 $(x-a)$ 或 $(2x-1)$ 先换元 $t=2x-1$，化标准 $\sum a_n t^n$。
- 求半径 $R=\dfrac1{\lim\sqrt[n]{|a_n|}}=\dfrac1{\lim|a_{n+1}/a_n|}$。
- 多部分相加 → 各求 $R$，取较小者（交集）。
- 两端点单独代入判敛（Leibniz / p级数 / 调和），写半开半闭。
2018-T16：$\sum[4^n+(2+\tfrac1n)^n](2x-1)^n$。$R_1=\tfrac14,R_2=\tfrac12$ 取小，端点 $(\pm1)^n$ 发散。$\boxed{x\in(\tfrac38,\tfrac58)}$。
2020-T16：$\sum[(1+\tfrac1n)^{n^2}+\tfrac{(-1)^n3^n}{n+1}]x^n$，$R=\tfrac13$。$x=\tfrac13$ Leibniz 收，$x=-\tfrac13$ 调和发。$\boxed{(-\tfrac13,\tfrac13]}$。
→ 两题详解见 ch11-2 真题精选
易错：漏验端点必失分；两端点判别法可能不同；含 $(2x-1)^n$ 别忘换元后区间换回 $x$。
题型3 ★★★ 级数求和函数 / 展开成幂级数5/5 年 · T17 · 10分
出现：2018-T17、2020-T17、2022-T16/T17、2019线上Q12/Q24。
(A) 求和函数：逐项积分/求导，凑已知展开
$\sum nx^{n-1}=(\sum x^n)'=\dfrac1{(1-x)^2}$；$\sum\dfrac{x^{2n}}{2n-1}$ 型：提 $x$，求导得 $\dfrac1{1-x^2}$，再积分回去。
2018-T17：$\sum\dfrac1{(2n-1)9^n}$。构造 $S(x)=\sum\dfrac{x^{2n}}{2n-1}$，$\left(\tfrac{S}{x}\right)'=\dfrac1{1-x^2}\Rightarrow\tfrac Sx=\tfrac12\ln\tfrac{1+x}{1-x}$，代 $x=\tfrac13$，$\boxed{\dfrac{\ln2}{6}}$。
2022-T16：$f=\ln\sqrt{\tfrac{1+x}{1-x}}=\tfrac12[\ln(1+x)-\ln(1-x)]=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$，收敛域 $(-1,1)$（两端点退化为 $\pm\sum\tfrac1{2n+1}$ 发散）。
2020-T17：$f=\dfrac{x}{(x^2-1)^2}+\arctan x=\sum[\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}+n]x^{2n-1},\ x\in(-1,1)$。
易错：裂项展开漏项/符号反（你 5/28 卡过）；端点收敛性单独判。
题型4 ★★★ 级数证明题（压轴）5/5 年 · T18 · 8分
出现：2018-T18、2020-T18、2022-T18、2019线上Q39、2021线上Q25/35。几乎年年压轴。这是你的头号攻坚。
四大法宝
- 收敛必要条件 $a_n\to0$：压到 $<1$ 得 $a_n^2\le a_n$。
- 有界 $|na_n|\le M\Rightarrow a_n\le M/n$ → 比 $p=2$。
- 均值不等式 $|ab|\le\tfrac12(a^2+b^2)$：拆乘积为平方和。
- 标尺级数 $\sum1/n^p$（$p>1$ 收）+ 比较判别法。
2022-T18：$|f'|<\tfrac f2$，$a_n=\ln f(a_{n-1})$，证 $\sum(a_n-a_{n-1})$ 绝对收敛。拉格朗日 $\Rightarrow|a_{n+2}-a_{n+1}|\le\tfrac12|a_{n+1}-a_n|$，等比放缩 + 比较。
2018-T18：$\sum a_n$ 发散，(1) 有界 ⇒ $\sum a_nx^n$ 半径 $=1$（两边夹）；(2) 部分和 $S_{n-1}/S_n\to1$。
2020-T18：收敛域 $[-1,1]$，(1) $x=0$ 连续（$\varepsilon$-$\delta$）；(2) 交换求和次序，$\sum\tfrac1{n^k}$ 在 $k=0,1$ 发散 ⇒ $a_0=a_1=0$。
→ 四法宝逐条 + 三题详解见 ch11-1 级数证明四大法宝
