9.2.1 直角坐标下的三重积分
先一后二（投影法）
将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 面得 $D_{xy}$，$z$ 的范围为 $z_1(x,y)\leq z\leq z_2(x,y)$：
$$\iiint_\Omega f\,\dd V = \iint_{D_{xy}}\left[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\dd z\right]\dd x\dd y$$
先二后一（截面法）
用 $z=z_0$ 截 $\Omega$ 得截面 $D_z$：
$$\iiint_\Omega f\,\dd V = \int_a^b\left[\iint_{D_z}f(x,y,z)\dd x\dd y\right]\dd z$$
投影法 vs 截面法的选择
- 投影法（先一后二）：被积函数含 $x,y,z$ 混合项时用。先积 $z$，内层只剩一元积分。
- 截面法（先二后一）：$f$ 只与 $z$ 有关（$f=z$, $f=z^2$）或截面 $D_z$ 面积容易算时用。内层变成"截面面积$\times f(z)$"。
坐标系选择决策树（核心！）
| 特征 | 选择 | 体积元素 |
|---|
| 区域/被积函数含 $x^2+y^2$（不含 $z^2$） | 柱坐标 | $r\dd r\dd\theta\dd z$ |
| 区域/被积函数含 $x^2+y^2+z^2$ | 球坐标 | $r^2\sin\varphi\dd r\dd\varphi\dd\theta$ |
| 柱体、锥体（底面在 $xOy$ 平面） | 柱坐标 | $r\dd r\dd\theta\dd z$ |
| 球、半球、球壳 | 球坐标 | $r^2\sin\varphi\dd r\dd\varphi\dd\theta$ |
| 长方体、棱柱 | 直角坐标 | $\dd x\dd y\dd z$ |
| 椭球 | 广义球坐标 | $abc\cdot r^2\sin\varphi\dd r\dd\varphi\dd\theta$ |
柱坐标 vs 球坐标易混点
- 柱坐标：$\dd V = r\,\dd r\dd\theta\dd z$（只有一个 $r$！）
- 球坐标：$\dd V = r^2\sin\varphi\,\dd r\dd\varphi\dd\theta$（$r^2$ 且有 $\sin\varphi$！）
- 球坐标中 $\varphi$ 是与 $z$ 轴的夹角（$0\leq\varphi\leq\pi$），不是仰角！
- 上半球：$\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$；下半球：$\varphi\in[\frac{\pi}{2},\pi]$
- 锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$：$\varphi=\frac{\pi}{4}$；锥面 $z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}$：$\varphi=\frac{\pi}{6}$
偏心球的球坐标（二级结论）
- $x^2+y^2+z^2\leq 2az$（球心 $(0,0,a)$）→ $r\leq 2a\cos\varphi$，$\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$
- $x^2+y^2+z^2\leq 2ax$（球心 $(a,0,0)$）→ $r\leq 2a\sin\varphi\cos\theta$
- 这和二重积分中偏心圆 $r\leq 2a\cos\theta$ 是完全类比的！
三重积分定义
设 $f(x,y,z)$ 在有界闭区域 $\Omega\subset\RR^3$ 上有界，将 $\Omega$ 分割为 $n$ 个小块 $\Delta V_i$，在每块上取点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，则
$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\dd V = \lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i$$
其中 $\lambda = \max_i\{\text{diam}(\Delta V_i)\}$。当 $f$ 在 $\Omega$ 上连续时积分存在。
笔记例题（p31）：$x\geq 0$，$x=1$，$y=0$，$y=2$，$z=0$ 围成区域，计算 $\displaystyle V=\iiint_\Omega\dd V$，被积区域由 $\frac{z}{2}\leq x+y^2$ 限制。
区域：$x+y^2\leq z\leq$ 上界，投影到 $xOy$：$D_{xy}$ 由 $x\in[0,1]$，$y\in[0,2]$ 确定。
$z$ 的范围：$0\leq z\leq x+y^2$（先一后二，投影法）：
$$V = \iint_{D_{xy}}\dd x\dd y\int_0^{x+y^2}\dd z = \int_0^1\dd x\int_0^2(x+y^2)\dd y = \int_0^1\left[xy+\frac{y^3}{3}\right]_0^2\dd x = \int_0^1\left(2x+\frac{8}{3}\right)\dd x = \left[x^2+\frac{8x}{3}\right]_0^1 = 1+\frac{8}{3} = \frac{11}{3}$$
