📖 目录公式总表积分区域专题

考前抢分：二级结论 & 核心公式

基于 8 年真题高频考点提炼 · 睡前过一遍 · 明天直接用

一、多元极限（选择/填空 3分）

二重极限不存在的判定（最常考）

沿不同路径趋近 $(0,0)$，极限值不同 → 极限不存在

常用路径：$y=0$，$x=0$，$y=x$，$y=kx$，$y=x^2$

速判：$\lim\frac{x^a y^b}{x^m+y^n}$，若沿 $y=kx$ 极限含 $k$ → 不存在。若分子次数 $\gt$ 分母次数 → 极限$=0$。
二级结论：$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ 不存在（沿 $y=kx$ 得 $\frac{k}{1+k^2}$，依赖 $k$）

二、偏导数（填空/计算 每年必考）

分段函数在原点的偏导（定义法！）
$$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$$

不能用公式法，必须回到定义！公式法只在偏导连续时成立。

全微分 $\dd z$
$$\dd z = f_x\,\dd x + f_y\,\dd y = \frac{\pp z}{\pp x}\dd x + \frac{\pp z}{\pp y}\dd y$$
二级结论：$u=(x+z)^{x+z}$，求 $\dd u$：先取对数 $\ln u = (x+z)\ln(x+z)$，两边微分。

三、可微性判定（选择题 3分 每年必考）

四概念关系链（必背！） $$\text{偏导连续} \Rightarrow \text{可微} \Rightarrow \begin{cases}\text{连续}\\\text{可偏导}\end{cases}$$

反过来全都不成立！可偏导 $\not\Rightarrow$ 连续，连续 $\not\Rightarrow$ 可偏导，可偏导 $\not\Rightarrow$ 可微。

可微的定义（判定法）
$$\Delta z = f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y + o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})$$

实操：算 $\alpha = \frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$

若 $\lim\alpha = 0$ → 可微；否则不可微。

经典反例：$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\ne(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$

在原点：连续 ✓、可偏导（$f_x=f_y=0$）✓、可微 ✓、但偏导不连续 ✗

另一经典：$f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2 y}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$

在原点：连续 ✓、可偏导 ✓、不可微 ✗（沿 $y=x$ 验证）

四、链式法则 & 隐函数（计算题 8-10分）

复合函数链式法则（画树状图！）

$z=f(u,v)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$：

$$\frac{\pp z}{\pp x} = \frac{\pp f}{\pp u}\cdot\frac{\pp u}{\pp x} + \frac{\pp f}{\pp v}\cdot\frac{\pp v}{\pp x}$$
全微分形式不变性
$$\dd z = \frac{\pp z}{\pp u}\dd u + \frac{\pp z}{\pp v}\dd v$$

无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量，形式相同。

隐函数求导公式

$F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$：

$$\frac{\pp z}{\pp x} = -\frac{F_x}{F_z}, \qquad \frac{\pp z}{\pp y} = -\frac{F_y}{F_z}$$
二级结论：方程组 $\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}$ 确定 $u(x,y),v(x,y)$，用 Jacobi 行列式： $$\frac{\pp u}{\pp x} = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix}F_x&F_v\\G_x&G_v\end{vmatrix},\quad J=\frac{\pp(F,G)}{\pp(u,v)}=\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}$$

五、方向导数 & 梯度（填空/计算 每年必考）

方向导数公式（可微时）
$$\frac{\pp f}{\pp \boldsymbol{l}} = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta \quad\text{（二维）}$$ $$\frac{\pp f}{\pp \boldsymbol{l}} = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta + f_z\cos\gamma \quad\text{（三维）}$$

其中 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 是方向 $\boldsymbol{l}$ 的单位向量。

二级结论：不可微时必须用定义法！ $$\frac{\pp f}{\pp \boldsymbol{l}}\bigg|_{P_0} = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(P_0+t\boldsymbol{e}_l)-f(P_0)}{t}$$

分段函数在原点常不可微 → 公式法失效 → 必须用定义！

梯度
$$\grad f = \left(\frac{\pp f}{\pp x}, \frac{\pp f}{\pp y}\right) = f_x\boldsymbol{i}+f_y\boldsymbol{j}$$
二级结论：

