📖 目录0. 一元积分公式速查 →

常用微分与积分公式总表

一、基本初等函数的导数

$f(x)$$f'(x)$
$C$（常数）$0$
$x^n$$nx^{n-1}$（$n$ 为任意实数）
$e^x$$e^x$
$a^x$$a^x\ln a$
$\ln x$$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x$$\dfrac{1}{x\ln a}$
$\sin x$$\cos x$
$\cos x$$-\sin x$
$\tan x$$\sec^2 x$
$\cot x$$-\csc^2 x$
$\sec x$$\sec x\tan x$
$\csc x$$-\csc x\cot x$
$\arcsin x$$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$$\dfrac{1}{1+x^2}$
$\text{arccot}\,x$$-\dfrac{1}{1+x^2}$

二、求导法则

四则运算
$$(u\pm v)' = u'\pm v', \qquad (uv)' = u'v+uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$$
链式法则（复合函数）
$$[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x)$$
常用复合求导
$$(e^{g(x)})' = g'(x)\,e^{g(x)}, \qquad (\ln|g(x)|)' = \frac{g'(x)}{g(x)}$$ $$(\sin g(x))' = g'(x)\cos g(x), \qquad (\cos g(x))' = -g'(x)\sin g(x)$$ $$([g(x)]^n)' = n[g(x)]^{n-1}\cdot g'(x), \qquad (a^{g(x)})' = a^{g(x)}\ln a\cdot g'(x)$$

三、常用高阶导数

$f(x)$$f^{(n)}(x)$
$e^{ax}$$a^n e^{ax}$
$\sin(ax+b)$$a^n\sin\!\left(ax+b+\dfrac{n\pi}{2}\right)$
$\cos(ax+b)$$a^n\cos\!\left(ax+b+\dfrac{n\pi}{2}\right)$
$x^m$（$m\geq n$）$m(m-1)\cdots(m-n+1)\,x^{m-n}$
$\ln(1+x)$$(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}$
$\dfrac{1}{x+a}$$(-1)^n\dfrac{n!}{(x+a)^{n+1}}$
Leibniz公式（乘积的高阶导数）
$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}$$

四、基本积分公式

不定积分结果
$\displaystyle\int x^n\dd x$（$n\neq -1$）$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\displaystyle\int\frac{1}{x}\dd x$$\ln|x|+C$
$\displaystyle\int e^x\dd x$$e^x+C$
$\displaystyle\int a^x\dd x$$\dfrac{a^x}{\ln a}+C$
$\displaystyle\int\sin x\,\dd x$$-\cos x+C$
$\displaystyle\int\cos x\,\dd x$$\sin x+C$
$\displaystyle\int\sec^2 x\,\dd x$$\tan x+C$
$\displaystyle\int\csc^2 x\,\dd x$$-\cot x+C$
$\displaystyle\int\sec x\tan x\,\dd x$$\sec x+C$
$\displaystyle\int\csc x\cot x\,\dd x$$-\csc x+C$
$\displaystyle\int\tan x\,\dd x$$-\ln|\cos x|+C$
$\displaystyle\int\cot x\,\dd x$$\ln|\sin x|+C$
$\displaystyle\int\sec x\,\dd x$$\ln|\sec x+\tan x|+C$
$\displaystyle\int\csc x\,\dd x$$\ln|\csc x-\cot x|+C$

五、含根号 / 有理函数积分（重积分计算常用！）

不定积分结果
$\displaystyle\int\frac{\dd x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$\arcsin\dfrac{x}{a}+C$
$\displaystyle\int\frac{\dd x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$$\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$
$\displaystyle\int\frac{\dd x}{a^2+x^2}$$\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$
$\displaystyle\int\frac{\dd x}{x^2-a^2}$$\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$
$\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\,\dd x$$\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}+C$
$\displaystyle\int\sqrt{x^2\pm a^2}\,\dd x$$\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\dfrac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$

六、常用等价无穷小（$x\to 0$）

函数等价函数等价
$\sin x$$\sim x$$\arcsin x$$\sim x$
$\tan x$$\sim x$$\arctan x$$\sim x$
$1-\cos x$$\sim\dfrac{x^2}{2}$$e^x-1$$\sim x$
$\ln(1+x)$$\sim x$$(1+x)^\alpha-1$$\sim\alpha x$
$x-\sin x$$\sim\dfrac{x^3}{6}$$\tan x-x$$\sim\dfrac{x^3}{3}$
$x-\ln(1+x)$$\sim\dfrac{x^2}{2}$$x-\arctan x$$\sim\dfrac{x^3}{3}$
使用条件：等价无穷小只能在乘除中替换，不能在加减中直接替换！
例：$\sin x - \tan x \neq x - x = 0$（错！），正确做法：$\sin x - \tan x = \sin x(1-\sec x) \sim x\cdot(-\frac{x^2}{2}) = -\frac{x^3}{2}$

七、常用Taylor展开（$x\to 0$）

必背的展开式
$$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$ $$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots \qquad \cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ $$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots \qquad (|x|<1)$$ $$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots \qquad (|x|<1)$$ $$\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots \qquad (|x|<1)$$ $$(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots \qquad (|x|<1)$$ $$\tan x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots$$ $$\arcsin x = x+\frac{x^3}{6}+\cdots \qquad \arctan x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$$

八、积分技巧速查

分部积分 $\int u\,\dd v = uv - \int v\,\dd u$

口诀：反对幂指三（$u$ 的优先级：反三角 > 对数 > 幂 > 指数 > 三角）

常用组合：

三角代换
Wallis公式（重积分计算常用）
$$\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,\dd x = \int_0^{\pi/2}\cos^n x\,\dd x = \begin{cases}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\dfrac{\pi}{2}, &n\text{为偶数}\\[8pt] \dfrac{(n-1)!!}{n!!}, &n\text{为奇数}\end{cases}$$

其中 $n!! = n(n-2)(n-4)\cdots$，例如 $6!!=6\times4\times2=48$，$5!!=5\times3\times1=15$。

📖 目录0. 一元积分公式速查 →