期末考前速查：全范围核心公式

$$\frac{\pp f}{\pp\boldsymbol{l}} = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta + f_z\cos\gamma = \grad f\cdot\boldsymbol{e_l}$$

不可微时必须用定义：$\displaystyle\frac{\pp f}{\pp \boldsymbol{l}}\bigg|_{P_0} = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(P_0+t\boldsymbol{e}_l)-f(P_0)}{t}$

$$\grad f = \left(\frac{\pp f}{\pp x},\frac{\pp f}{\pp y},\frac{\pp f}{\pp z}\right)$$

梯度方向 = 方向导数最大的方向，$|\grad f|$ = 最大方向导数值。梯度 $\perp$ 等值面/等值线。

$F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$：

$$\frac{\pp z}{\pp x} = -\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\pp z}{\pp y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

$A=f_{xx},\;B=f_{xy},\;C=f_{yy}$ 在驻点处：

条件	结论
$AC-B^2>0,\;A>0$	极小值
$AC-B^2>0,\;A<0$	极大值
$AC-B^2<0$	鞍点
$AC-B^2=0$	无法判定，需其他方法

$$\grad f = \lambda\grad g \;\Leftrightarrow\; \begin{cases}f_x=\lambda g_x\\f_y=\lambda g_y\\f_z=\lambda g_z\\g(x,y,z)=0\end{cases}$$

两个约束时引入两个乘子 $\lambda,\mu$。求最值时直接比较函数值即可。

$$\iint_D f(x,y)\dd x\dd y = \int_\alpha^\beta\dd\theta\int_0^{r(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\dd r$$

极坐标积分限速查：

区域	极坐标积分限
$x^2+y^2\le R^2$	$\theta\in[0,2\pi],\;r\in[0,R]$
$x^2+y^2\le 2Rx$（偏心圆）	$\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],\;r\in[0,2R\cos\theta]$
$x^2+y^2\le 2Ry$	$\theta\in[0,\pi],\;r\in[0,2R\sin\theta]$
环形 $a^2\le x^2+y^2\le b^2$	$\theta\in[0,2\pi],\;r\in[a,b]$

$$\iiint_\Omega f\dd V = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\pi}\dd\varphi\int_0^{R(\theta,\varphi)} f\cdot\rho^2\sin\varphi\,\dd\rho$$

$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\;y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\;z=\rho\cos\varphi$，$\varphi$ 从 $z$ 轴量起！

• $D$ 关于 $x$ 轴对称 + $f$ 对 $y$ 为奇函数 $\Rightarrow$ 积分 $=0$
• $D$ 关于 $y$ 轴对称 + $f$ 对 $x$ 为奇函数 $\Rightarrow$ 积分 $=0$
• $D$ 关于 $y=x$ 对称 $\Rightarrow$ $\iint f(x,y)\dd\sigma=\iint f(y,x)\dd\sigma$
• 球域上 $\iiint x^2\dd V=\iiint y^2\dd V=\iiint z^2\dd V=\frac{1}{3}\iiint(x^2+y^2+z^2)\dd V$

$$\int_L f\,\dd s = \int_\alpha^\beta f\big(x(t),y(t)\big)\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\,\dd t$$

与方向无关，始终保证 $\alpha<\beta$。

$$\int_L f\,\dd s = \int_a^b f\big(x,y(x)\big)\sqrt{1+y'^2(x)}\,\dd x$$

$$\int_L f\,\dd s = \int_\alpha^\beta f\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)\sqrt{r^2+r'^2}\,\dd\theta$$

$$\int_L f\,\dd s = \int_\alpha^\beta f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,\dd t$$

$$\int_L P\dd x+Q\dd y = \int_\alpha^\beta\big[P\cdot x'(t)+Q\cdot y'(t)\big]\dd t$$

与方向有关！$\alpha\to\beta$ 的方向必须与曲线方向一致。反向积分变号。

$$\int_L P\dd x+Q\dd y+R\dd z = \int_\alpha^\beta\big[P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\big]\dd t$$

$$P\dd x + Q\dd y = (P\cos\alpha + Q\sin\alpha)\dd s$$

其中 $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ 是曲线正向切线方向的方向余弦。

空间：$P\dd x+Q\dd y+R\dd z = (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\dd s$

$$\oint_{\pp D} P\dd x + Q\dd y = \iint_D\left(\frac{\pp Q}{\pp x}-\frac{\pp P}{\pp y}\right)\dd x\dd y$$

条件：$D$ 为有界闭区域，$P,Q$ 在 $D$ 上有连续一阶偏导。

设 $P,Q$ 在单连通域 $D$ 上有连续一阶偏导，则以下四条等价：

1. $\oint_L P\dd x+Q\dd y = 0$（沿 $D$ 内任意闭曲线）
2. $\int_L P\dd x+Q\dd y$ 与路径无关（只与起终点有关）
3. $P\dd x+Q\dd y$ 是某函数 $u(x,y)$ 的全微分，即 $P\dd x+Q\dd y = \dd u$
4. $\dfrac{\pp P}{\pp y} = \dfrac{\pp Q}{\pp x}$（最常用的判定条件）

