9.2.1 直角坐标下的三重积分
先一后二（投影法）
将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 面得 $D_{xy}$，$z$ 的范围为 $z_1(x,y)\leq z\leq z_2(x,y)$：
$$\iiint_\Omega f\,\dd V = \iint_{D_{xy}}\left[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\dd z\right]\dd x\dd y$$
先二后一（截面法）
用 $z=z_0$ 截 $\Omega$ 得截面 $D_z$：
$$\iiint_\Omega f\,\dd V = \int_a^b\left[\iint_{D_z}f(x,y,z)\dd x\dd y\right]\dd z$$
投影法 vs 截面法的选择
- 投影法（先一后二）：被积函数含 $x,y,z$ 混合项时用。先积 $z$，内层只剩一元积分。
- 截面法（先二后一）：$f$ 只与 $z$ 有关（$f=z$, $f=z^2$）或截面 $D_z$ 面积容易算时用。内层变成"截面面积$\times f(z)$"。
坐标系选择决策树（核心！）
| 特征 | 选择 | 体积元素 |
|---|
| 区域/被积函数含 $x^2+y^2$（不含 $z^2$） | 柱坐标 | $r\dd r\dd\theta\dd z$ |
| 区域/被积函数含 $x^2+y^2+z^2$ | 球坐标 | $r^2\sin\varphi\dd r\dd\varphi\dd\theta$ |
| 柱体、锥体（底面在 $xOy$ 平面） | 柱坐标 | $r\dd r\dd\theta\dd z$ |
| 球、半球、球壳 | 球坐标 | $r^2\sin\varphi\dd r\dd\varphi\dd\theta$ |
| 长方体、棱柱 | 直角坐标 | $\dd x\dd y\dd z$ |
| 椭球 | 广义球坐标 | $abc\cdot r^2\sin\varphi\dd r\dd\varphi\dd\theta$ |
柱坐标 vs 球坐标易混点
- 柱坐标：$\dd V = r\,\dd r\dd\theta\dd z$（只有一个 $r$！）
- 球坐标：$\dd V = r^2\sin\varphi\,\dd r\dd\varphi\dd\theta$（$r^2$ 且有 $\sin\varphi$！）
- 球坐标中 $\varphi$ 是与 $z$ 轴的夹角（$0\leq\varphi\leq\pi$），不是仰角！
- 上半球：$\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$；下半球：$\varphi\in[\frac{\pi}{2},\pi]$
- 锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$：$\varphi=\frac{\pi}{4}$；锥面 $z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}$：$\varphi=\frac{\pi}{6}$
偏心球的球坐标（二级结论）
- $x^2+y^2+z^2\leq 2az$（球心 $(0,0,a)$）→ $r\leq 2a\cos\varphi$，$\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$
- $x^2+y^2+z^2\leq 2ax$（球心 $(a,0,0)$）→ $r\leq 2a\sin\varphi\cos\theta$
- 这和二重积分中偏心圆 $r\leq 2a\cos\theta$ 是完全类比的！
笔记例题：$\Omega: x^2+y^2\leq z\leq h$（$h>0$），计算 $V = \iiint_\Omega\dd V$
投影到 $xOy$：$x^2+y^2\leq h$，即 $D: x^2+y^2\leq h$
$z$ 的范围：$x^2+y^2\leq z\leq h$
$$V = \iint_D(h-x^2-y^2)\dd x\dd y = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\sqrt{h}}(h-r^2)r\dd r = 2\pi\left[\frac{hr^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{h}} = \frac{\pi h^2}{2}$$
笔记例题：$\Omega: x^2+z^2\leq R^2$，$y^2+z^2\leq R^2$（两个柱面截得的区域），求体积。
用 $z=c$ 截 $\Omega$，截面 $D_z$：$|x|\leq\sqrt{R^2-z^2}$，$|y|\leq\sqrt{R^2-z^2}$（正方形！）
截面面积 $= (2\sqrt{R^2-z^2})^2 = 4(R^2-z^2)$
$$V = \int_{-R}^R 4(R^2-z^2)\dd z = 4\left[R^2z-\frac{z^3}{3}\right]_{-R}^R = \frac{16R^3}{3}$$
9.2.2 柱面坐标
柱面坐标
$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z$$
$$\dd V = r\,\dd r\,\dd\theta\,\dd z$$
适用场景：区域或被积函数含 $x^2+y^2$（但不含 $z^2$），如柱体、锥体、抛物面旋转体。
注意柱坐标的体积元素是 $r\,\dd r\,\dd\theta\,\dd z$，不是 $r^2$！
笔记例题：$\iiint_\Omega z\,\dd V$，$\Omega: x^2+y^2\leq a^2$，$0\leq z\leq x^2+y^2$
$$= \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^a r\dd r\int_0^{r^2}z\dd z = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^a r\cdot\frac{r^4}{2}\dd r = 2\pi\cdot\frac{a^6}{12} = \frac{\pi a^6}{6}$$
9.2.3 球面坐标
球面坐标
$$x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi$$
$$\dd V = r^2\sin\varphi\,\dd r\,\dd\varphi\,\dd\theta$$
$r\geq 0$，$0\leq\varphi\leq\pi$（与 $z$ 轴夹角），$0\leq\theta < 2\pi$
$\varphi$ 是与 $z$ 轴正方向的夹角，不是仰角！范围是 $[0,\pi]$，不是 $[-\pi/2,\pi/2]$。
常见区域的球坐标描述：
- 球 $x^2+y^2+z^2\leq R^2$：$0\leq r\leq R$，$0\leq\varphi\leq\pi$，$0\leq\theta\leq 2\pi$
- 上半球：$\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$
- 锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$（即 $\cos\varphi=\sin\varphi$）：$\varphi = \frac{\pi}{4}$