笔记例题（p31）：$\Omega: x^2+y^2\leq z\leq h$（$h>0$），计算 $V = \iiint_\Omega\dd V$
投影到 $xOy$：$x^2+y^2\leq h$，即 $D: x^2+y^2\leq h$
$z$ 的范围：$x^2+y^2\leq z\leq h$（先一后二）
$$V = \iint_D(h-x^2-y^2)\dd x\dd y = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\sqrt{h}}(h-r^2)r\dd r = 2\pi\left[\frac{hr^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{h}} = \frac{\pi h^2}{2}$$
笔记例题（p31）：$\Omega$ 由 $y=x^2$ 与 $y+2z=8=0$（即 $y=8-2z$）所围，所有区域在第一卦限，$y\geq x^2$，$z\geq 0$ 一侧。
截面法：固定 $z$，截面 $D_z$：$x^2\leq y\leq 8-2z$。需 $x^2\leq 8-2z$，即 $x\leq\sqrt{8-2z}$。
$z$ 的范围：$z\in[0,4]$（当 $8-2z=0$）。
$$V = \iint_{D_{xy}}\dd x\dd y\int_0^{\frac{8-y}{2}}\dd z = \int_0^{?}\dd x\int_{x^2}^{?}\frac{8-y}{2}\dd y$$
关键：先识别积分次序，$z: 0\to\frac{8-y}{2}$，$y: x^2\to ?$，$x: 0\to ?$。投影到 $xOy$：$\frac{z}{2}$ 使得 $y=8-2\cdot 0=8$，所以 $y\leq 8$，联合 $y\geq x^2$，故 $D_{xy}: 0\leq x\leq 2\sqrt{2}$, $x^2\leq y\leq 8$（第一卦限）.
$$V = \int_0^{2\sqrt{2}}\dd x\int_{x^2}^8\frac{8-y}{2}\dd y = \int_0^{2\sqrt{2}}\left[\frac{(8-y)^2}{-4}\right]_{x^2}^8\dd x = \int_0^{2\sqrt{2}}\frac{(8-x^2)^2}{4}\dd x$$
笔记例题（p31）：$\displaystyle\iiint_\Omega\left(\frac{x_1}{a_1}+\frac{x_2}{a_2}+\frac{x_3}{a_3}\right)\dd x_1\dd x_2\dd x_3$，$\Omega: \frac{x_1}{a_1}+\frac{x_2}{a_2}+\frac{x_3}{a_3}\leq 1$（第一卦限四面体）。
令 $u = \frac{x}{a}$, $v = \frac{y}{b}$, $w = \frac{z}{c}$（广义换元），$\Omega$ 变为标准四面体 $u+v+w\leq 1$，$u,v,w\geq 0$。Jacobian $= abc$。
$D_{uv}$：$0\leq u+v\leq 1$，$w: 0\leq w\leq 1-u-v$。
$$I = abc\iiint_{u+v+w\leq 1}(u+v+w)\dd u\dd v\dd w$$
由对称性，$\iiint u = \iiint v = \iiint w$，而 $\iiint(u+v+w) = 3\iiint u$。
标准四面体体积 $= \frac{1}{6}$；用截面法：$\iiint u\,\dd u\dd v\dd w = \int_0^1 u\cdot\frac{(1-u)^2}{2}\dd u = \frac{1}{24}$。
$$I = abc\cdot 3\cdot\frac{1}{24} = \frac{abc}{8}$$
结论：$\iiint_\Omega f = abc\cdot\iiint_{\text{标准}} f$（利用广义换元）。同理：$\iiint x^2 = a^2bc\iiint u^2 = \frac{a^2bc}{60}$（标准四面体上）。
笔记例题（p31）：$\Omega: x^2+z^2\leq R^2$，$y^2+z^2\leq R^2$（两个柱面截得的区域），求体积。
用 $z=c$ 截 $\Omega$，截面 $D_z$：$|x|\leq\sqrt{R^2-z^2}$，$|y|\leq\sqrt{R^2-z^2}$（正方形！）
截面面积 $= (2\sqrt{R^2-z^2})^2 = 4(R^2-z^2)$
$$V = \int_{-R}^R 4(R^2-z^2)\dd z = 4\left[R^2z-\frac{z^3}{3}\right]_{-R}^R = \frac{16R^3}{3}$$
9.2.2 柱面坐标
柱面坐标
$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z$$
$$\dd V = r\,\dd r\,\dd\theta\,\dd z$$