已知 $P\dd x+Q\dd y=\dd u$，选定基点 $(x_0,y_0)$，沿折线积分：

$$u(x,y) = \int_{x_0}^{x} P(x,y_0)\dd x + \int_{y_0}^{y} Q(x,y)\dd y + C$$

或先积 $y$ 再积 $x$：

$$u(x,y) = \int_{y_0}^{y} Q(x_0,y)\dd y + \int_{x_0}^{x} P(x,y)\dd x + C$$

直接将 $P\dd x+Q\dd y$ 凑成某个函数的全微分。常用凑微分：

形式	全微分
$x\dd y+y\dd x$	$\dd(xy)$
$\frac{x\dd y-y\dd x}{x^2}$	$\dd\left(\frac{y}{x}\right)$
$\frac{y\dd x-x\dd y}{y^2}$	$\dd\left(\frac{x}{y}\right)$
$\frac{x\dd x+y\dd y}{x^2+y^2}$	$\frac{1}{2}\dd\ln(x^2+y^2)$
$\frac{x\dd y-y\dd x}{x^2+y^2}$	$\dd\arctan\frac{y}{x}$

$u=\int P(x,y)\dd x + \varphi(y)$，再对 $y$ 求偏导令其等于 $Q$，解出 $\varphi(y)$。

1. 确认奇点位置（通常在原点或某个特殊点）
2. 以奇点为圆心，画小圆 $l_\varepsilon: x^2+y^2=\varepsilon^2$（取逆时针方向）
3. 在环形区域 $D'=D\setminus D_\varepsilon$ 上用 Green 公式，此时 $D'$ 内无奇点
4. $D'$ 的边界 = 外边界 $L$（逆时针）+ 内边界 $l_\varepsilon$（顺时针，即 $-l_\varepsilon$）
5. 若 $Q_x-P_y=0$ 在 $D'$ 上成立，则 $\oint_L = \oint_{l_\varepsilon}$（逆时针方向）
6. 在小圆 $l_\varepsilon$ 上参数化计算

$$\iint_\Sigma f\,\dd S = \iint_{D_{xy}}f\big(x,y,z(x,y)\big)\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd x\dd y$$

与曲面侧无关，类比第一类曲线积分。

$$\iint_\Sigma f\,\dd S = \iint_D f\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)\,|\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v|\,\dd u\dd v$$

其中 $|\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v|=\sqrt{EG-F^2}$，$E=\boldsymbol{r}_u\cdot\boldsymbol{r}_u,\;F=\boldsymbol{r}_u\cdot\boldsymbol{r}_v,\;G=\boldsymbol{r}_v\cdot\boldsymbol{r}_v$。

以 $R\dd x\dd y$ 分量为例：

$$\iint_\Sigma R\dd x\dd y = \pm\iint_{D_{xy}}R\big(x,y,z(x,y)\big)\dd x\dd y$$

正负号判定：法向量 $\boldsymbol{n}$ 的第三分量的符号决定正负

• 曲面取上侧（法向量朝上，$\cos\gamma>0$） $\Rightarrow$ 取 $+$
• 曲面取下侧（法向量朝下，$\cos\gamma<0$） $\Rightarrow$ 取 $-$

分量	投影面	正号条件
$P\dd y\dd z$	投影到 $yOz$ 面，写 $x=x(y,z)$	法向量 $x$ 分量 $>0$（前侧）取 $+$
$Q\dd z\dd x$	投影到 $zOx$ 面，写 $y=y(z,x)$	法向量 $y$ 分量 $>0$（右侧）取 $+$
$R\dd x\dd y$	投影到 $xOy$ 面，写 $z=z(x,y)$	法向量 $z$ 分量 $>0$（上侧）取 $+$

$$P\dd y\dd z + Q\dd z\dd x + R\dd x\dd y = (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\dd S$$

其中 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 是曲面在指定侧的单位法向量的方向余弦。

$z=z(x,y)$ 上侧时：$\cos\alpha=\frac{-z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\;\cos\beta=\frac{-z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\;\cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$

$$\divg\boldsymbol{F} = \grad\cdot\boldsymbol{F} = \frac{\pp P}{\pp x}+\frac{\pp Q}{\pp y}+\frac{\pp R}{\pp z}$$

物理含义：单位体积内的"源"强度。$\divg\boldsymbol{F}>0$：源（流出），$<0$：汇（流入）。

$$\curl\boldsymbol{F} = \grad\times\boldsymbol{F} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\\frac{\pp}{\pp x}&\frac{\pp}{\pp y}&\frac{\pp}{\pp z}\\P&Q&R\end{vmatrix}$$ $$= \left(\frac{\pp R}{\pp y}-\frac{\pp Q}{\pp z}\right)\boldsymbol{i}+\left(\frac{\pp P}{\pp z}-\frac{\pp R}{\pp x}\right)\boldsymbol{j}+\left(\frac{\pp Q}{\pp x}-\frac{\pp P}{\pp y}\right)\boldsymbol{k}$$

$$\oiint_\Sigma P\dd y\dd z + Q\dd z\dd x + R\dd x\dd y = \iiint_\Omega\left(\frac{\pp P}{\pp x}+\frac{\pp Q}{\pp y}+\frac{\pp R}{\pp z}\right)\dd V$$

