📖 目录9.1 二重积分9.2 三重积分9.3 应用

积分区域专题：交互式3D可视化

覆盖 2016-2025 全部8年真题 · 拖动旋转3D图形 · 滑块调参

💡 所有3D图形可鼠标拖动旋转、滚轮缩放

一、核心方法速查

1.1 二重积分：X-型 vs Y-型

X-型（先y后x）：竖线扫描
$$\iint_D f\,\dd\sigma = \int_a^b\dd x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,\dd y$$
Y-型（先x后y）：横线扫描
$$\iint_D f\,\dd\sigma = \int_c^d\dd y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,\dd x$$

$y=x^2$ 与 $y=x$ 围成的区域 —— 动画演示两种扫描方式

1.2 交换积分次序三步法

几乎每年必考！
三步法
  1. 还原不等式：从积分限写出 $x,y$ 不等式
  2. 画出区域D：标注边界曲线与交点
  3. 换描述方式：X-型⇄Y-型，重新写积分限

1.3 极坐标

$\dd\sigma = r\,\dd r\,\dd\theta$（别忘乘 $r$！）
区域极坐标
$x^2+y^2\le a^2$$0\le\theta\le2\pi,\;0\le r\le a$
$x^2+y^2\le 2ax$$-\pi/2\le\theta\le\pi/2,\;0\le r\le 2a\cos\theta$
$x^2+y^2\le 2ay$$0\le\theta\le\pi,\;0\le r\le 2a\sin\theta$

1.4 柱坐标 与 球坐标

柱坐标 $(r,\theta,z)$球坐标 $(\rho,\varphi,\theta)$
变换$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,z=z$$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,y=\rho\sin\varphi\sin\theta,z=\rho\cos\varphi$
体积元$r\,\dd r\,\dd\theta\,\dd z$$\rho^2\sin\varphi\,\dd\rho\,\dd\varphi\,\dd\theta$
适用圆柱、旋转抛物面球、锥面
球坐标关键转换：锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$→$\varphi=\pi/4$；锥面$z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}$→$\varphi=\pi/6$；球面$\rho=R$；$x^2+y^2+z^2\le2az$→$\rho\le2a\cos\varphi$

1.5 对称性

二重/三重积分对称性

1.6 二重积分完整解题流程

拿到二重积分题后的标准操作（按顺序执行）
  1. 先看被积函数：含 $x^2+y^2$ → 极坐标；含 $e^{y^2}$ 或 $\sin(x^2)$ 等无法积分的函数 → 考虑交换次序
  2. 再看区域D：画图！标出所有边界曲线和交点
  3. 判断对称性：区域对称 + 被积函数奇 → 直接$=0$，省大量计算
  4. 选坐标/积分次序：使内层积分限是简单函数，外层是常数
  5. 算积分：先内层后外层
典型决策树：拿到 $\iint_D f(x,y)\,\dd\sigma$

Q1: D 是圆/扇形/环形吗？

  → 是 → 极坐标：$x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;\dd\sigma=r\,\dd r\,\dd\theta$

  → 否 → 继续

Q2: D 关于某轴/某线对称吗？

  → 对称 + $f$奇 → 积分=0，写一句话完事

  → 对称 + $f$偶 → 积分 $=2\times$ 半边

Q3: 被积函数能直接积分吗？

  → 不能（如 $e^{y^2}$、$\frac{\sin x}{x}$） → 交换积分次序，让难积的变量放外层

  → 能 → X-型或Y-型，选使积分限更简的那个

1.7 三重积分完整解题流程

拿到三重积分题后的标准操作
  1. 先看被积函数：
    • 含 $x^2+y^2+z^2$（或 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$、$\frac{1}{x^2+y^2+z^2}$）→ 球坐标
    • 含 $x^2+y^2$（但不含 $z^2$ 或 $z$ 简单）→ 柱坐标
    • 只含某个变量的函数，如 $f(z)$ → 截面法
  2. 再看区域Ω：
    • 球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ → 球坐标：$\rho=R$
    • 锥面 $z=k\sqrt{x^2+y^2}$ → 球坐标：$\varphi=\arctan(1/k)$
    • 柱面 $x^2+y^2=a^2$ → 柱坐标：$r=a$
    • 抛物面 $z=x^2+y^2$ → 柱坐标：$z=r^2$
  3. 判断对称性：球域上奇次幂→0，轮换对称性→$\iiint x^2=\iiint y^2=\iiint z^2$
  4. 确定积分限：从外到内，外层必须是常数
坐标系选择速记：