$r\geq 0$，$0\leq\theta < 2\pi$，$z\in\RR$。Jacobian：$\frac{\pp(x,y,z)}{\pp(r,\theta,z)} = r$（记住！）
一般坐标变换（p33）
若 $x=x(u,v,w)$，$y=y(u,v,w)$，$z=z(u,v,w)$，则
$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\dd x\dd y\dd z = \iiint_{\Omega'} f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\left|\frac{\pp(x,y,z)}{\pp(u,v,w)}\right|\dd u\dd v\dd w$$
柱坐标 Jacobian $= r$，球坐标 Jacobian $= r^2\sin\varphi$（这是最重要的两个！）
适用场景：区域或被积函数含 $x^2+y^2$（但不含 $z^2$），如柱体、锥体、抛物面旋转体。
注意柱坐标的体积元素是 $r\,\dd r\,\dd\theta\,\dd z$，不是 $r^2$！
柱坐标体积元 r dr dtheta dz（左）与 球坐标体积元 r²sin(phi) dr dphi dtheta（右）
笔记例题（p32）：截面法。$I = \iiint_\Omega x^3\dd x\dd y\dd z$，$\Omega: x^2+y^2\leq 1$，$0\leq z\leq h$（$h>0$），$z = h(1-r^2)$（抛物锥）。
投影到 $xOy$：$D: x^2+y^2\leq 1$。用截面法，固定 $z$，截面 $D_z: x^2+y^2\leq 1-z/h$（$z$ 从 $0$ 到 $h$）。
但注意 $\iiint x^3\dd V$：在关于 $y$ 轴对称的区域上，$x^3$ 是关于 $x$ 的奇函数，故 $I = 0$（利用对称性！）
关于 $yOz$ 平面对称的区域 $+$ 被积函数是 $x$ 的奇函数 $\Rightarrow$ 积分为零。
笔记例题（p32）：$I = \iiint_\Omega x^2\dd x\dd y\dd z$，$\Omega: x^2+y^2+z^2=R^2$（球体），用对称性和截面法。
由轮换对称性：$\iiint x^2\dd V = \iiint y^2\dd V = \iiint z^2\dd V$，故
$$3\iiint x^2\dd V = \iiint(x^2+y^2+z^2)\dd V$$
截面法（固定 $z$，截面 $D_z: x^2+y^2\leq R^2-z^2$）：
$$\iiint(x^2+y^2+z^2)\dd V = \int_{-R}^R\dd z\iint_{D_z}(x^2+y^2+z^2)\dd x\dd y$$
极坐标：$\iint_{D_z}(x^2+y^2)\dd\sigma = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\sqrt{R^2-z^2}}r^2\cdot r\dd r = 2\pi\cdot\frac{(R^2-z^2)^2}{4}$
$\iint_{D_z}z^2\dd\sigma = z^2\cdot\pi(R^2-z^2)$
$$\iiint(x^2+y^2+z^2)\dd V = \int_{-R}^R\left[\frac{\pi(R^2-z^2)^2}{2}+\pi z^2(R^2-z^2)\right]\dd z = \frac{4\pi R^5}{5}$$
$$\Rightarrow\quad\iiint x^2\dd V = \frac{4\pi R^5}{15} = \frac{1}{3}\cdot\frac{4\pi R^5}{5}$$
结论：球体上 $\iiint x^2\dd V = \iiint y^2\dd V = \iiint z^2\dd V = \frac{1}{5}\cdot\frac{4\pi R^5}{3}\cdot\frac{1}{?}$…记忆方式：$\iiint_{\text{球}}(x^2+y^2+z^2)\dd V = \frac{4\pi R^5}{5}$，每个分量占 $\frac{1}{3}$。
笔记例题（p32）：$\iiint_\Omega z\,\dd V$，$\Omega: x^2+y^2\leq a^2$，$0\leq z\leq x^2+y^2$
$$= \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^a r\dd r\int_0^{r^2}z\dd z = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^a r\cdot\frac{r^4}{2}\dd r = 2\pi\cdot\frac{a^6}{12} = \frac{\pi a^6}{6}$$
笔记例题（p33）：$\Omega: x^2+y^2\leq a^2$（$z$ 方向任意限制），计算 $\displaystyle\iiint_\Omega(x^2+y^2)^{1/2}\dd x\dd y\dd z$（抽象形式）。
柱坐标：$x^2+y^2 = r^2$，$\sqrt{x^2+y^2}=r$，$D_{xy}: r\leq a$。
若区域还有 $z$ 的限制（如 $x^2+y^2\leq z\leq a^2$，即 $r^2\leq z\leq a^2$）：
