曲线 $C:\;\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，在 $t=t_0$ 处：

切向量：$\boldsymbol{\tau} = (x'(t_0),\;y'(t_0),\;z'(t_0))$

切线方程：$\frac{x-x_0}{x'} = \frac{y-y_0}{y'} = \frac{z-z_0}{z'}$

法平面方程：$x'(x-x_0)+y'(y-y_0)+z'(z-z_0)=0$

$\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$

两曲面法向量 $\boldsymbol{n_1}=(F_x,F_y,F_z)$，$\boldsymbol{n_2}=(G_x,G_y,G_z)$

切向量 $= \boldsymbol{n_1}\times\boldsymbol{n_2} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\F_x&F_y&F_z\\G_x&G_y&G_z\end{vmatrix}$

法向量：$\boldsymbol{n} = (F_x, F_y, F_z)\big|_{P_0}$

切平面：$F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0$

法线：$\dfrac{x-x_0}{F_x}=\dfrac{y-y_0}{F_y}=\dfrac{z-z_0}{F_z}$

令 $F = f(x,y)-z$，则 $\boldsymbol{n} = (f_x, f_y, -1)$

切平面：$z-z_0 = f_x(P_0)(x-x_0)+f_y(P_0)(y-y_0)$

（这正是全微分的几何意义：切平面就是线性近似 $\Delta z \approx \dd z$。）

固定 $v=v_0$，曲线 $\boldsymbol{r}(u,v_0)$ 的切向量：$\boldsymbol{r}_u = (x_u,\;y_u,\;z_u)\big|_{(u_0,v_0)}$

固定 $u=u_0$，曲线 $\boldsymbol{r}(u_0,v)$ 的切向量：$\boldsymbol{r}_v = (x_v,\;y_v,\;z_v)\big|_{(u_0,v_0)}$

这两个切向量都在切平面内，故法向量为：

切平面方程：$\begin{vmatrix}x-x_0 & y-y_0 & z-z_0\\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v\end{vmatrix} = 0$

法线方程：$\dfrac{x-x_0}{A}=\dfrac{y-y_0}{B}=\dfrac{z-z_0}{C}$，其中 $(A,B,C)=\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v$

识别特征：给出曲面方程（隐式 $F(x,y,z)=0$ 或显式 $z=f(x,y)$）和曲面上一点，求切平面（或法线）方程。

标准步骤：

1. 将曲面化为隐式 $F(x,y,z)=0$（若为显式 $z=f(x,y)$，令 $F=f(x,y)-z$）
2. 计算法向量 $\boldsymbol{n}=(F_x,F_y,F_z)\big|_{P_0}$（注意显式曲面 $F_z=-1$）
3. 写出切平面：$F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$
4. 验证切点在曲面上（代入检查）

速解技巧：显式曲面 $z=f(x,y)$ 的切平面直接写 $z-z_0=f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)$，法向量 $(f_x,f_y,-1)$，无需引入 $F$。

易错点：①忘记验证切点在曲面上；②显式曲面忘记 $F_z=-1$（不是 $0$）；③法向量各分量在切点处取值（不是一般表达式）。

识别特征：给出两曲面 $F=0$，$G=0$ 的交线，求交线在某点处的切线方程（或法平面方程）。

标准步骤：

1. 验证给定点在两曲面上（代入检查）
2. 计算两曲面的法向量 $\boldsymbol{n}_1=(F_x,F_y,F_z)\big|_{P_0}$，$\boldsymbol{n}_2=(G_x,G_y,G_z)\big|_{P_0}$
3. 计算切向量（叉积）：$\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\F_x&F_y&F_z\\G_x&G_y&G_z\end{vmatrix}$
4. 化简 $\boldsymbol{\tau}$，写出切线：$\dfrac{x-x_0}{\tau_1}=\dfrac{y-y_0}{\tau_2}=\dfrac{z-z_0}{\tau_3}$
5. 法平面：$\tau_1(x-x_0)+\tau_2(y-y_0)+\tau_3(z-z_0)=0$