1.8 交换积分次序：完整思路

为什么要交换次序？

两个原因：① 被积函数按原顺序无法积分（如 $\int e^{y^2}\dd y$ 没有初等原函数）；② 交换后积分更简单。

完整操作步骤（带例子）

给定 $\int_0^1\dd x\int_{x}^{1}e^{y^2}\dd y$（注意 $e^{y^2}$ 无法先对 $y$ 积分！）

  1. 还原不等式：$0\le x\le 1$，$x\le y\le 1$
  2. 画图：区域是三角形，顶点 $(0,0)$，$(0,1)$，$(1,1)$，在直线 $y=x$ 上方、$y=1$ 下方
  3. 换描述：改为先 $x$ 后 $y$（Y-型）：固定 $y\in[0,1]$，$x$ 从 $0$ 到 $y$
  4. 写出新积分：$\int_0^1\dd y\int_0^y e^{y^2}\dd x = \int_0^1 ye^{y^2}\dd y = \frac{1}{2}(e-1)$

交换后 $e^{y^2}$ 对 $x$ 积分就是常数乘以 $x$，完美解决！

判断是否需要交换：如果内层积分（先算的那个）的被积函数对内层变量无法积出原函数，就必须交换。常见的"不可积"函数：$e^{x^2}$、$e^{-x^2}$、$\frac{\sin x}{x}$、$\frac{\cos x}{x}$。

1.9 体积与曲面面积公式

体积（三种方法）

方法1 — 投影法（最通用）：$$V = \iint_{D_{xy}}\left[z_{\text{上}}(x,y) - z_{\text{下}}(x,y)\right]\dd x\,\dd y$$

方法2 — 截面法（截面规则时最快）：$$V = \int_a^b S(z)\,\dd z \quad \text{其中 } S(z) \text{ 是高度 }z\text{ 处的截面面积}$$

方法3 — 三重积分：$V = \iiint_\Omega 1\,\dd V$（配合坐标变换）

曲面面积

曲面 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的面积：$$S = \iint_D\sqrt{1+\left(\frac{\pp z}{\pp x}\right)^2+\left(\frac{\pp z}{\pp y}\right)^2}\,\dd x\,\dd y$$

常用结论：

1.10 三重积分积分限确定口诀

"外定内动，从外到内"

例：柱坐标下球 $r^2+z^2\le R^2$，$z\ge 0$

外层 $\theta$：$0\le\theta\le 2\pi$（常数）

中层 $r$：$0\le r\le R$（常数）

内层 $z$：$0\le z\le\sqrt{R^2-r^2}$（含外层变量 $r$）

球坐标积分限模板

二、交换积分次序（每年必考）

通用解法模板
  1. 读积分限 → 写出不等式（注意哪个变量在外层、哪个在内层）
  2. 画图：把不等式对应的边界画出来，标交点坐标
  3. 用另一种扫描方式重新描述同一区域
  4. 写出新的积分限

关键技巧：如果题目给了两段积分相加（如 $\int_0^a\cdots+\int_a^b\cdots$），往往两段拼成一个完整区域，交换后变成一个积分！

什么时候交换？① 被积函数对内层变量无法积分时必须换；② 分段积分合并为一段时；③ 换后积分更简单时。

题1 2024-2025 Q13 合并+交换次序计算

题目：计算 $\displaystyle\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}x^2 e^{x^2}\dd x\int_0^x e^{y^2}\dd y + \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}x^2 e^{x^2}\dd x\int_0^{\sqrt{1-x^2}} e^{y^2}\dd y$
解

Step 1：两个积分拼成一个区域D

区域D：直线y=x与圆弧x²+y²=1围成的扇形

Step 2：交换为先x后y（Y-型）

固定y：$0\le y\le\frac{\sqrt{2}}{2}$，x从 $y$（直线$x=y$）到 $\sqrt{1-y^2}$（圆弧）

$$=\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\dd y\int_y^{\sqrt{1-y^2}}x^2 e^{x^2}e^{y^2}\dd x$$

Step 3：改用极坐标！区域D：$0\le\theta\le\pi/4$，$0\le r\le 1$

$$=\int_0^{\pi/4}\dd\theta\int_0^1 r^2\cos^2\theta\cdot e^{r^2\cos^2\theta}\cdot e^{r^2\sin^2\theta}\cdot r\,\dd r = \int_0^{\pi/4}\cos^2\theta\,\dd\theta\int_0^1 r^3 e^{r^2}\dd r$$