六、曲线切线 & 曲面切平面（计算题 8分）

空间曲线切线

参数形式 $\boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$：切向量 $\boldsymbol{T}=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$

两曲面 $F=0,G=0$ 交线：切向量 $\boldsymbol{T}=\grad F\times\grad G$

曲面 $F(x,y,z)=0$ 的切平面与法线

法向量 $\boldsymbol{n} = (F_x, F_y, F_z)\big|_{P_0}$

切平面：$F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$

法线：$\frac{x-x_0}{F_x}=\frac{y-y_0}{F_y}=\frac{z-z_0}{F_z}$

二级结论：曲面 $z=f(x,y)$ 可写为 $F=z-f(x,y)=0$，法向量 $= (-f_x,-f_y,1)$。

切平面方程：$z-z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

速算：曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 的切平面：$\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}+\frac{z_0 z}{c^2}=1$

七、极值问题（计算题 8-10分）

无条件极值：AC-B² 判别法

驻点 $(x_0,y_0)$（$f_x=f_y=0$），令 $A=f_{xx},\;B=f_{xy},\;C=f_{yy}$：

条件极值：拉格朗日乘数法

求 $f(x,y,z)$ 在约束 $g(x,y,z)=0$ 下的极值：

$$\grad f = \lambda\grad g \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}f_x=\lambda g_x\\f_y=\lambda g_y\\f_z=\lambda g_z\\g(x,y,z)=0\end{cases}$$
二级结论：闭区域上连续函数的最值 = $\max\{$内部驻点值, 边界上的最值$\}$
考试技巧：

八、二重积分（计算题 8-10分 每年必考）

直角坐标

X-型：$\int_a^b\dd x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f\,\dd y$  |  Y-型：$\int_c^d\dd y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f\,\dd x$

极坐标（圆形区域必用！）
$$\iint_D f(x,y)\,\dd\sigma = \int_\alpha^\beta\dd\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r\,\dd r$$
极坐标二级结论（直接用！）
区域极坐标积分限
$x^2+y^2\le R^2$$\theta\in[0,2\pi],\;r\in[0,R]$
$x^2+y^2\le 2Rx$$\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],\;r\in[0,2R\cos\theta]$
$x^2+y^2\le 2Ry$$\theta\in[0,\pi],\;r\in[0,2R\sin\theta]$
环形 $a^2\le x^2+y^2\le b^2$$\theta\in[0,2\pi],\;r\in[a,b]$
对称性（先判断！可能整题秒杀）
二级结论：交换次序信号

内层积分含 $e^{y^2}$、$e^{-x^2}$、$\frac{\sin t}{t}$、$\frac{\cos t}{t}$ 等不可积函数 → 必须交换次序

Wallis积分（极坐标常用）： $\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = \int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\dd\theta$
$n$ 为偶数：$\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}$  |  $n$ 为奇数：$\frac{(n-1)!!}{n!!}$
常用：$\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta=\frac{\pi}{4}$，$\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta=\frac{2}{3}$，$\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta=\frac{3\pi}{16}$

九、三重积分（计算题 10分 每年必考）

柱坐标 $(r,\theta,z)$
$$\dd V = r\,\dd r\,\dd\theta\,\dd z$$

适用：圆柱、旋转抛物面 $z=r^2$、旋转曲面

球坐标 $(\rho,\varphi,\theta)$
$$\dd V = \rho^2\sin\varphi\,\dd\rho\,\dd\varphi\,\dd\theta$$

$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\;y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\;z=\rho\cos\varphi$

$\varphi\in[0,\pi]$ 从 $z$ 轴正向量起！$\theta\in[0,2\pi)$

球坐标二级结论（直接用！背死！）
曲面球坐标方程
球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$$\rho=R$
锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$$\varphi=\pi/4$
锥面 $z=\sqrt{3(x^2+y^2)}$$\varphi=\pi/6$
锥面 $z=\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{x^2+y^2}$$\varphi=\pi/3$
$x^2+y^2+z^2=2az$$\rho=2a\cos\varphi$
上半空间 $z\ge 0$$\varphi\in[0,\pi/2]$
半空间 $x\ge 0$$\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$
截面法（正方形/圆形截面时最快）
$$V=\int_a^b S(z)\,\dd z$$
对称性二级结论：