易错：$\rho=1$ 比值法失效改比较；$\arctan n\to\tfrac\pi2$ 有界（你曾写反 $\arctan n>n$）；阿贝尔变换错位项写部分和。
题型5 ★★ 第一型曲线积分（弧长/质量）4/5 年 · T12 · 8分
标准步骤
平面显式 $\dd s=\sqrt{1+y'^2}\dd x$；空间参数 $\dd s=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\dd t$；曲线方程代入被积函数消元化定积分。
2018-T12：$L:y=\tfrac{e^x+e^{-x}}2(0\le x\le1)$，$\rho=3x$。$\dd s=\tfrac{e^x+e^{-x}}2\dd x$（双曲恒等式化根号），$m=\boxed{3(1-\tfrac1e)}$。
2020-T12：$C:x=\cos t,y=\sin t,z=\sqrt2 t$。$\dd s=\sqrt3\dd t$，$\int_C(x-2y)^2\dd s=\boxed{5\sqrt3\pi}$。
易错：根号下能否化简（双曲、$\sqrt{t^2+2}$）；空间曲线别漏 $z'$ 项。
题型6 ★★ 第一型曲面积分（面积/质量）4/5 年 · T13/T14 · 8~10分
标准步骤
投影到 $xOy$：$\dd S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\dd x\dd y$；先用对称性砍项（奇偶/轮换）；化二重积分，多用极坐标。
2022-T13：抛物面壳 $z=\tfrac12(x^2+y^2)(0\le z\le1)$，$\rho=z+\tfrac12$。$m=\boxed{\dfrac{(9\sqrt3-1)\pi}5}$。
2018-T14：球面 $z\ge\tfrac a2$ 部分，$\iint(x-y+5z^3)\dd S$。对称性 $x,y$ 奇 → 消，$=\boxed{\dfrac{75}{32}\pi a^5}$。
易错：球/柱面 $R$ 是常数（球 $\dd S=R^2\sin\varphi\dd\varphi\dd\theta$，柱 $\dd S=R\dd\theta\dd z$，无大根号）；投影区域三角形 vs 矩形别搞错（你 5/10 翻倍踩坑）。
题型7 ★★ 平面曲线积分：路径无关/做功（Green）5/5 年 · T13/选择 · 10分
标准步骤
- 验路径无关 $Q_x=P_y$（单连通）。
- 无关 → 换最简折线路径，或凑全微分求原函数 $u$，积分 $=u(终)-u(始)$。
- 闭曲线 → Green $\oint=\iint_D(Q_x-P_y)\dd x\dd y$（正向逆时针）。
- 奇点（原点）"打洞"：$\tfrac1{x^2+y^2}$ 型挖小圆，外逆内顺。
2022-T15：$I=\int_{OA}(ax\cos y-y^2\sin x)\dd x+(by\cos x-x^2\sin y)\dd y$ 路径无关。$Q_x=P_y\Rightarrow a=b=2$，凑 $\dd(x^2\cos y+y^2\cos x)$，$I=\boxed{2\cos1}$。
2018-T13：做功，验得路径无关走折线，$\boxed{\dfrac{\pi^2}4}$。2020-T13：$Q_x=P_y$ 解 $\lambda=1$，$\boxed{-\tfrac12\ln2}$。
易错：用 Green 前先查 $P,Q$ 在区域内处处有定义（原点打洞）；开弧需补线段成闭再 Green。详见
ch10-3。
题型8 ★★ 切平面 / 空间曲线切线4/5 年 · T11 · 8分
标准步骤
曲面 $F=0$ 法向量 $(F_x,F_y,F_z)$；$z=f(x,y)$ 法向量 $(-f_x,-f_y,1)$；两曲面交线切向量 = 两法向量叉积 $\vec n_1\times\vec n_2$；参数曲线切向量 $(x',y',z')$。标准型 $\tfrac{x-x_0}m=\tfrac{y-y_0}n=\tfrac{z-z_0}p$。
2018-T11：交线在 $(1,-1,0)$ 切线。$\vec n_1=(2,2,-1),\vec n_2=(2,-4,0)$，叉积 $\parallel(2,1,6)$，$\boxed{\tfrac{x-1}2=\tfrac{y+1}1=\tfrac z6}$。