$\int_0^1 r^3 e^{r^2}\dd r$：令$t=r^2$，$=\frac{1}{2}\int_0^1 te^t\dd t=\frac{1}{2}[te^t-e^t]_0^1=\frac{1}{2}$

$\int_0^{\pi/4}\cos^2\theta\,\dd\theta=\frac{1}{2}[\theta+\frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi/4}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2})=\frac{\pi+2}{8}$

$$=\frac{\pi+2}{8}\cdot\frac{1}{2}=\boxed{\dfrac{\pi+2}{16}}$$

题2 2020-2021 Q9 交换积分次序

题目：交换积分次序 $\displaystyle\int_0^a\dd y\int_0^{\sqrt{a^2+y^2}}f(x,y)\dd x + \int_a^{\sqrt{2}\,a}\dd y\int_0^{\sqrt{2a^2-y^2}}f(x,y)\dd x$（$a>0$）
解

Step 1：还原两部分的区域

实际上根据题面，第一部分的右界 $x=\sqrt{a^2+y^2}$ 即 $x^2=a^2+y^2$... 这是双曲线。但更可能题目是 $x=\sqrt{a^2-y^2}$（四分之一圆）。

若右界为 $\sqrt{a^2-y^2}$：第一部分为四分之一圆 $x^2+y^2\le a^2$ 的第一象限部分

第二部分：$a\le y\le\sqrt{2}a$，$0\le x\le\sqrt{2a^2-y^2}$，即圆 $x^2+y^2\le 2a^2$ 在 $y\ge a$ 部分

合并：D为 $x^2+y^2\le 2a^2$ 中 $x\ge 0$，$y\ge 0$ 的部分 与 …（需根据精确题面确定）

交换次序万能方法：画出区域D → 用X-型（先y后x）重新描述即可。关键永远是画图！

交换次序示意图

题3 2016-2017 Q9 交换三次积分次序

题目：交换积分次序 $\displaystyle\int_0^1\dd x\int_0^{2x^2/\pi}f(x,y)\dd y + \int_1^{\sqrt{\pi/2}}\dd x\int_0^{x^2-(\pi/2-x^2)^{1/2}\cdot\ldots}f(x,y)\dd y$
方法

所有交换次序题的做法完全一样：

  1. 把每一段积分限写成 $(x,y)$ 的不等式
  2. 在同一张图上画出所有边界
  3. 找出交点，用另一种方式描述D
考试提醒：不管题目多复杂，交换次序的核心就是画图+重新描述。一定先画图再写答案！

三、二重积分区域识别真题

通用解法模板
  1. 识别区域形状：是圆？椭圆？三角形？抛物线围成？
  2. 选坐标系：圆形区域 → 极坐标，椭圆 → 广义极坐标 $x=a r\cos\theta,\,y=b r\sin\theta$
  3. 检查对称性：先用对称性消去为零的项，再算剩下的
  4. 写积分限：极坐标下偏心圆 $x^2+y^2\le 2ax$ 必须写成 $r\le 2a\cos\theta$
极坐标常见陷阱：

题4 2018-2019 Q14 偏心圆极坐标

题目：计算 $\displaystyle\iint_D xy\sqrt{x^2+y^2}\,\dd\sigma$，其中 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le x,\;x\ge 0,\;y\ge 0\}$
解

识别区域：$x^2+y^2\le x$ → $(x-\frac{1}{2})^2+y^2\le\frac{1}{4}$，圆心$(\frac{1}{2},0)$，半径$\frac{1}{2}$，取第一象限部分

极坐标：$r\le\cos\theta$，$\theta\in[0,\pi/2]$

被积函数：$xy\sqrt{x^2+y^2}=r\cos\theta\cdot r\sin\theta\cdot r = r^3\cos\theta\sin\theta$

$$=\int_0^{\pi/2}\dd\theta\int_0^{\cos\theta}r^3\cos\theta\sin\theta\cdot r\,\dd r = \int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,\dd\theta\int_0^{\cos\theta}r^4\,\dd r$$ $$=\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\cdot\frac{\cos^5\theta}{5}\,\dd\theta = \frac{1}{5}\int_0^{\pi/2}\cos^6\theta\sin\theta\,\dd\theta = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{7}=\boxed{\dfrac{1}{35}}$$

