8.6.1 方向导数
$f$ 在点 $P_0$ 沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数：
$$\frac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}}\bigg|_{P_0} = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(P_0 + t\,\boldsymbol{e_l}) - f(P_0)}{t}$$其中 $\boldsymbol{e_l} = (\cos\alpha,\cos\beta)$ 是单位方向向量。注意 $t\to 0^+$（单侧极限！）
二元：$\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}} = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta$
三元：$\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}} = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta + f_z\cos\gamma$
- 是初等函数在定义域内的点？→ 可微 → 直接用公式（算 $f_x,f_y$ 代入）
- 是分段函数在分界点？→ 按以下流程：
- 用定义法算 $f_x(P_0),f_y(P_0)$
- 验证可微性（$\frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho}\to 0$？）
- 可微 → 用公式；不可微 → 必须用定义法算方向导数
- 方向导数 vs 偏导数：偏导数是沿坐标轴方向的方向导数。$f_x$ 是沿 $(1,0)$ 的方向导数，$f_y$ 是沿 $(0,1)$ 的。
- 方向导数是单侧极限（$t\to 0^+$），沿 $\boldsymbol{l}$ 和 $-\boldsymbol{l}$ 的方向导数一般不互为相反数（除非可微）。
- 可微时：$\frac{\pp f}{\pp(-\boldsymbol{l})}=-\frac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}}$。不可微时不一定！
- $\frac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}}=\grad f\cdot\boldsymbol{e_l}=|\grad f|\cos\theta$ → 方向导数的最大值 $=|\grad f|$，在梯度方向取到。
- 梯度的方向 = 等值面的法方向。对 $z=f(x,y)$，等高线 $f=c$ 的法方向就是 $\grad f$。
- $\grad f=\boldsymbol{0}$ $\Leftrightarrow$ 所有方向导数为零 $\Leftrightarrow$ $\dd f=0$（可微时三者等价）。
- 方向向量 $\boldsymbol{l}=(a,b)$ 必须先单位化为 $\boldsymbol{e}=\frac{(a,b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 再代入公式！忘了单位化是最常见的扣分点。
$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}$，不存在！所以 $f$ 在原点偏导不存在 → 不可微 → 不能用公式。
用定义：$\frac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}} = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(t\cos\alpha, t\sin\alpha)}{t} = \lim_{t\to 0^+}\frac{t\sqrt{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}}{t} = 1$
沿任何方向的方向导数都等于 $1$！
$f_x(0,0) = 0$，$f_y(0,0) = 0$。若可微，则 $\frac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}}=0$。
但用定义：$\frac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}} = \lim_{t\to 0^+}\frac{t^2\cos^2\alpha\cdot t\sin\alpha}{t^4\cos^4\alpha + t^2\sin^2\alpha}\cdot\frac{1}{t} = \lim_{t\to 0^+}\frac{t^2\cos^2\alpha\sin\alpha}{t^4\cos^4\alpha+t^2\sin^2\alpha}$
当 $\sin\alpha\neq 0$ 时 $= \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$（不全为零！），说明 $f$ 不可微。
