$f$ 在点 $P_0=(x_0,y_0)$ 沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数：

其中 $\boldsymbol{e_l} = (\cos\alpha,\sin\alpha)$ 是单位方向向量（$\alpha$ 为方向 $\boldsymbol{l}$ 与 $x$ 轴正向的夹角）。

注意：$t\to 0^+$（单侧极限！）——方向导数只考虑从 $P_0$ 出发沿 $\boldsymbol{l}$ 方向前进，不考虑反向。三元推广：$\boldsymbol{e_l}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$（方向余弦）。

设 $f$ 在 $P_0$ 可微，令 $\varphi(t) = f(x_0+t\cos\alpha,\, y_0+t\sin\alpha)$，则

由可微性，$\Delta f = f_x\Delta x + f_y\Delta y + o(\rho)$，其中 $\Delta x = t\cos\alpha$，$\Delta y = t\sin\alpha$，$\rho=t>0$：

故可微时：

二元：$\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}} = f_x\cos\alpha + f_y\sin\alpha$（注意：二元用 $\cos\alpha,\sin\alpha$，不是两个余弦！）

三元：$\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}} = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta + f_z\cos\gamma$（$\alpha,\beta,\gamma$ 是方向余弦）

关键：推导用了可微性！不可微时此公式完全失效，必须回到定义。

三元推广：$\grad f = (f_x,\,f_y,\,f_z)$。记号 $\nabla = \left(\dfrac{\pp}{\pp x},\dfrac{\pp}{\pp y},\dfrac{\pp}{\pp z}\right)$ 称为 Nabla 算子。

梯度是一个向量（有大小有方向），而方向导数是一个标量。

当 $f$ 可微时：

其中 $\theta$ 是方向 $\boldsymbol{l}$ 与梯度 $\grad f$ 的夹角。

最大方向导数的证明：由 $\cos\theta\in[-1,1]$，

• $\theta=0$（方向 $\boldsymbol{l}$ 与 $\grad f$ 相同）时：$\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}} = |\grad f|$（最大值）
• $\theta=\pi$（方向 $\boldsymbol{l}$ 与 $\grad f$ 相反）时：$\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}} = -|\grad f|$（最小值）
• $\theta=\dfrac{\pi}{2}$（方向 $\boldsymbol{l}$ 垂直于 $\grad f$，即沿等值线切线方向）时：$\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}} = 0$

即：沿梯度方向函数增长最快，增长率为 $|\grad f|$；沿负梯度方向下降最快。

等值线 $f(x,y)=c$ 上的点满足 $f$ 不变。沿等值线切线方向 $\boldsymbol{t}$ 走，$f$ 不变，故沿该方向的方向导数为 $0$：

即 $\grad f$ 垂直于等值线的切线方向，也就是梯度垂直于等值线（二元）/ 梯度垂直于等值面（三元）。

方向导数 $\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}} = |\grad f|\cos\theta$：梯度的模 $|\grad f|$ 就是该点函数值增长最快的速率。

设 $u = f(x,y,z)$，等值面 $f(x,y,z) = c$。则 $\grad f = (f_x,f_y,f_z)$ 是等值面在该点的法向量。

这直接给出等值面 $f=c$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面方程：

以及法线方程：$\dfrac{x-x_0}{f_x} = \dfrac{y-y_0}{f_y} = \dfrac{z-z_0}{f_z}$

求 $f(x,y)$ 在约束 $g(x,y)=0$ 下的极值：

原理：极值点处等值线 $f=c$ 与约束曲线 $g=0$ 相切，即两者法向量平行：

三元推广：$f(x,y,z)$ 在 $g(x,y,z)=0$ 下极值 → $\grad f = \lambda\grad g$（4个方程求 $x,y,z,\lambda$）。

两个约束：$f$ 在 $g=0, h=0$ 下极值 → $\grad f = \lambda\grad g + \mu\grad h$（5个方程）。

识别特征：给出分段定义函数（原点处值为 $0$，其余处为某分式），问在原点沿给定方向 $\boldsymbol{l}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ 的方向导数，或比较定义法与公式法结果。

标准步骤（定义法 vs 公式法的决策）：

1. 用定义法求偏导：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$，$f_y(0,0)$ 类似（注意是双侧极限）。
2. 验证可微性：令 $\Delta x=\rho\cos\theta,\;\Delta y=\rho\sin\theta$，计算 $\dfrac{f(\Delta x,\Delta y)-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho}$，检验是否趋向 $0$（与 $\theta$ 无关）。若极限依赖方向 $\theta$，则不可微。
3. 不可微时必须用定义法求方向导数：$\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}}\bigg|_{(0,0)}=\lim_{t\to 0^+}\dfrac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)-0}{t}$，化简后得到依赖 $\alpha$ 的表达式。
4. 可微时才能用公式：$\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}}=f_x\cos\alpha+f_y\sin\alpha$。