偏心圆 $r\le\cos\theta$ 在第一象限：绿色为区域D，高度为被积函数值

题5 2017-2018 Q10 平行四边形区域

题目：区域D由直线 $y=x$，$y=x+2\pi$，$x=0$，$x=\pi$ 围成，求 $\displaystyle\iint_D|\cos(x-y)|\,\dd\sigma$
解

识别区域：D是平行四边形，顶点 $(0,0),(\ pi,\pi),(\pi,3\pi),(0,2\pi)$

变量替换：令 $u=x-y$，则 $u\in[-2\pi,0]$。或直接X-型：

固定$x\in[0,\pi]$，$y$从$x$到$x+2\pi$，令$t=x-y$，$t$从$0$到$-2\pi$

$$=\int_0^{\pi}\dd x\int_x^{x+2\pi}|\cos(x-y)|\dd y = \int_0^{\pi}\dd x\int_0^{2\pi}|\cos t|\dd t = \pi\cdot 4 = \boxed{4\pi}$$

（利用 $|\cos t|$ 在 $[0,2\pi]$ 上的积分 $=4$）

平行四边形区域 D

题6 2020-2021 Q4 对称性判断

题目：$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$ 位于第 $k$ 象限部分为 $D_k$，$I_k=\iint_{D_k}(y-x)\dd x\dd y$（$k=1,2,3,4$），判断哪些 $I_k\gt 0$。
解

对称性分析：$I_k = \iint_{D_k}y\,\dd\sigma - \iint_{D_k}x\,\dd\sigma$

答案：$I_2\gt 0$（选B）

技巧：利用各象限中$x,y$的符号直接判断，不用算！

单位圆四个象限 $D_1\sim D_4$，$y-x$ 的正负情况

题7 2016-2017 Q14 椭圆区域

题目：$D=\{(x,y)\mid \frac{x^2}{4}+y^2\le 1,\;x\ge 0,\;y\ge 0\}$，计算 $\iint_D|x\cdot y|\,\dd\sigma$
解

在第一象限，$|xy|=xy$。令 $x=2r\cos\theta,\;y=r\sin\theta$（椭圆变换），$\dd\sigma=2r\,\dd r\,\dd\theta$

$$=\int_0^{\pi/2}\dd\theta\int_0^1 2r\cos\theta\cdot r\sin\theta\cdot 2r\,\dd r = 4\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,\dd\theta\int_0^1 r^3\,\dd r = 4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\boxed{\frac{1}{2}}$$

椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2\le 1$ 第一象限

四、三重积分区域真题（最难！3D可视化）

你说"三重的根本想象不出"——下面每道题都有3D可旋转图，拖动它！
三重积分通用解法模板
  1. 展开被积函数：先展开、化简、找对称性
  2. 对称性消项：球域/对称区域上，奇函数项直接为0
  3. 识别区域类型 → 选坐标系：
    • 球面+锥面 → 球坐标（锥面变成 $\varphi=\text{const}$，极其简单！）
    • 抛物面+平面/球面 → 柱坐标（投影到 $xy$ 面后用极坐标）
    • 两柱面相交 → 截面法（截面是正方形/矩形，面积好算）
    • $z\ge\max(x^2,y^2)$ → 截面法（截面是正方形 $|x|\le\sqrt{z},|y|\le\sqrt{z}$）
  4. 确定积分限：
    • 球坐标：先定 $\theta$（方位角，通常 $[0,2\pi]$），再定 $\varphi$（极角，由锥面决定），最后 $\rho$（由球面决定）
    • 柱坐标：先定 $\theta$（$[0,2\pi]$），再定 $r$（由投影区域），最后 $z$（下曲面到上曲面）
  5. 别忘体积元：柱坐标 $r\,\dd r$，球坐标 $\rho^2\sin\varphi\,\dd\rho$
求"某区域的体积"的三种方法对比：
方法公式最适合的区域
投影法$V=\iint_{D_{xy}}(z_上-z_下)\dd\sigma$有明确上下曲面
截面法$V=\int_a^b S(z)\dd z$截面是圆/正方形/简单形状
坐标变换$V=\iiint_\Omega \dd V$（球/柱坐标）球/锥/旋转体

题8 2024-2025 Q10 球面+平面切割 ⭐⭐⭐

题目：$\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le 1,\;x\ge 0,\;y+3z\ge 0,\;3y-z\ge 0\}$，求 $\displaystyle\iiint_\Omega\frac{\sin\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{x^2+y^2+z^2}\dd V$
解（球坐标+对称性）