2022-Q1：曲线 $y=-x^2,z=x^3$ 切线与平面 $x+2y+z=2$ 平行：$1-4x+3x^2=0\Rightarrow x=\tfrac13,1$，2 条。
易错：交线切向量是叉积不是直接代；$z=f(x,y)$ 法向量第三分量是 $+1$。
题型9 ★★ 多元函数极值 / 最值4/5 年 · T11/T13 · 8~10分
标准步骤
无条件：解 $f_x=f_y=0$，判别式 $\Delta=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$（$\Delta>0\&f_{xx}<0$ 极大，$>0\&f_{xx}>0$ 极小，$\Delta<0$ 非极值）。条件极值：拉格朗日 $\nabla f=\lambda\nabla g$。闭区域：内部驻点 + 边界 + 端点全比较。
2022-T11：$f=(x+\tfrac{y^2}2)e^{x+y}$，驻点 $(-\tfrac32,1)$，$\Delta=e^{-1}>0,f_{xx}>0$，极小值 $-e^{-1/2}$。
2018-Q3：$xy^3$ 在 $x^2+y^2=4$ 下最大值。均值不等式 $\le\boxed{3\sqrt3}$。
易错：闭区域别漏边界；$\Delta=0$ 判别失效需定义判；拉格朗日多解全比较。
题型10 ★★ 二重积分（换元/换序/极坐标）5/5 年 · T12/填空 · 8分+
标准技巧
交换次序必画图；极坐标 $\dd x\dd y=r\dd r\dd\theta$（圆/扇形/含 $x^2+y^2$）；一般换元雅可比 $|J|$；对称性先砍项（奇偶 + 轮换）。
2022-T12：$y^2=x,y^2=3x,y=x,y=2x$ 围成面积。换元 $u=\tfrac{y^2}x,v=\tfrac yx$，$\boxed{\dfrac76}$。
2018-Q1：$\int_1^e\dd x\int_0^{\ln x}f\dd y$ 交换序 $=\int_0^1\dd y\int_{e^y}^e f\dd x$。
易错：交换次序
不画图必错；$|\sin x|$ 分段；换元雅可比别漏绝对值。详见
积分区域专题。
题型11 ★★ 三重积分（柱/球/截面法）4/5 年 · 填空/选择 · 3~6分
标准技巧
柱坐标 $\dd V=r\dd r\dd\theta\dd z$（旋转体、含 $x^2+y^2$）；球坐标 $\dd V=\rho^2\sin\varphi\dd\rho\dd\varphi\dd\theta$（$\varphi$ 是与 $z$ 轴夹角）；先一后二（截面法）$\int\dd z\iint_{D_z}$；轮换/奇偶对称先砍。
2020-Q2：锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=1$，$\iiint(z+x^2-y^2)\dd V$。$x^2-y^2$ 轮换对称积分 0，只剩 $\iiint z\dd V$，柱坐标算，$\boxed{\dfrac\pi4}$。
易错：球坐标 $\varphi$ 是与 z 轴夹角（不是 $xy$ 平面）；锥面对应 $\varphi$ 范围。
题型12 ★ 一阶微分方程（凑全微分/通解）5/5 年 · 填空 · 3分
凑微分黄金组合
- $y\dd x+x\dd y=\dd(xy)$
- $\dfrac{y\dd x-x\dd y}{y^2}=\dd(\tfrac xy)$，$\dfrac{x\dd y-y\dd x}{x^2}=\dd(\tfrac yx)$
- $\dfrac{x\dd y-y\dd x}{x^2+y^2}=\dd(\arctan\tfrac yx)$
- $\dfrac{x\dd x+y\dd y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dd\sqrt{x^2+y^2}$
偏积分法 $u=\int P\dd x+C_1(y)$，再令 $u_y=Q$ 反解 $C_1(y)$。难凑时打不过倒过来（看作 $x(y)$ 化一阶线性）。
2018-T9：$y\dd x+(y-x)\dd y=0\Rightarrow\dd(\tfrac xy)+\dd(\ln y)=0$，$\boxed{\tfrac xy+\ln y=C}$。
2022-T7：$(x-\sqrt{x^2+y^2})\dd x+y\dd y=0\Rightarrow\boxed{\sqrt{x^2+y^2}=x+C}$。