$$I = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^a r\dd r\int_{r^2}^{a^2}r\dd z = 2\pi\int_0^a r^2(a^2-r^2)\dd r = 2\pi\left[\frac{a^2r^3}{3}-\frac{r^5}{5}\right]_0^a = 2\pi\left(\frac{a^5}{3}-\frac{a^5}{5}\right) = \frac{4\pi a^5}{15}$$
注意积分次序：先 $z$（由区域上下界），再 $r$，再 $\theta$。
笔记例题（p33）：$I = \iiint_\Omega(x^4+y^4)^{1/2}\dd x\dd y\dd z$（类型题，看轮换对称性）。$\Omega: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}\leq 1$，$z\in[0,h]$。
$x^4+y^4\neq (x^2+y^2)^2$，注意！$(x^2+y^2)^2 = x^4+2x^2y^2+y^4$。
利用对称性（$D_{xy}$ 关于 $x,y$ 对称）：$\iint_{D_{xy}}x^4\dd\sigma = \iint_{D_{xy}}y^4\dd\sigma$，故 $\iint(x^4+y^4)\dd\sigma = 2\iint x^4\dd\sigma$（转化手段）。
极坐标：$x^4+y^4 = r^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta) = r^4\cdot\frac{3+\cos 4\theta}{4}$（倍角公式化简）。
$$\iint_{D_{xy}}(x^4+y^4)\dd\sigma = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^a r^4\cdot\frac{3+\cos 4\theta}{4}\cdot r\dd r = \frac{a^6}{6}\int_0^{2\pi}\frac{3+\cos 4\theta}{4}\dd\theta = \frac{a^6}{6}\cdot\frac{3\pi}{2} = \frac{\pi a^6}{4}$$
$$I = h\cdot\frac{\pi a^6}{4}$$
9.2.3 球面坐标
球面坐标
$$x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi$$
$$\dd V = r^2\sin\varphi\,\dd r\,\dd\varphi\,\dd\theta$$
$r\geq 0$，$0\leq\varphi\leq\pi$（与 $z$ 轴夹角），$0\leq\theta < 2\pi$
$\varphi$ 是与 $z$ 轴正方向的夹角，不是仰角！范围是 $[0,\pi]$，不是 $[-\pi/2,\pi/2]$。
常见三重积分区域：球体（左）、锥面截球（中，橙色部分phi<=pi/4）、偏心球x²+y²+z²<=2z（右）
常见区域的球坐标描述：
- 球 $x^2+y^2+z^2\leq R^2$：$0\leq r\leq R$，$0\leq\varphi\leq\pi$，$0\leq\theta\leq 2\pi$
- 上半球：$\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$
- 锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$（即 $\cos\varphi=\sin\varphi$）：$\varphi = \frac{\pi}{4}$
笔记例题（p34）：$\displaystyle\iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2)\dd V$，$\Omega: x^2+y^2+z^2\leq R^2$（$R>0$），$z\geq\sqrt{x^2+y^2}$（锥面上方）。
球坐标：区域为球 $r\leq R$，锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 即 $r\cos\varphi = r\sin\varphi$，故 $\varphi=\frac{\pi}{4}$。
锥面上方（$z\geq\sqrt{x^2+y^2}$）意味着 $\cos\varphi\geq\sin\varphi$，即 $\varphi\leq\frac{\pi}{4}$。
$x^2+y^2+z^2 = r^2$，$\dd V = r^2\sin\varphi\,\dd r\,\dd\varphi\,\dd\theta$。
$$I = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\pi/4}\sin\varphi\,\dd\varphi\int_0^R r^2\cdot r^2\dd r = 2\pi\cdot[-\cos\varphi]_0^{\pi/4}\cdot\frac{R^5}{5}$$
$$= 2\pi\cdot\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{R^5}{5} = \frac{2\pi R^5}{5}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi R^5(2-\sqrt{2})}{5}$$