Step 1 识别区域：球 $\rho\le 1$ 被三个平面切割：$x\ge 0$, $y+3z\ge 0$, $3y-z\ge 0$

被积函数 $\frac{\sin\rho}{\rho^2}$ 只与 $\rho$ 有关（球对称！）→ 角度部分只影响立体角大小

Step 2 求立体角：三个约束把半球($x\ge 0$)切成若干块。

Step 3 计算：

$$\iiint_\Omega\frac{\sin\rho}{\rho^2}\dd V = \frac{\pi}{2}\int_0^1\frac{\sin\rho}{\rho^2}\cdot\rho^2\dd\rho = \frac{\pi}{2}\int_0^1\sin\rho\,\dd\rho = \frac{\pi}{2}(1-\cos 1)= \boxed{\dfrac{\pi(1-\cos 1)}{2}}$$

球 $\rho\le 1$ 被三个平面切出的区域 $\Omega$（红色）—— 拖动旋转查看切割方式

题9 2022-2023 Q10 球域+对称性

题目：$\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le\frac{1}{4}\}$，求 $\displaystyle\iiint_\Omega[(3x-4y)^2-(5z-6)^2]\dd V$
解（对称性大法）

展开：$(3x-4y)^2-(5z-6)^2 = 9x^2-24xy+16y^2-25z^2+60z-36$

逐项分析（$\Omega$ 关于三个坐标面对称）：

$(9+16-25)A - 6\pi = 0\cdot A - 6\pi = \boxed{-6\pi}$

巧妙之处：$9+16=25$，所以 $x^2,y^2,z^2$ 项全部抵消！只剩常数项。这种题不需要算积分，只需要对称性分析。

球域 $\rho\le 1/2$ 上的对称性示意

题10 2020-2021 Q10 Steinmetz体（两圆柱相贯）

题目：立体D为两个正圆柱体 $\{x^2+z^2\le 1\}$ 和 $\{y^2+z^2\le 1\}$ 的公共部分，密度 $\rho(x,y,z)=|z|$，求质量 $M$
解（截面法）

Step 1：在高度 $z$ 处截面为正方形 $|x|\le\sqrt{1-z^2}$，$|y|\le\sqrt{1-z^2}$，面积 $S(z)=4(1-z^2)$

Step 2：$|z|$ 关于 $z$ 为偶函数，区域关于 $xOy$ 面对称：

$$M = 2\int_0^1|z|\cdot S(z)\,\dd z = 2\int_0^1 z\cdot 4(1-z^2)\dd z = 8\int_0^1(z-z^3)\dd z = 8(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})=\boxed{2}$$

Steinmetz体：两个正交圆柱 $x^2+z^2\le 1$ 和 $y^2+z^2\le 1$ 的公共部分

题11 2020-2021 Q15 抛物面∩球面 ⭐⭐

题目：$\Omega=\{(x,y,z)\mid z\ge x^2+y^2-1,\;x^2+y^2+z^2\le\frac{1}{3}\}$，计算 $\displaystyle\iiint_\Omega(2x^2+x^3)\dd V$
解

对称性：$\Omega$ 关于 $yOz$ 面对称（$x\leftrightarrow -x$ 不变），$x^3$ 关于 $x$ 为奇函数 → $\iiint x^3\dd V=0$

只需算 $2\iiint_\Omega x^2\dd V$。由轮换对称性（$\Omega$ 关于 $x,y$ 对称）：$\iiint x^2=\iiint y^2$

所以 $2\iiint x^2 = \iiint(x^2+y^2)\dd V + \text{...}$（或直接用柱坐标计算）

柱坐标：$x^2=r^2\cos^2\theta$，区域：$z\ge r^2-1$，$r^2+z^2\le 1/3$

交线：$z=r^2-1$ 与 $r^2+z^2=1/3$ → $r^2+(r^2-1)^2=1/3$ → $r^4-r^2+2/3=0$...