易错（你 5/20 卡）：偏积分必补 $C_1(y)$（对 x 积分丢的只含 y 项）；求"通解"不必讨论 $y=0$ 特解。
题型13 ★ 选择：级数敛散性判断5/5 年 · 每年≥1题
判敛流水线
① 通项极限 ≠ 0 → 直接发散；② 含 $a^n/n!$ → 比值/根值（$\rho=1$ 改比较）；③ 多项式分式 → 比较 + p级数；④ 含 $\ln/\arctan/\sin$ → 有界放缩；⑤ 含 $\ln(1+x)/e^x-1$ → 等价无穷小；⑥ 交错 → Leibniz。
2018-Q4（找发散）：(C) $\ln\tfrac{n+3}{n+2}=\ln(1+\tfrac1{n+2})\sim\tfrac1{n+2}$ 发散。其余 (A)(B)(D) 收敛。
陷阱：加括号后通项 $\sim c/n$ 发散；$\sum\sqrt{a_na_{n+1}}$ 收敛推不出 $\sum a_n$ 收敛。流水线图见
ch11-1。
题型14 ★ 二重极限（存在性/计算）3/5 年
方法
存在：夹逼 / 极坐标代入看是否与 $\theta$ 无关；不存在：找两条路径（$y=kx,y=x^2$）给不同极限；$1^\infty$ 型：凑 $e^{\lim(底-1)\cdot指数}$。
2025期中-T11：$\left(\tfrac{x^4+x^2y^2}{2x^4+y^4}\right)^{1/(x^2+y^2)}$，底 $<1$、指数 $\to+\infty$ → 整体 $\to0$（需严格放缩）。
题型15 ★ 散度/旋度/梯度/方向导数4/5 年 · 填空/选择
公式
梯度 $\nabla f=(f_x,f_y,f_z)$；方向导数 $\tfrac{\pp f}{\pp\vec l}=\nabla f\cdot\vec l^0$（$\vec l$ 先单位化），最大值 = $|\nabla f|$；散度 $\mathrm{div}\vec F=P_x+Q_y+R_z$（标量）；旋度（向量）；$\mathrm{div}(\nabla f)=\Delta f$。
2020-T8：$f=x^2\cos(y+3z)$，$\mathrm{div}(\nabla f)|_{(1,0,0)}=2-1-9=\boxed{-8}$。
2022-T9：$\vec F=(xy+\cos x,xy+\sin x,xyz)$，$\mathrm{div}\vec F|_{(2,1,0)}=\boxed{5-\sin2}$。
易错：方向导数用公式前提 = 可微；方向向量
必单位化（你 5/14 卡过）。详见
ch8-6。
题型16 ★ 用级数表示定积分3/5 年 · 填空 · 3分
方法
被积函数（含 $\ln$）展开成幂级数，逐项积分。常用 $\int_0^1 x^{2n}\ln x\,\dd x=-\dfrac1{(2n+1)^2}$。
2022-T10：$\int_0^1\dfrac{\ln x}{1-x^2}\dd x=-\sum\dfrac1{(2n+1)^2}=\boxed{-\dfrac{\pi^2}8}$（用 $\sum\tfrac1{(2n+1)^2}=\tfrac{\pi^2}8$）。
题型17 ★ 隐函数/复合函数求偏导期中重点·期末偶考
公式
$F(x,y,z)=0$ 定 $z(x,y)$：$z_x=-\dfrac{F_x}{F_z}$，$z_y=-\dfrac{F_y}{F_z}$。复合：画变量关系图，$z_x=f_u u_x+f_v v_x$。
2021线上-Q4：$z-\tfrac19\sin z=4x+3y$，对 $x$ 求导 $z_x-\tfrac19\cos z\cdot z_x=4\Rightarrow z_x=\boxed{\dfrac{36}{9-\cos z}}$。
考前 48 小时冲刺路线
- 必拿（先保 50 分基本盘）：T11 切平面切线 / T12 第一型曲线积分 / 填空凑微分 ODE / 选择级数敛散——套路死，刷 2018+2020+2022 三套对答案。
- 重点攻（你的命门，70→85 杠杆）：T15 高斯凑面 + 内外侧定向（薄弱#1）做 3 道混合方向题先标方向再算；T18 级数证明四法宝（薄弱#2）重做 18/20/22 三道压轴；T14 第二型曲面投影符号（薄弱#3）合一投影必标上下侧。
- 刷题：优先线下卷 2022→2020→2018（含答案逐题对）；线上卷刷选择手感（Fourier 题跳过）。
- 方法：间隔 1/3/5/7 + 主动回忆（遮答案先推流程）。
→ 你逐条对策见 🔴 我的薄弱点