笔记例题（p34）：椭球 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1$ 的体积。
令 $x=a\rho\sin\varphi\cos\theta$，$y=b\rho\sin\varphi\sin\theta$，$z=c\rho\cos\varphi$
$\dd V = abc\rho^2\sin\varphi\,\dd\rho\,\dd\varphi\,\dd\theta$，椭球变为单位球 $\rho\leq 1$。
$$V = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^\pi\sin\varphi\,\dd\varphi\int_0^1 abc\rho^2\dd\rho = 2\pi\cdot 2\cdot\frac{abc}{3} = \frac{4\pi abc}{3}$$
笔记例题（p34）：$\displaystyle V = \iiint_\Omega\dd V$，$\Omega: x^2+y^2+z^2\leq a^2$，被锥面 $y=\sqrt{x^2+z^2}$（以 $y$ 轴为轴的锥）截去下方部分。
注意轴是 $y$ 轴！令 $\phi$ 为与 $y$ 轴夹角，则 $y=a\sin\phi\cos\psi$（不标准，换一种方式）。
方法：直接用"锥-球"标准结果。锥面 $y=\sqrt{x^2+z^2}$ 等价于与 $y$ 轴夹角 $\phi = \frac{\pi}{4}$，球内锥面上方体积（以 $y$ 轴为轴的上方）。
用广义球坐标（以 $y$ 轴为极轴）：类比 $z$ 轴的球坐标，取 $\phi\in[0,\pi/4]$（锥面内），$V = \frac{4\pi a^3}{3}\cdot\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}\cdot 2 = \frac{2\pi a^3}{3}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
锥-球积分通法：球坐标下，锥角 $\varphi_0$ 以内的半球体积 $= \frac{2\pi R^3}{3}(1-\cos\varphi_0)$。全球 $\varphi_0=\pi$ 时 $V=\frac{4\pi R^3}{3}$；半球 $\varphi_0=\pi/2$ 时 $V=\frac{2\pi R^3}{3}$；$45°$ 锥以内 $V=\frac{2\pi R^3}{3}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
笔记例题（p34）：$\displaystyle\iiint_\Omega\frac{\dd V}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$，$\Omega$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1$（椭球），$z\geq 0$（上半）。用广义球坐标。
令 $x=a r\sin\varphi\cos\theta$，$y=br\sin\varphi\sin\theta$，$z=cr\cos\varphi$，Jacobian $= abcr^2\sin\varphi$。
$x^2+y^2+z^2 = r^2(a^2\sin^2\varphi\cos^2\theta+b^2\sin^2\varphi\sin^2\theta+c^2\cos^2\varphi)$（这个不等于 $r^2$，只有标准球才等于 $r^2$！）
若改写为 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 时，分母不能简化，需保留。实际考试若见此类题，往往 $a=b=c=R$（球）或有特殊结构。若 $a=b=c=R$：
$$I = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\pi/2}\sin\varphi\,\dd\varphi\int_0^1\frac{R^3 r^2}{Rr}\dd r = 2\pi\cdot 1\cdot R^2\cdot\frac{1}{2} = \pi R^2$$
笔记例题（p34）：计算 $\displaystyle\iiint_\Omega z\dd V$，其中 $\Omega$ 由 $x^2+y^2+z^2\leq 2az$（$a>0$，即偏心球）与 $z\geq\sqrt{\frac{x^2+y^2}{3}}$（宽锥）的公共部分。
球：$x^2+y^2+(z-a)^2\leq a^2$，即球坐标 $r\leq 2a\cos\varphi$，$\varphi\in[0,\pi/2]$。
锥面：$z = \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{x^2+y^2}$，即 $r\cos\varphi = \frac{r\sin\varphi}{\sqrt{3}}$，$\tan\varphi=\sqrt{3}$，$\varphi=\frac{\pi}{3}$（锥面上方 $\varphi\leq\frac{\pi}{3}$）。