需要判断两曲面的位置关系来确定积分限。

这题关键是先用对称性消去奇函数项，大大简化计算。

抛物面 $z=r^2-1$（橙色）与球面 $r^2+z^2=1/3$（蓝色）围成的区域

题12 2018-2019 Q15 球壳+抛物面 ⭐⭐

题目：计算 $\displaystyle\iiint_\Omega\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\dd V$，其中 $\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le 4,\;z\ge x^2+y^2-1,\;z\le 2\}$... （具体需核实，大致为球域截取一部分）
解题思路

被积函数 $\frac{1}{\rho}$ 在球坐标下化简：$\frac{1}{\rho}\cdot\rho^2\sin\varphi = \rho\sin\varphi$

关键是确定 $\rho,\varphi,\theta$ 的积分限。根据区域约束分段积分。

题13 2017-2018 Q15 球壳区域

题目：$\Omega=\{(x,y,z)\mid 2\le x^2+y^2+z^2\le 4,\;z\ge 0\}$，计算 $\displaystyle\iiint_\Omega\sqrt{x^2+y^2+z^2}\dd V$
解（球坐标）

区域：上半空间的球壳，$\sqrt{2}\le\rho\le 2$，$0\le\varphi\le\pi/2$，$0\le\theta\le 2\pi$

$$=\int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\pi/2}\sin\varphi\,\dd\varphi\int_{\sqrt{2}}^2\rho\cdot\rho^2\,\dd\rho = 2\pi\cdot[-\cos\varphi]_0^{\pi/2}\cdot\frac{\rho^4}{4}\Big|_{\sqrt{2}}^2$$ $$= 2\pi\cdot 1\cdot\frac{16-4}{4} = 2\pi\cdot 3 = \boxed{6\pi}$$

上半球壳 $\sqrt{2}\le\rho\le 2$，$z\ge 0$ —— 拖动旋转查看中空结构

题14 2016-2017 Q4 非标准区域体积

题目：$\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2\le z\le 1,\;y^2\le z\le 1\}$ 的体积 $V$
解（截面法）

理解区域：$z$ 同时 $\ge x^2$ 和 $\ge y^2$，即 $z\ge\max(x^2,y^2)$，且 $z\le 1$

截面法：在高度 $z$ 处，截面为 $|x|\le\sqrt{z}$ 且 $|y|\le\sqrt{z}$，即正方形，面积 $=4z$

$$V = \int_0^1 4z\,\dd z = 2z^2\Big|_0^1 = \boxed{2}$$

区域 $\Omega$：$z\ge\max(x^2,y^2)$ 且 $z\le 1$ —— 旋转查看"方碗"形状

题15 2016-2017 Q15 球∩椭圆柱

题目：$\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le 4,\;x^2+4y^2\ge 4,\;z\ge 0\}$，设 $F(t)=\iiint_\Omega f(\sqrt{x^2+y^2})\dd V$，判断 $F(t)$ 单调性
分析

区域：上半球（$\rho\le 2$，$z\ge 0$）中去掉椭圆柱 $x^2+4y^2\le 4$ 的部分

这是球面外部与椭圆柱外部的交集在上半空间的部分。可视化有助于理解这个"镂空"结构。

球面 $\rho=2$（蓝色透明）与椭圆柱 $x^2+4y^2=4$（绿色），$\Omega$ 在球内、柱外、$z\ge0$

五、体积与曲面面积真题

体积题通用思路
  1. 联立方程求交线：两个曲面相交的曲线决定了投影区域的边界
  2. 判断上下关系：在交线内部哪个曲面在上、哪个在下（代入特殊点检验）
  3. 选方法：投影法 or 截面法（看哪个截面更简单）
  4. 算积分
曲面面积题通用思路
  1. 写出 $z=f(x,y)$（或参数方程）
  2. 求 $z_x$，$z_y$，算 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$
  3. 确定投影区域D（由题目中"被...截取"的条件给出）
  4. 算 $\iint_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd\sigma$（通常用极坐标）

常见速算：锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 的面积因子 $=\sqrt{2}$，锥面 $z=k\sqrt{x^2+y^2}$ 的面积因子 $=\sqrt{1+k^2}$ → 面积 $=\sqrt{1+k^2}\times$ 投影面积

题16 2023-2024 Q14 三柱面围成体积 ⭐

题目：求三个柱面 $x=2z^2$，$y=z^2$，$x+2y=1$ 围成的立体体积
解

Step 1：联立 $x=2z^2,y=z^2$ → $x=2y$ → 代入 $x+2y=1$ → $4y=1$ → $y=1/4,x=1/2,z^2=1/4$

Step 2：以 $z$ 为参数，截面法。固定 $z\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$，截面在 $(x,y)$ 平面：