条件：$\Sigma$ 为 $\Omega$ 的外侧封闭曲面。向量形式：$\oiint_\Sigma\boldsymbol{F}\cdot\dd\boldsymbol{S}=\iiint_\Omega\divg\boldsymbol{F}\,\dd V$。

$$\oint_L P\dd x+Q\dd y+R\dd z = \iint_\Sigma\left(\frac{\pp R}{\pp y}-\frac{\pp Q}{\pp z}\right)\dd y\dd z + \left(\frac{\pp P}{\pp z}-\frac{\pp R}{\pp x}\right)\dd z\dd x + \left(\frac{\pp Q}{\pp x}-\frac{\pp P}{\pp y}\right)\dd x\dd y$$

向量形式：$\oint_L\boldsymbol{F}\cdot\dd\boldsymbol{r}=\iint_\Sigma(\curl\boldsymbol{F})\cdot\dd\boldsymbol{S}$

方向约定：右手法则——右手四指沿 $L$ 的方向弯曲，拇指指向 $\Sigma$ 的法向量方向。

曲面 $\Sigma$ 不封闭时：

1. 补一个简单曲面 $\Sigma_1$（如平面），使 $\Sigma\cup\Sigma_1$ 封闭
2. 对封闭曲面用 Gauss 公式算出 $\oiint_{\Sigma\cup\Sigma_1}$
3. 单独计算 $\iint_{\Sigma_1}$（通常很简单）
4. $\iint_\Sigma = \oiint_{\Sigma\cup\Sigma_1} - \iint_{\Sigma_1}$

注意：补面的侧要保证整体封闭曲面取外侧！

被积函数在 $\Omega$ 内有奇点（如原点），不能直接用 Gauss 公式：

1. 以奇点为心，做小球面 $S_\varepsilon$
2. 在 $\Omega\setminus B_\varepsilon$ 上用 Gauss 公式（此区域无奇点）
3. $\oiint_\Sigma = \oiint_{S_\varepsilon}(\text{外侧指向球心}) + \iiint_{\Omega\setminus B_\varepsilon}\divg\boldsymbol{F}\,\dd V$
4. 若 $\divg\boldsymbol{F}=0$，则 $\oiint_\Sigma = \oiint_{S_\varepsilon}$（朝外方向）

空间曲线积分 $\oint_L$：可以选择任意以 $L$ 为边界的曲面 $\Sigma$ 来用 Stokes 公式。

通常选最简单的平面（如 $z=0$ 的平面部分）。

• 绝对收敛：$\sum|a_n|$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum a_n$ 也收敛
• 条件收敛：$\sum a_n$ 收敛但 $\sum|a_n|$ 发散

$$R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$

即 $\sum a_n x^n$ 的比值法极限的倒数。

$$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$$

设 $S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，收敛半径 $R$，则在 $(-R,R)$ 内：

$$S'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}$$

求导后收敛半径不变（但端点可能改变收敛性）。

$$\int_0^x S(t)\dd t = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$$

积分后收敛半径不变（但端点可能改变收敛性）。

设 $S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，先确定收敛域，再求 $S(x)$：

通项特征	操作	目标
分母含 $n+1$，如 $\frac{x^n}{n+1}$	先求导 $S'(x)$	消去分母，化为几何级数
分子含 $n$，如 $nx^n$	先积分 $\int_0^x S(t)\dd t$	消去 $n$，化为已知形式
分子含 $n(n-1)$	两次积分	逐步降阶
分子含 $\frac{1}{n(n+1)}$	裂项后分别求和	化为两个已知级数之差

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\dd x,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,\dd x,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,\dd x$$ $$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

$$a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\dd x,\quad a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\dd x,\quad b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\dd x$$ $$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)$$

$x$ 的类型	级数收敛到	说明
连续点 $x$	$f(x)$	级数 $=$ 函数值
间断点 $x$（跳跃间断）	$\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$	左右极限的平均值
端点 $x=\pm l$	$\dfrac{f(-l^+)+f(l^-)}{2}$	周期延拓后的左右极限平均值

$$x = 2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx,\quad x\in(-\pi,\pi)$$

（奇函数 → 只有正弦项，$a_n=0$）

$$|x| = \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{\cos(2n+1)x}{(2n+1)^2},\quad x\in[-\pi,\pi]$$

（偶函数 → 只有余弦项，$b_n=0$）

令 $x=0$：$0=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum\frac{1}{(2n+1)^2}$ → $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$

$$x^2 = \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx,\quad x\in[-\pi,\pi]$$

（偶函数 → 只有余弦项）

令 $x=\pi$：$\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum\frac{1}{n^2}$ → $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

令 $x=0$：$0=\frac{\pi^2}{3}+4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ → $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$