$$I = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\pi/3}\dd\varphi\int_0^{2a\cos\varphi}r\cos\varphi\cdot r^2\sin\varphi\,\dd r$$
$$= 2\pi\int_0^{\pi/3}\cos\varphi\sin\varphi\cdot\frac{(2a\cos\varphi)^4}{4}\dd\varphi = 8\pi a^4\int_0^{\pi/3}\cos^5\varphi\sin\varphi\,\dd\varphi$$
$$= 8\pi a^4\left[-\frac{\cos^6\varphi}{6}\right]_0^{\pi/3} = 8\pi a^4\cdot\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{64}\right) = \frac{4\pi a^4}{3}\cdot\frac{63}{64} = \frac{21\pi a^4}{16}$$
三重积分的对称性
轮换对称性
若 $\Omega$ 关于 $x,y$ 对称（交换 $x,y$ 后 $\Omega$ 不变），则
$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\dd V = \iiint_\Omega f(y,x,z)\dd V$$
特别地：$\iiint x^2\dd V = \iiint y^2\dd V$（球、柱体等）
🎯 期中考试题型总结：三重积分
题型1：投影法（先z后xy）⭐⭐⭐
识别特征：区域 $\Omega$ 上下由两个明确的曲面界定（上曲面 $z=z_2(x,y)$，下曲面 $z=z_1(x,y)$），投影到 $xOy$ 面得到简单的二维区域 $D_{xy}$。
标准步骤：
- 将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 面，确定投影区域 $D_{xy}$
- 对给定的 $(x,y)\in D_{xy}$，确定 $z$ 的范围：$z_1(x,y)\leq z\leq z_2(x,y)$
- 先对 $z$ 积分，再对 $D_{xy}$ 做二重积分（可用极坐标进一步化简）
速解技巧：若被积函数与 $z$ 无关（如 $f=g(x,y)$），内层对 $z$ 积分后得 $(z_2-z_1)g(x,y)$，直接化为二重积分。
易错点：投影区域 $D_{xy}$ 的确定——令 $z=z_1$ 与 $z=z_2$ 联立得交线，再投影。
mini例：$\Omega$：$x^2+y^2\leq z\leq h$（抛物面与平面之间），$D_{xy}$：$x^2+y^2\leq h$，
$$\iiint_\Omega f\,\dd V = \iint_{D_{xy}}\dd x\dd y\int_{x^2+y^2}^{h} f\,\dd z$$
题型2：截面法（先xy后z）⭐⭐
识别特征：用 $z=z_0$ 截 $\Omega$ 得到的截面 $D_z$ 形状简单（如圆盘、正方形），尤其是被积函数仅含 $z$（如 $f=z$，$f=z^2$，$f=1$）时截面法最高效。
标准步骤：
- 确定 $z$ 的整体范围 $[a, b]$
- 对固定的 $z_0\in[a,b]$，描述截面 $D_{z_0}$ 并计算其面积（或对截面做二重积分）
- 对 $z$ 从 $a$ 到 $b$ 积分：$\iiint_\Omega f\,\dd V = \int_a^b\left[\iint_{D_z}f\,\dd x\dd y\right]\dd z$
速解技巧：若截面为圆盘 $D_z: x^2+y^2\leq R(z)^2$，则 $\iint_{D_z}(x^2+y^2)\dd\sigma = \frac{\pi R(z)^4}{2}$（极坐标直接得出）。
易错点：截面形状可能随 $z$ 变化，要用 $z$ 的表达式描述截面边界。两个柱面相交的情形截面常为矩形。
mini例：$x^2+z^2\leq R^2$，$y^2+z^2\leq R^2$，固定 $z=z_0$，截面为正方形，面积 $=4(R^2-z_0^2)$：
$$V = \int_{-R}^R 4(R^2-z^2)\dd z = \frac{16R^3}{3}$$
题型3：柱坐标 ⭐⭐⭐
识别特征：区域或被积函数含 $x^2+y^2$（但不是 $x^2+y^2+z^2$），区域有柱面、锥面或旋转体截面为圆形，$z$ 方向有明确上下界。
标准步骤：
- 令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=z$，$\dd V = r\,\dd r\,\dd\theta\,\dd z$（体积元是 $r$，不是 $r^2$！）
- 先积 $z$（由上下曲面确定范围），再积 $r$，最后积 $\theta$
- 被积函数代入：$x^2+y^2=r^2$，$\sqrt{x^2+y^2}=r$
速解技巧：完整旋转对称区域 $\theta$ 积分 $\int_0^{2\pi}\dd\theta=2\pi$，可直接提出。
易错点：柱坐标体积元是 $r\,\dd r\,\dd\theta\,\dd z$（一个 $r$），球坐标才是 $r^2\sin\varphi\,\dd r\,\dd\varphi\,\dd\theta$（$r^2$）。
mini例：$\Omega$：$x^2+y^2\leq a^2$，$0\leq z\leq x^2+y^2$，计算 $\iiint_\Omega z\,\dd V$：