面积 $S(z)$：三角形区域，顶点 $(2z^2,z^2)$，$(1-2z^2,z^2)$，$(2z^2,\frac{1-2z^2}{2})$

$$S(z) = \frac{1}{2}(1-4z^2)\cdot\frac{1-4z^2}{2}=\frac{(1-4z^2)^2}{4}$$ $$V = \int_{-1/2}^{1/2}\frac{(1-4z^2)^2}{4}\dd z = \frac{1}{2}\int_0^{1/2}(1-4z^2)^2\dd z$$

令 $t=2z$：$=\frac{1}{4}\int_0^1(1-t^2)^2\dd t = \frac{1}{4}\int_0^1(1-2t^2+t^4)\dd t = \frac{1}{4}(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5})=\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{15}=\boxed{\dfrac{2}{15}}$

三个柱面 $x=2z^2$, $y=z^2$, $x+2y=1$ 围成的区域

三个柱面 $x=2z^2$, $y=z^2$, $x+2y=1$ 围成的区域

题17 2022-2023 Q16 两柱面相贯体表面积

题目：求三维立体表面积，立体由柱面 $x^2+z^2=a^2$，$y^2+z^2=a^2$ 及三个坐标平面围成，位于第一卦限
解

第一卦限的Steinmetz体。表面由两块柱面+三块平面组成。柱面部分：

柱面 $x^2+z^2=a^2$ 在第一卦限被 $y^2+z^2\le a^2$ 截取的面积：

参数化 $x=a\cos\alpha$，$z=a\sin\alpha$，$y\in[0,\sqrt{a^2-z^2}]=a\cos\alpha$（$\alpha\in[0,\pi/2]$）... 这需要具体计算。

由对称性，两块柱面面积相同，每块 $=\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-z^2}}...$

题18 2022-2023 Q17 锥体质量

题目：锥体由锥面 $x^2+y^2=(z+1)^2$ 与坐标平面 $xOy$ 围成，某点密度为该点至锥体顶点距离的平方，求质量
解

区域：锥面 $x^2+y^2=(z+1)^2$，顶点在 $(0,0,-1)$。与 $xOy$ 面（$z=0$）交线：$x^2+y^2=1$

锥体：$-1\le z\le 0$，$x^2+y^2\le(z+1)^2$

密度 $\rho = $ 到顶点 $(0,0,-1)$ 距离的平方 $= x^2+y^2+(z+1)^2 = 2(z+1)^2$

柱坐标：$r\le z+1$，$-1\le z\le 0$

$$M = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_{-1}^0\dd z\int_0^{z+1}[r^2+(z+1)^2]\cdot r\,\dd r$$

令 $u=z+1$（$0\le u\le 1$），$r\le u$：

$$= 2\pi\int_0^1\dd u\int_0^u(r^3+u^2 r)\dd r = 2\pi\int_0^1\left(\frac{u^4}{4}+\frac{u^4}{2}\right)\dd u = 2\pi\int_0^1\frac{3u^4}{4}\dd u = 2\pi\cdot\frac{3}{20}=\boxed{\dfrac{3\pi}{10}}$$

锥面 $x^2+y^2=(z+1)^2$，顶点 $(0,0,-1)$，与 $z=0$ 围成的锥体

题19 2024-2025 Q16 锥面表面积

题目：立体 $\Omega$ 由锥面 $z=2\sqrt{x^2+y^2}$ 及平面 $z=x+1$，$z=2$ 围成，求 $\Omega$ 的表面积
分析

锥面 $z=2r$（柱坐标），与 $z=2$ 交线：$r=1$（圆）。与 $z=x+1$ 交线需联立。

表面由三块组成：锥面部分 + 平面 $z=2$ 部分 + 平面 $z=x+1$ 部分。分别计算曲面面积公式 $\iint\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd x\dd y$ 或参数化。

锥面 $z=2\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=x+1$, $z=2$ 围成的立体

题20 2016-2017 Q16 半锥面被柱面截取

题目：曲面S为半锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $x^2+y^2=2y$ 所截取的部分，求S的面积
解

锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}=r$，$z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ → $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{2}$

投影区域：$x^2+y^2\le 2y$ 即 $r\le 2\sin\theta$，$\theta\in[0,\pi]$

$$S = \iint_D\sqrt{2}\,\dd\sigma = \sqrt{2}\int_0^{\pi}\dd\theta\int_0^{2\sin\theta}r\,\dd r = \sqrt{2}\int_0^{\pi}2\sin^2\theta\,\dd\theta = 2\sqrt{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \boxed{\sqrt{2}\pi}$$

锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $x^2+y^2=2y$ 截取的部分

六、更多应用真题

题21 2018-2019 Q10 旋转抛物面体积

题目：$\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 2,\;0\le z\le 5\}$（具体约束含旋转抛物面），求体积/积分
方法

旋转抛物面 $z=\frac{x^2+y^2}{2}$ 用柱坐标：$z=r^2/2$，投影为圆。截面法或投影法均可。

题22 2017-2018 Q17 薄板质心

题目：平面薄板D由 $y=x^2$ 和 $y=x$ 围成，密度 $\rho=x^2y^2$，求质心
解

质心坐标 $\bar{x}=\frac{\iint_D x\rho\,\dd\sigma}{\iint_D\rho\,\dd\sigma}$，$\bar{y}=\frac{\iint_D y\rho\,\dd\sigma}{\iint_D\rho\,\dd\sigma}$

区域D：$0\le x\le 1$，$x^2\le y\le x$（就是开头动画里的区域！）

$$M=\int_0^1\dd x\int_{x^2}^x x^2y^2\dd y = \int_0^1 x^2\cdot\frac{x^3-x^6}{3}\dd x = \frac{1}{3}\int_0^1(x^5-x^8)\dd x = \frac{1}{3}(\frac{1}{6}-\frac{1}{9})=\frac{1}{54}$$ $$M_x=\int_0^1\dd x\int_{x^2}^x x^3y^2\dd y = \frac{1}{3}\int_0^1(x^6-x^9)\dd x = \frac{1}{3}(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})=\frac{1}{70}$$ $$\bar{x}=\frac{M_x}{M}=\frac{1/70}{1/54}=\frac{54}{70}=\frac{27}{35}$$

类似求 $\bar{y}$。

薄板区域 $D$：$y=x^2$ 与 $y=x$ 围成

题23 2023-2024 Q15 抛物面曲面面积

题目：抛物面 $z=\frac{x^2}{2}+y^2$，位于 $y\ge 0$ 的部分，被柱面 $y=x$，$y=-x$，$\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 所截部分的曲面面积
解

Step 1：$z_x=x$，$z_y=2y$ → $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{1+x^2+4y^2}$

Step 2：确定投影区域D。约束 $y\ge 0$，$y\le x$（柱面$y=x$右侧），$y\ge -x$（$y\ge0$时自动满足），$\frac{x^2}{4}+y^2\le 1$（椭圆内）

所以 $D=\{(x,y)\mid \frac{x^2}{4}+y^2\le 1,\;0\le y\le x\}$（椭圆内第一象限中 $y\le x$ 的部分）

Step 3：椭圆变换 $x=2r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，Jacobian $=2r$

被积函数化简：$\sqrt{1+4r^2\cos^2\theta+4r^2\sin^2\theta}=\sqrt{1+4r^2}$

边界 $y=x$ → $r\sin\theta=2r\cos\theta$ → $\tan\theta=2$ → $\theta_0=\arctan 2$

$y=0$ → $\theta=0$；椭圆 → $r=1$

区域：$\theta\in[0,\arctan 2]$，$r\in[0,1]$

$$S = \int_0^{\arctan 2}\dd\theta\int_0^1\sqrt{1+4r^2}\cdot 2r\,\dd r = \arctan 2\cdot\int_0^1 2r\sqrt{1+4r^2}\,\dd r$$

令 $u=1+4r^2$：$=\arctan 2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_1^5 = \arctan 2\cdot\frac{5\sqrt{5}-1}{6}$

$$S = \boxed{\dfrac{(5\sqrt{5}-1)\arctan 2}{6}}$$

抛物面 $z=\frac{x^2}{2}+y^2$ 被椭圆柱截取的部分

七、考前速查清单

积分区域识别四步法：
  1. 看被积函数 → 含$x^2+y^2$用极/柱，含$x^2+y^2+z^2$用球
  2. 看区域边界 → 画图！3D先画截面
  3. 选坐标系 → 使边界最简
  4. 定积分限 → 外层常数，从外到内
致命易错点：
8年真题积分区域题型统计
题型出现次数难度
交换积分次序几乎每年⭐⭐
极坐标二重积分每年⭐⭐
球坐标三重积分6/8年⭐⭐⭐
对称性简化每年⭐
体积计算5/8年⭐⭐
曲面面积5/8年⭐⭐⭐
质量/质心3/8年⭐⭐