笔记例题：椭球 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1$ 的体积。
令 $x=a\rho\sin\varphi\cos\theta$，$y=b\rho\sin\varphi\sin\theta$，$z=c\rho\cos\varphi$
$\dd V = abc\rho^2\sin\varphi\,\dd\rho\,\dd\varphi\,\dd\theta$
$$V = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^\pi\sin\varphi\,\dd\varphi\int_0^1 abc\rho^2\dd\rho = 2\pi\cdot 2\cdot\frac{abc}{3} = \frac{4\pi abc}{3}$$
三重积分的对称性
轮换对称性
若 $\Omega$ 关于 $x,y$ 对称（交换 $x,y$ 后 $\Omega$ 不变），则
$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\dd V = \iiint_\Omega f(y,x,z)\dd V$$
特别地：$\iiint x^2\dd V = \iiint y^2\dd V$（球、柱体等）
📝 历年真题精选：三重积分
【2024-2025 选择2】 三重积分 $\iiint_\Omega f(x,y,z)\dd V$ 化为柱面坐标下的累次积分。
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核心：柱坐标 $\dd V = r\,\dd r\,\dd\theta\,\dd z$（注意是 $r$ 不是 $r^2$！）
通常先积 $z$（由上下曲面确定范围），再积 $r$ 和 $\theta$。
答案：C
易错点：柱坐标是 $r\dd r\dd\theta\dd z$，球坐标才是 $r^2\sin\varphi\dd r\dd\varphi\dd\theta$！考试最容易混淆。
【2022-2023 填空10】 $\displaystyle\iiint_\Omega z\,\dd V$，$\Omega: x^2+y^2+z^2\leq 1,\;z\leq 0$（下半球）。
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球坐标：$z=r\cos\varphi$，下半球 $\varphi\in[\frac{\pi}{2},\pi]$。
$$I=\int_0^{2\pi}\dd\theta\int_{\pi/2}^{\pi}\dd\varphi\int_0^1 r\cos\varphi\cdot r^2\sin\varphi\,\dd r$$
$$=2\pi\cdot\frac{1}{4}\cdot\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi=\frac{\pi}{2}\cdot\left[\frac{\sin^2\varphi}{2}\right]_{\pi/2}^{\pi}=\frac{\pi}{2}\cdot(-\frac{1}{2})=-\frac{\pi}{4}$$
$z\leq 0$ 区域内 $z$ 非正，积分为负值，合理。答案取 $-\frac{\pi}{4}$（题目具体数据以试卷为准，可能是 $-6\pi$ 对应其他半径）。
【2022-2023 解答13】 $\displaystyle\iiint_\Omega xyz\,\dd V$，$\Omega$ 由 $z=xy$，$z=0$，$x=1$，$y=1$ 围成（第一卦限）。
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第一卦限，$0\leq z\leq xy$，$0\leq x\leq 1$，$0\leq y\leq 1$。
$$I=\int_0^1\dd x\int_0^1\dd y\int_0^{xy}xyz\,\dd z=\int_0^1\dd x\int_0^1 xy\cdot\frac{x^2y^2}{2}\dd y$$
$$=\frac{1}{2}\int_0^1 x^3\dd x\int_0^1 y^3\dd y=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{32}$$
答案 $\frac{3\pi}{80}$ 应该对应另一个题目。核心方法：先确定 $z$ 的范围，投影到 $xOy$ 面。
【2020-2021 解答15】 $\displaystyle\iiint_\Omega (x^2+y^2)\dd V$，$\Omega: x^2+y^2+z^2\leq z$
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$x^2+y^2+z^2\leq z \Leftrightarrow x^2+y^2+(z-\frac{1}{2})^2\leq\frac{1}{4}$（球心 $(0,0,\frac{1}{2})$，半径 $\frac{1}{2}$）。
球坐标：$r^2\leq r\cos\varphi$，即 $r\leq\cos\varphi$，$\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$。
$x^2+y^2=r^2\sin^2\varphi$。
$$I=\int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\pi/2}\dd\varphi\int_0^{\cos\varphi}r^2\sin^2\varphi\cdot r^2\sin\varphi\,\dd r$$
$$=2\pi\int_0^{\pi/2}\sin^3\varphi\cdot\frac{\cos^5\varphi}{5}\dd\varphi=\frac{2\pi}{5}\int_0^{\pi/2}\sin^3\varphi\cos^5\varphi\,\dd\varphi$$
用 Wallis：$\int_0^{\pi/2}\sin^3\varphi\cos^5\varphi\,\dd\varphi=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}\cdot...$（用Beta函数更方便）$=\frac{2!\cdot 4!}{8!}\cdot...$
技巧：球心不在原点的球 $x^2+y^2+z^2\leq 2az$ → 球坐标下 $r\leq 2a\cos\varphi$，$\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$。类比偏心圆的极坐标。
【2018-2019 选择】 $\displaystyle\iiint_\Omega \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\dd V$，$\Omega: 1\leq x^2+y^2+z^2\leq 4$
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球壳区域，用球坐标：
$$I=\int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\pi}\sin\varphi\dd\varphi\int_1^2\frac{1}{r}\cdot r^2\dd r=4\pi\cdot\frac{3}{2}=6\pi$$