十、重积分应用（计算题 10分）

曲面面积
$$S = \iint_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd x\,\dd y$$
二级结论（速算面积因子）
曲面$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$速算
锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$$\sqrt{2}$面积 $= \sqrt{2}\times$ 投影面积
锥面 $z=k\sqrt{x^2+y^2}$$\sqrt{1+1/k^2}$
球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$$\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}$极坐标：$R\cdot\int\frac{r\,\dd r}{\sqrt{R^2-r^2}}$
平面 $z=ax+by+c$$\sqrt{1+a^2+b^2}$（常数）面积 $= \sqrt{1+a^2+b^2}\times$ 投影面积
体积
$$V = \iint_{D_{xy}}(z_\text{上}-z_\text{下})\,\dd\sigma = \int_a^b S(z)\,\dd z = \iiint_\Omega\dd V$$
质量、质心、转动惯量
$$M=\iint_D\rho\,\dd\sigma,\quad \bar{x}=\frac{1}{M}\iint_D x\rho\,\dd\sigma,\quad I_x=\iint_D y^2\rho\,\dd\sigma$$

三重积分同理：$M=\iiint\rho\,\dd V$，$I_z=\iiint(x^2+y^2)\rho\,\dd V$

十一、致命易错清单

做题时逐条对照！
  1. 极坐标忘乘 $r$：$\dd\sigma=r\,\dd r\,\dd\theta$，不是 $\dd r\,\dd\theta$
  2. 球坐标忘乘 $\rho^2\sin\varphi$：$\dd V=\rho^2\sin\varphi\,\dd\rho\,\dd\varphi\,\dd\theta$
  3. 偏导用定义还是公式：分段函数在分界点 → 用定义
  4. 方向导数用定义还是公式：不可微时 → 用定义
  5. $\varphi$ 是从 $z$ 轴量起：$\varphi\in[0,\pi]$，不是从 $xy$ 面量起！
  6. 偏心圆 $\theta$ 范围：$x^2+y^2\le 2ax$ → $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$
  7. 交换次序必须画图：不画图凭感觉写积分限 → 必错
  8. 对称性先查：做积分前先看对称性，可能一行解决
  9. 隐函数求导带负号：$\frac{\pp z}{\pp x}=-\frac{F_x}{F_z}$，别忘负号
  10. $AC-B^2$ 的 $B$ 是 $f_{xy}$：不是 $f_{xx}\cdot f_{yy}$，是混合偏导

十二、常用积分结果速查

积分结果
$\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\,\dd\theta = \int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,\dd\theta$$\frac{\pi}{4}$
$\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\,\dd\theta = \int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta$$\frac{2}{3}$
$\int_0^{\pi/2}\sin^4\theta\,\dd\theta = \int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,\dd\theta$$\frac{3\pi}{16}$
$\int_0^{\pi}|\cos\theta|\,\dd\theta$$2$
$\int_0^{2\pi}|\cos\theta|\,\dd\theta$$4$
$\int_0^1 r\sqrt{1-r^2}\,\dd r$$\frac{1}{3}$
$\int_0^1 r^3 e^{r^2}\,\dd r$$\frac{1}{2}$（令$t=r^2$）
$\int_0^1 te^t\,\dd t$$1$（分部积分）
球体体积 $\frac{4}{3}\pi R^3$球面面积 $4\pi R^2$
$\iiint_{球R} \rho^2\,\dd V$（球坐标）$\frac{4\pi R^5}{5}$

十三、答题策略

试卷结构（基于8年真题）

时间分配：选择填空 30min → 计算题 70min → 证明题 20min

拿分策略
  1. 选择填空先做：多为概念辨析（可微性关系链、极限判断），用排除法
  2. 计算题写步骤：即使算不出最终结果，列出正确的积分式、画出区域图都有过程分
  3. 对称性先扫一遍：很多积分题的某些项是0，可以大幅简化
  4. 不会的先跳过：证明题分值比计算题低，但耗时更长
  5. 检查体积元：写完积分后检查极坐标有没有乘 $r$，球坐标有没有乘 $\rho^2\sin\varphi$

基于 2016-2025 共 8 年真题提炼 | 祝你明天考试顺利！