8.8.1 Taylor公式（极值判定的理论基础）
二元函数Taylor公式
$f(x_0+h, y_0+k)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的展开：
$$f = f(x_0,y_0) + (hf_x+kf_y) + \frac{1}{2}(h^2f_{xx}+2hkf_{xy}+k^2f_{yy}) + \cdots$$简记为 $f = f_0 + \dd f|_0 + \frac{1}{2}\dd^2f|_0 + O(\rho^3)$
8.8.2 无条件极值
极值的必要条件
若 $f(x_0,y_0)$ 是极值且 $f_x, f_y$ 存在，则 $f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$（驻点）。
极值的充分条件（AC-B² 判别法）
设 $(x_0,y_0)$ 是驻点，令
$$A = f_{xx}(x_0,y_0),\quad B = f_{xy}(x_0,y_0),\quad C = f_{yy}(x_0,y_0),\quad \Delta = AC - B^2$$| 条件 | 结论 |
|---|---|
| $\Delta > 0$，$A > 0$ | 极小值 |
| $\Delta > 0$，$A < 0$ | 极大值 |
| $\Delta < 0$ | 不是极值（鞍点） |
| $\Delta = 0$ | 无法判定 |
理解：$\Delta = AC-B^2$ 实际上是二阶微分形式 $h^2A+2hkB+k^2C$ 的判别式。$\Delta>0$ 意味着这个二次型定号（正定或负定），所以有极值。$\Delta<0$ 意味着不定号（有正有负），所以是鞍点。
极值题完整解题模板
无条件极值（3步）：
- $f_x=0,\;f_y=0$ 联立解出所有驻点
- 对每个驻点算 $A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$，$\Delta=AC-B^2$
- $\Delta>0,A>0$→极小；$\Delta>0,A<0$→极大；$\Delta<0$→鞍点；$\Delta=0$→无法判定
条件极值（拉格朗日，4步）：
- 写出 $L=f+\lambda\varphi$（一个约束）或 $L=f+\lambda\varphi+\mu\psi$（两个约束）
- $L_x=L_y=L_z=0$ + 约束方程，解出 $(x_0,y_0,z_0,\lambda)$
- 若题目已知极值存在（如"最短距离"），只需比较候选点的函数值
- 若需判定类型，用约束Hessian或几何直觉
闭区域最值（3步）：
- 内部：$f_x=f_y=0$ 找驻点（验证驻点在区域内！）
- 边界：参数化为一元函数或用拉格朗日乘数法
- 比较所有候选点的函数值，最大为最大值，最小为最小值
易错辨析
- 驻点不在区域内 → 最值只能在边界取到！（常考陷阱）
- $\Delta=0$ → AC-B²判别法失效。需回到定义：在驻点邻域内 $f-f(P_0)$ 是否保号。
- $f(x,y)=x^4+y^4$ 在原点：$\Delta=0$，但显然是极小值（因为 $f\geq 0=f(0,0)$）。
- $f(x,y)=x^3$ 在原点：$\Delta=0$，不是极值（左右异号）。
- 拉格朗日乘数法不能判定极值类型（只找候选点）。实际考试通常由几何意义或唯一性判定。