速解技巧：叉积行列式第二行符号为正，第三行符号为正；$\boldsymbol{j}$ 分量展开时带负号（$-\det[\cdots]$），勿遗漏。

易错点：①叉积 $\boldsymbol{j}$ 分量忘记取负；②切向量只需方向，可约去公因子；③当某分量为 $0$ 时切线方程写成"$x=x_0$"形式而非分式。

识别特征：曲线绕坐标轴旋转得到旋转曲面，在某点求切平面。

标准步骤：

1. 写出旋转曲面方程：曲线 $f(y,x)=0$ 绕 $y$ 轴旋转 → 将 $x$ 换成 $\sqrt{x^2+z^2}$，即 $f\!\left(y,\sqrt{x^2+z^2}\right)=0$
2. 令 $F=f\!\left(y,\sqrt{x^2+z^2}\right)$，计算 $F_x,F_y,F_z$ 在切点处的值
3. 代入切平面公式 $F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$

速解技巧：绕 $y$ 轴时 $x$ 换 $\sqrt{x^2+z^2}$，绕 $x$ 轴时 $y$ 换 $\sqrt{y^2+z^2}$，绕 $z$ 轴时 $x$（或 $y$）换 $\sqrt{x^2+y^2}$，规律：将旋转轴以外的两个变量合并。

易错点：①旋转替换方向搞错（绕哪个轴，哪个轴的变量不换）；②求 $F_x$ 时注意链式法则，$\dfrac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+z^2}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+z^2}}$；③切点须先验证满足旋转曲面方程。

识别特征：证明某类曲面的切平面满足某个几何性质，如过原点、截距之和为常数、切平面过固定点等。

标准步骤：

1. 设一般切点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 满足曲面方程
2. 令 $F$ 为曲面的隐函数，用链式法则计算 $F_x,F_y,F_z$（含 $P_0$ 坐标）
3. 写出在 $P_0$ 处的切平面方程
4. 将待证几何性质（如代入原点坐标、计算截距）代入切平面方程，利用曲面方程化简，验证成立

速解技巧：验证"切平面过原点"——将 $(0,0,0)$ 代入切平面方程，整理后利用曲面方程 $F(x_0,y_0,z_0)=0$ 约去即可；验证"截距之和为 $a$"——令 $y=z=0$ 得 $x$ 截距，依次类推，再用曲面方程化简相加。

易错点：①链式法则中间量（如 $u=x/z$）的偏导别漏项；②证明过程需明确"曲面方程"被用在哪一步；③结论处用 $\blacksquare$ 标记，写清"代入后等于 $0$，故成立"。

• 空间曲线（参数式） $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$：切向量 $\boldsymbol{\tau}=(x',y',z')$；切线 $\dfrac{x-x_0}{x'}=\dfrac{y-y_0}{y'}=\dfrac{z-z_0}{z'}$；法平面 $x'(x-x_0)+y'(y-y_0)+z'(z-z_0)=0$
• 两曲面交线 $\begin{cases}F=0\\G=0\end{cases}$：切向量 $\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2=(F_x,F_y,F_z)\times(G_x,G_y,G_z)$
• 隐式曲面 $F(x,y,z)=0$：法向量 $\boldsymbol{n}=(F_x,F_y,F_z)$；切平面 $F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$
• 显式曲面 $z=f(x,y)$：法向量 $(f_x,f_y,\mathbf{-1})$；切平面 $z-z_0=f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)$
• 参数曲面 $\boldsymbol{r}(u,v)$：法向量 $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v$
• 旋转曲面替换：绕 $y$ 轴 → $x\to\sqrt{x^2+z^2}$；绕 $x$ 轴 → $y\to\sqrt{y^2+z^2}$；绕 $z$ 轴 → $x\to\sqrt{x^2+y^2}$（规律：旋转轴以外两个变量合并）