$$= \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^a r\dd r\int_0^{r^2}z\dd z = 2\pi\int_0^a r\cdot\frac{r^4}{2}\dd r = \frac{\pi a^6}{6}$$
题型4：球坐标 ⭐⭐⭐⭐
识别特征：区域或被积函数含 $x^2+y^2+z^2$，区域是球体、球壳、锥面截球、半球等。
标准步骤：
- 令 $x=r\sin\varphi\cos\theta$，$y=r\sin\varphi\sin\theta$，$z=r\cos\varphi$（$\varphi$ 是与 $z$ 轴夹角，$\in[0,\pi]$）
- $\dd V = r^2\sin\varphi\,\dd r\,\dd\varphi\,\dd\theta$；$x^2+y^2+z^2=r^2$
- 确定 $r$、$\varphi$、$\theta$ 的积分范围（锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 对应 $\varphi=\frac{\pi}{4}$；上半球 $\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$）
速解技巧：锥面 $z=k\sqrt{x^2+y^2}$ 在球坐标中等价于 $\varphi=\arctan\frac{1}{k}$（与 $z$ 轴夹角）。锥面以上区域对应 $\varphi$ 从 $0$ 到锥角。
易错点：$\varphi$ 是与 $z$ 轴正方向夹角（俯角），范围 $[0,\pi]$；不是仰角。上半球 $\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$，下半球 $\varphi\in[\frac{\pi}{2},\pi]$。
mini例：$\Omega$：$x^2+y^2+z^2\leq R^2$，$z\geq\sqrt{x^2+y^2}$（锥面上方），$\varphi\in[0,\frac{\pi}{4}]$：
$$\iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2)\dd V = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\pi/4}\sin\varphi\dd\varphi\int_0^R r^4\dd r = \frac{2\pi R^5}{5}\!\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
题型5：偏心球 $x^2+y^2+z^2\leq 2az$ ⭐⭐
识别特征：区域是球心不在原点的球体，表达式为 $x^2+y^2+z^2\leq 2az$（$a>0$），相当于球心在 $(0,0,a)$、半径为 $a$ 的球。
标准步骤：
- 完成平方：$x^2+y^2+(z-a)^2\leq a^2$（球心 $(0,0,a)$，半径 $a$）
- 球坐标化：$r^2\leq 2ar\cos\varphi$，即 $r\leq 2a\cos\varphi$，$\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$（类比二重积分偏心圆 $r\leq 2a\cos\theta$）
- 按通常球坐标积分
速解技巧：该球体积 $=\frac{4\pi a^3}{3}$（与标准球半径 $a$ 相同）。若仅求体积，完成平方后直接给出。
易错点：$\varphi$ 的上限是 $\frac{\pi}{2}$（不是 $\pi$），因为 $\cos\varphi\geq 0$ 才使 $r\leq 2a\cos\varphi$ 有意义（$r\geq 0$）。
mini例：$\Omega: x^2+y^2+z^2\leq 2az$，球坐标下 $r\leq 2a\cos\varphi$，$\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]$，求体积：
$$V = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\pi/2}\dd\varphi\int_0^{2a\cos\varphi}r^2\sin\varphi\,\dd r = \frac{16\pi}{3}\int_0^{\pi/2}\cos^3\!\varphi\sin\varphi\,\dd\varphi = \frac{4\pi a^3}{3}$$
⚠️ 易错点（三重积分，3条）
易错1：柱坐标当成 $r^2$、球坐标漏 $r^2\sin\varphi$。 换坐标第一动作就是把体积元因子写上——柱是 $r$，球是 $r^2\sin\varphi$。这是三重积分换坐标的最高频丢分点。
易错2：球坐标 $\varphi$ 当成仰角。 $\varphi$ 是与 $z$ 轴正向的夹角，范围 $[0,\pi]$；下半球是 $\varphi\in[\tfrac\pi2,\pi]$，不是负角。
易错3：偏心球 $\varphi$ 上限写成 $\pi$。 $x^2+y^2+z^2\leq 2az$ 要求 $\cos\varphi\geq 0$，故 $\varphi\in[0,\tfrac\pi2]$，写 $\pi$ 会把积分算错。
