9.3.1 曲面面积
显式曲面 $z = f(x,y)$ 在 $D$ 上方的面积
$$A = \iint_D \sqrt{1+\left(\frac{\pp z}{\pp x}\right)^2+\left(\frac{\pp z}{\pp y}\right)^2}\;\dd x\,\dd y$$
公式理解：曲面面积 = 曲面微元 $\dd S$ 的积分。$\dd S = |\boldsymbol{r}_x\times\boldsymbol{r}_y|\dd x\dd y$，其中 $\boldsymbol{r}_x = (1,0,f_x)$，$\boldsymbol{r}_y = (0,1,f_y)$，叉积模 $= \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$。
参数曲面 $\boldsymbol{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$
$$A = \iint_{D_{uv}} |\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v|\,\dd u\,\dd v$$
笔记例题：求球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 被柱面 $x^2+y^2=ax$ 截得的面积。
取上半球 $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$：
$$z_x = \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},\quad z_y = \frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$$
$$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} = \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}$$
投影 $D$：$x^2+y^2\leq ax$，极坐标 $r\leq a\cos\theta$，$\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
$$A = 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dd\theta\int_0^{a\cos\theta}\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\cdot r\dd r = 2a^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1-\sin\theta)\dd\theta = 2a^2(\pi-2)$$
9.3.3 质量、质心与转动惯量
平面薄片（密度 $\rho(x,y)$）
$$M = \iint_D\rho(x,y)\dd\sigma, \quad \bar{x} = \frac{\iint_D x\rho\dd\sigma}{M}, \quad \bar{y} = \frac{\iint_D y\rho\dd\sigma}{M}$$
立体（密度 $\rho(x,y,z)$）
$$M = \iiint_\Omega\rho\dd V, \quad \bar{x} = \frac{\iiint_\Omega x\rho\dd V}{M}$$
转动惯量
对 $x$ 轴：$I_x = \iint_D y^2\rho\dd\sigma$（或 $\iiint_\Omega(y^2+z^2)\rho\dd V$）
对 $y$ 轴：$I_y = \iint_D x^2\rho\dd\sigma$
对原点：$I_O = \iint_D(x^2+y^2)\rho\dd\sigma$
笔记例题（p41）：半球 $x^2+y^2+z^2\leq R^2$，$z\geq 0$，密度 $\rho = x^2+y^2$。求表面上的质量。
这实际上是曲面积分：$M = \iint_{球面} (x^2+y^2)\dd S$
用球坐标参数化：$x^2+y^2 = R^2\sin^2\varphi$，$\dd S = R^2\sin\varphi\dd\varphi\dd\theta$
$$M = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\pi/2}R^2\sin^2\varphi\cdot R^2\sin\varphi\dd\varphi = 2\pi R^4\int_0^{\pi/2}\sin^3\varphi\dd\varphi = 2\pi R^4\cdot\frac{2}{3} = \frac{4\pi R^4}{3}$$
利用对称性：如果区域和密度都关于某个坐标平面对称，则质心在该对称平面上。例如均匀半球的质心必在 $z$ 轴上（$\bar{x}=\bar{y}=0$）。
📝 精选例题：重积分应用
【2022-2023 解答16】 求 $z=x^2+y^2$ 在柱面 $x^2+y^2\leq 2ax$ 内的面积。
点击查看解析
$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{1+4r^2}$。$D$：$r\leq 2a\cos\theta$，$\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。
$$S=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dd\theta\int_0^{2a\cos\theta}\sqrt{1+4r^2}\cdot r\,\dd r=\frac{1}{12}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}[(1+16a^2\cos^2\theta)^{3/2}-1]\dd\theta$$
最终 $S=(3+\frac{\pi}{2})a^2$。
曲面面积三步走：① $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$ → ② 确定投影区域 → ③ 极坐标积分。
【2023-2024 解答14】 抛物面 $z=x^2+y^2$ 与 $z=1$ 围成体积。
点击查看解析
$$V=\iint_D(1-x^2-y^2)\dd\sigma=\int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^1(1-r^2)r\dd r=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}$$
【2022-2023 解答17】 半球 $\Omega: x^2+y^2+z^2\leq 1,z\geq 0$，$\rho=z$，求质量。
点击查看解析
$$M=\int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^{\pi/2}\dd\varphi\int_0^1 r\cos\varphi\cdot r^2\sin\varphi\,\dd r=2\pi\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{4}$$
【课后题精选】 锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在 $x^2+y^2\leq 2ax$ 内的面积。
点击查看解析
$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{2}$（常数！）。$S=\sqrt{2}\cdot\pi a^2$
锥面面积 = $\sqrt{2}\times$ 投影面积，因为 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$ 恰好是常数。
【课后题精选】 $D: 0\leq x\leq 1, x^2\leq y\leq 1$，$\rho=x$，求质心。
点击查看解析
$M=\int_0^1 x(1-x^2)\dd x=\frac{1}{4}$
$\bar{x}=\frac{\int_0^1 x^2(1-x^2)\dd x}{1/4}=\frac{2/15}{1/4}=\frac{8}{15}$
$\bar{y}=\frac{\int_0^1 x\frac{1-x^4}{2}\dd x}{1/4}=\frac{1/6}{1/4}=\frac{2}{3}$
质心 $\left(\frac{8}{15},\frac{2}{3}\right)$。
$M_y$（对 $y$ 轴的矩 $=\iint x\rho$）对应 $\bar{x}$，别搞反！
【2020-2021 解答16】 柱面 $z=\frac{1}{2}x^2$ 被 $|x|+|y|=1$ 截下的曲面面积。
点击查看解析
$z_x=x$，$z_y=0$。$\sqrt{1+x^2+0}=\sqrt{1+x^2}$。
$D: |x|+|y|\leq 1$（正方形区域，对称性 $\times 4$）。
$$S=4\int_0^1\dd x\int_0^{1-x}\sqrt{1+x^2}\dd y=4\int_0^1(1-x)\sqrt{1+x^2}\dd x$$
分成两个积分：$4\int_0^1\sqrt{1+x^2}\dd x-4\int_0^1 x\sqrt{1+x^2}\dd x$
第一个用 $x=\tan t$；第二个凑微分 $=\frac{4}{3}[(1+x^2)^{3/2}]_0^1$。
