9.1.1 二重积分的定义与性质
定义
$$\iint_D f(x,y)\,\dd\sigma = \lim_{\|\Delta\|\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta\sigma_i$$
$\dd\sigma$（面积元素）$= \dd x\,\dd y$（直角坐标）
基本性质（类比一元定积分）：
- 线性性：$\iint(\alpha f+\beta g)\dd\sigma = \alpha\iint f\dd\sigma + \beta\iint g\dd\sigma$
- 区域可加性：$D = D_1\cup D_2 \Rightarrow \iint_D = \iint_{D_1} + \iint_{D_2}$
- 保号性：$f\geq 0 \Rightarrow \iint f\dd\sigma \geq 0$
- 估值：$m\cdot S_D \leq \iint_D f\dd\sigma \leq M\cdot S_D$
- 中值定理：$f$ 在有界闭区域 $D$ 连续 $\Rightarrow$ $\exists(\xi,\eta)\in D$，$\iint_D f\dd\sigma = f(\xi,\eta)\cdot S_D$
9.1.2 化为累次积分
X-型（先 $y$ 后 $x$）
$D: a\leq x\leq b,\;\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)$
$$\iint_D f\dd\sigma = \int_a^b\dd x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\dd y$$Y-型（先 $x$ 后 $y$）
$D: c\leq y\leq d,\;\psi_1(y)\leq x\leq\psi_2(y)$
$$\iint_D f\dd\sigma = \int_c^d\dd y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\dd x$$画图是关键！ 先根据积分限画出积分区域 $D$（通常是三角形、梯形、抛物线围成的区域），然后按另一种方式描述 $D$ 的边界。
二级结论与常用技巧
- 需要交换次序的信号：被积函数关于内层积分变量没有初等原函数。常见：$e^{y^2}$，$e^{-y^2}$，$\sin(y^2)$，$\cos(y^2)$，$\frac{\sin y}{y}$，$\frac{e^y}{y}$。
- 积分区域的分类：
- X-型：上下边界是 $x$ 的函数（竖线穿过区域只穿两次）
- Y-型：左右边界是 $y$ 的函数（横线穿过区域只穿两次）
- 若区域既非 X-型也非 Y-型 → 分割成多块
- 积分比较的常用不等式：
- $e^t \geq 1+t$（$\forall t$），当 $t>0$ 时严格大于
- $0\leq t\leq 1$：$t^n \leq t^m$ 当 $n\geq m$（高次幂更小）
- $t\geq 1$：$t^n \geq t^m$ 当 $n\geq m$（高次幂更大）
- $\sin t \leq t$（$t\geq 0$），$1-\cos t \leq \frac{t^2}{2}$
- 极坐标变换判据：被积函数含 $x^2+y^2$ 或 $\frac{y}{x}$，或积分区域是圆/扇/环 → 用极坐标。
- 偏心圆的极坐标（高频！）：
- $x^2+y^2\leq 2ax$ → $r\leq 2a\cos\theta$，$\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
- $x^2+y^2\leq 2by$ → $r\leq 2b\sin\theta$，$\theta\in[0,\pi]$
