习题文件3（积分计算综合练习）
这些习题页建议自己动手做，对照学姐的解答过程检查。重点关注：
① 交换积分次序时画图的过程
② 极坐标/柱坐标/球坐标的选择判断
③ 利用对称性化简的技巧
④ 曲面面积公式 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$ 的计算
① 交换积分次序时画图的过程
② 极坐标/柱坐标/球坐标的选择判断
③ 利用对称性化简的技巧
④ 曲面面积公式 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$ 的计算
原区域：$y\leq x\leq\sqrt{y}$，$0\leq y\leq 1$。即 $x^2\leq y\leq x$，$0\leq x\leq 1$。
$$= \int_0^1\dd x\int_{x^2}^{x} f(x,y)\,\dd y$$画图：$y=x$ 和 $y=x^2$ 围成的区域，交点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
交换积分次序：原区域 $0\leq y\leq x$，$0\leq x\leq 1$。
改为先积 $x$：$y\leq x\leq 1$，$0\leq y\leq 1$。
$$= \int_0^1\dd y\int_y^1 f(x,y)\,\dd x$$当 $f$ 只依赖 $y$ 时：$=\int_0^1 f(y)(1-y)\,\dd y$ ✓
重要公式：$\int_0^b\dd x\int_0^x f(y)\,\dd y = \int_0^b f(y)(b-y)\,\dd y$（累次积分与单积分的转换）
矩形区域上的乘积公式：当积分区域是矩形，且被积函数可以分离为 $f(x)\cdot g(y)$ 时，二重积分等于两个一元积分的乘积。
$$\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x)g(y)\,\dd\sigma = \left(\int_a^b f(x)\,\dd x\right)\left(\int_c^d g(y)\,\dd y\right)$$注意：这个公式只对矩形区域成立！非矩形区域（如圆域）不能直接分离。
设 $A = \iint_{[0,1]^2} f\,\dd x\,\dd y$，则 $f(x,y) = A + 4xy + 1$。
代入：$A = \iint_{[0,1]^2}(A+4xy+1)\,\dd x\,\dd y = A + 4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+1 = A+2$
矛盾！说明 $A = \iint(A+4xy+1)$ 给出 $0=2$......
重新审视：若 $f(x,y) = 4xy+1$，则 $A = \int_0^1\int_0^1(4xy+1)\,\dd x\,\dd y = 1+1 = 2$，$f = 2+4xy+1=4xy+3$？
实际答案：$f(x,y) = 4xy + 1$，$A = 2$。验证：$A + 4xy + 1 = 2+4xy+1 \neq 4xy+1$... 需要以笔记原题为准。
证明（Cauchy-Schwarz 积分形式）：
$$\left(\int_a^b 1\,\dd x\right)^2 = \left(\int_a^b\sqrt{f}\cdot\frac{1}{\sqrt{f}}\,\dd x\right)^2 \leq \int_a^b f\,\dd x\cdot\int_a^b\frac{1}{f}\,\dd x$$即 $(b-a)^2 \leq \int_a^b f\,\dd x\cdot\int_a^b\frac{1}{f}\,\dd x$ ✓
技巧：Cauchy-Schwarz 拆分：把 $1$ 拆成 $\sqrt{f}\cdot\frac{1}{\sqrt{f}}$。这是积分不等式证明的标准套路。
等号成立当且仅当 $f(x)/g(x) = \text{const}$。
当 $f$ 在原点连续时，对 $\forall\varepsilon>0$，$\exists\delta>0$，当 $r<\delta$ 时 $|f-f(0,0)|<\varepsilon$，
$$\left|\frac{1}{\pi r^2}\iint f\,\dd\sigma - f(0,0)\right| = \left|\frac{1}{\pi r^2}\iint[f-f(0,0)]\,\dd\sigma\right| \leq \frac{1}{\pi r^2}\iint\varepsilon\,\dd\sigma = \varepsilon$$故极限等于 $f(0,0)$。这是二重积分的中值定理。