速解技巧：看到分段函数+原点+方向导数，必须先验证可微性，不可微就一律用定义法。方向导数定义是 $t\to 0^+$（单侧！），直接代入 $(t\cos\alpha,t\sin\alpha)$ 后约去 $t$ 即可。 典型结论：$f=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 在原点：偏导均为 $0$，但不可微，方向导数 $=\cos\alpha\sin\alpha\neq 0$（公式法会给出错误的 $0$）。

易错点：①看到 $f_x=f_y=0$ 就直接断言方向导数为 $0$（经典错误！不可微时公式失效）；②方向导数定义的极限是 $t\to 0^+$，不是双侧；③方向向量未单位化就代入（给出 $(a,b)$ 时需先除以 $\sqrt{a^2+b^2}$）。

识别特征：给出初等函数（多项式、指数、对数等）在某点，要求计算梯度向量、增长最快方向及最大增长率；或给出梯度方向，用于构造等值面法向量。

标准步骤：

1. 计算各偏导数的一般表达式：$f_x$、$f_y$（二元）或 $f_x$、$f_y$、$f_z$（三元）。
2. 代入给定点 $P_0$，得梯度向量 $\grad f\big|_{P_0}=(f_x,f_y)$ 或 $(f_x,f_y,f_z)$。
3. 最大方向导数 $=$ 梯度的模 $|\grad f|=\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}$；取最大值的方向为梯度方向（单位化：$\boldsymbol{e}=\grad f/|\grad f|$）。
4. 沿某指定方向 $\boldsymbol{l}=(a,b,c)$ 的方向导数：先单位化 $\boldsymbol{e}=\boldsymbol{l}/|\boldsymbol{l}|$，再 $\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}}=\grad f\cdot\boldsymbol{e}$（点积）。

速解技巧：梯度 = 函数增长最快的方向，最大增长率 $=|\grad f|$；梯度垂直于过该点的等值线（二元）/ 等值面（三元）。沿负梯度方向下降最快（最小方向导数 $=-|\grad f|$）；沿等值线切线方向（垂直梯度）方向导数为零。

易错点：①忘记对方向向量 $\boldsymbol{l}=(a,b)$ 单位化，直接代入偏导（漏除 $\sqrt{a^2+b^2}$）；②将"方向导数最大值"误写为 $|\grad f|^2$；③三元函数方向余弦 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 不满足单位长度时混淆。

识别特征：给出关于"方向导数存在 $\Leftrightarrow$ 可微"、"偏导存在 $\Rightarrow$ 可微"、"所有方向导数为零 $\Leftrightarrow$ 梯度为零"等命题，要求判断真假或选出正确项。

标准步骤（记住逻辑链条）：

1. 写出各条件的蕴含关系：可微 $\Rightarrow$ 偏导存在；可微 $\Rightarrow$ 所有方向导数存在且 $=f_x\cos\alpha+f_y\sin\alpha$；可微 $\Rightarrow$ 连续。
2. 明确反向不成立的反例：偏导存在 $\not\Rightarrow$ 可微；所有方向导数存在 $\not\Rightarrow$ 可微（反例：$f=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$）；连续 $\not\Rightarrow$ 可微（反例：$f=|x|+|y|$）。
3. 在可微的前提下，三者等价：$\grad f=\boldsymbol{0}$ $\Leftrightarrow$ $\dd f=0$ $\Leftrightarrow$ 所有方向导数为零（三等价仅在可微时成立）。
4. 方向导数是单侧极限（$t\to 0^+$），即使函数不连续方向导数也可能存在。

速解技巧：选择题中遇到此类判断，直接套用条件层次表： $$\text{可微}\Rightarrow\begin{cases}\text{连续}\\\text{偏导存在}\\\text{所有方向导数存在（且公式成立）}\end{cases}$$ 三个推论的逆命题均不成立（各有反例）。"$\alpha>\frac{1}{2}$ 时 $f=(x^2+y^2)^{1+\alpha}/(x^2-xy+y^2)$ 在原点可微且方向导数均为 $0$"是考试常见正面例子。

易错点：①误以为"所有方向导数存在 $\Rightarrow$ 可微"（最常见错误）；②误以为"可微 $\Rightarrow$ 偏导连续"（可微不要求偏导连续，偏导连续才是可微的充分条件）；③可微时沿 $-\boldsymbol{l}$ 方向导数 $=-\dfrac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}}$，但不可微时此等式不成立。