$z_x=4x^3-4x$，$z_y=4y^3$。在 $(1,1)$：$z_x=0$，$z_y=4$。

法向量 $(z_x,z_y,-1)=(0,4,-1)$。但题目答案是 $12x-9y+2z-9=0$...可能题目和我记的不完全一致。

方法：$F=x^4+y^4-2x^2-z$，$\boldsymbol{n}=(F_x,F_y,F_z)|_P$，切平面 $F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$。

两曲面交线求切线：切向量 = 两法向量的叉积。

$F=x^2+y^2+z^2-6$，$\boldsymbol{n_1}=(2x,2y,2z)|_{(1,-2,1)}=(2,-4,2)$

$G=x+y+z$，$\boldsymbol{n_2}=(1,1,1)$

$$\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{n_1}\times\boldsymbol{n_2}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\2&-4&2\\1&1&1\end{vmatrix}=(-6,0,6)$$

化简：$\boldsymbol{\tau}=(-1,0,1)$

切线：$\frac{x-1}{-1}=\frac{z-1}{1},\;y=-2$

模板：两曲面交线 → $\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{n_1}\times\boldsymbol{n_2}$（叉积）→ 代入点坐标 → 写方程。

旋转曲面方程：将 $x$ 替换为 $\sqrt{x^2+z^2}$：$3(x^2+z^2)+2y^2=12$。

$F=3(x^2+z^2)+2y^2-12$。

$F_x=6x|_P=0$，$F_y=4y|_P=4\sqrt{3}$，$F_z=6z|_P=6\sqrt{2}$。

切平面：$4\sqrt{3}(y-\sqrt{3})+6\sqrt{2}(z-\sqrt{2})=0$，化简：$2\sqrt{3}y+3\sqrt{2}z-12=0$

旋转曲面：曲线 $f(y,x)=0$ 绕 $y$ 轴旋转 → 把 $x$ 换成 $\sqrt{x^2+z^2}$。绕 $x$ 轴旋转 → 把 $y$ 换成 $\sqrt{y^2+z^2}$。

$F=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{a}$。在 $(x_0,y_0,z_0)$：

$F_x=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$，$F_y=\frac{1}{2\sqrt{y_0}}$，$F_z=\frac{1}{2\sqrt{z_0}}$。

切平面：$\frac{x-x_0}{2\sqrt{x_0}}+\frac{y-y_0}{2\sqrt{y_0}}+\frac{z-z_0}{2\sqrt{z_0}}=0$

令 $y=z=0$：$x$截距 $=x_0+2\sqrt{x_0}(\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0})=x_0+2\sqrt{x_0}(\sqrt{a}-\sqrt{x_0})=2\sqrt{ax_0}-x_0$

三个截距之和 $=2\sqrt{a}(\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0})-(x_0+y_0+z_0)=2a-(x_0+y_0+z_0)$...

需要更仔细地展开。这类证明题的要点是写出切平面方程 → 代特殊值求截距 → 利用曲面方程化简。