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8.5 隐函数微分法 📖 笔记p10-11

8.5.1 一个方程确定的隐函数

隐函数

三种隐函数类型对比（笔记p10顶部）

类型方程问题条件 $C$结论偏导公式
类型1 $F(x,y)=0$ $y=f(x)$？$C^?$? $\dfrac{\dd y}{\dd x}=?$ $F_y\neq 0$ 唯一确定 $y=y(x)$ $\dfrac{\dd y}{\dd x}=-\dfrac{F_x}{F_y}$
类型2 $F(x,y,z)=0$ $\exists\,f=f(x,y)$？$C^?$？$\dfrac{\pp z}{\pp x},\dfrac{\pp z}{\pp y}$？ $F_z\neq 0$ 唯一确定 $z=z(x,y)$ $z_x=-\dfrac{F_x}{F_z}$，$z_y=-\dfrac{F_y}{F_z}$
类型3 $\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{cases}$ $\exists\,u=u(x,y),\;v=v(x,y)$？$\dfrac{\pp u}{\pp x},\dfrac{\pp v}{\pp x}$等？ $J=\dfrac{\pp(F,G)}{\pp(u,v)}\neq 0$ 唯一确定 $u,v$ 解线性方程组

类型1 详解：$F(x,y) = 0$ → $y = y(x)$

隐函数存在定理（完整陈述）

设 $F(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内满足：

  1. $F(x_0,y_0)=0$（点在曲线上）
  2. $F_x,F_y$ 在该邻域内连续
  3. $F_y(x_0,y_0)\neq 0$（关键条件）

则在 $(x_0,y_0)$ 附近唯一确定连续可微函数 $y=y(x)$，使得 $F(x,y(x))\equiv 0$，且

$$\frac{\dd y}{\dd x} = -\frac{F_x}{F_y}$$
公式推导（笔记原文）

对 $F(x,y(x))=0$ 两边对 $x$ 求导（链式法则，$y$ 是 $x$ 的函数）：

$$F_x\cdot 1 + F_y\cdot\frac{\dd y}{\dd x} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\dd y}{\dd x} = -\frac{F_x}{F_y}$$

条件 $F_y\neq 0$ 保证可以解出 $\dfrac{\dd y}{\dd x}$。

反函数关系：若 $y=f(x)$ 确定，则 $x=g(y)$ 满足 $g'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}=-\dfrac{F_y}{F_x}$（分子分母互换！）。

$$g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = -\frac{F_y}{F_x}\bigg|_{(x_0,y_0)}$$
几何解释（笔记图示）：曲线 $F(x,y)=0$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处，法向量为 $\grad F=(F_x,F_y)$。
反函数定理（一维）

$F(x,y)=0$ 既确定 $y=f(x)$（当 $F_y\neq 0$），也可看作确定 $x=g(y)$（当 $F_x\neq 0$），两者互为反函数：$f'(x)\cdot g'(y)=1$。

更一般地：$F(x,y)\equiv 0$ → $F_x+F_y y_x=0$ → $y_x=-F_x/F_y$；同理 $x_y=-F_y/F_x=-1/(y_x)$。

类型2：$F(x,y,z)=0$ → $z = z(x,y)$

公式
$$\frac{\pp z}{\pp x} = -\frac{F_x}{F_z}, \qquad \frac{\pp z}{\pp y} = -\frac{F_y}{F_z} \quad (F_z \neq 0)$$
记忆技巧：对 $F(x,y,z)=0$ 关于 $x$ 求偏导（$y$ 固定），把 $z$ 看作 $x$ 的函数：$F_x + F_z\cdot z_x = 0$，解出 $z_x = -F_x/F_z$。
本质就是对方程两边求偏导！
隐函数求二阶偏导的两种方法（笔记p10底部）

方法一（推荐）：对方程 $F=0$ 两边对 $x$ 求偏导得 $F_x+F_z z_x=0$，再对 $x$ 求偏导（注意 $F_x,F_z,z_x$ 都是 $x,y,z$ 的函数）：

$$\frac{\pp}{\pp x}(F_x+F_z z_x)=0 \;\Rightarrow\; F_{xx}+F_{xz}z_x + (F_{zx}+F_{zz}z_x)z_x + F_z z_{xx}=0$$ $$\Rightarrow\quad z_{xx}=-\frac{F_{xx}+2F_{xz}z_x+F_{zz}z_x^2}{F_z}$$

方法二：先用公式法算出 $z_x=-\dfrac{F_x}{F_z}$，然后对这个分式关于 $x$ 求偏导（商的求导法则，注意 $z$ 也是变量）：

$$z_{xx}=\frac{\pp}{\pp x}\!\left(-\frac{F_x}{F_z}\right)=-\frac{(F_{xx}+F_{xz}z_x)F_z-F_x(F_{zx}+F_{zz}z_x)}{F_z^2}$$

方法一更不容易出错，推荐在考试中使用。两种方法结果相同。

辨析：三种"对方程求偏导"的情形

隐函数的存在性判断与典型例题（笔记p10底部）

笔记例题：$F(x,y)=0$ 确定了隐函数。
笔记例题（p10底部）：$\dfrac{\pp z}{\pp x}+\dfrac{\pp z}{\pp y}+\dfrac{\pp z}{\pp z}=1$（即全微分满足某约束），$\dfrac{\dd z}{\dd s}=\cdots$（某具体例子）。

笔记原文例：$\dfrac{\pp z}{\pp x}+\dfrac{\pp z}{\pp y}=\dfrac{a_1}{a_3},\;\dfrac{\pp z}{\pp y}=\dfrac{-a_2}{a_3}$（从方程 $a_1x+a_2y+a_3z=0$ 求偏导）：

对 $a_1 x+a_2 y+a_3 z=0$ 两边对 $x$ 偏导（$y$ 固定，$z$ 是 $x,y$ 的函数）：$a_1+a_3 z_x=0$，故 $z_x=-a_1/a_3$；同理 $z_y=-a_2/a_3$。

这正是公式 $z_x=-F_x/F_z$（$F=a_1x+a_2y+a_3z$，$F_x=a_1,F_z=a_3$）的直接验证。

笔记例题（p10隐函数二阶偏导）：$F(x,y,z)=0$，求 $z_{xx}$ 和 $z_{yy}$。

i) 对 $F(x,y,z)=0$ 关于 $x$ 求偏导（$y$ 固定）：$F_x+F_z z_x=0$

ii) 再对 $x$ 求偏导（注意 $z_x$ 也是 $x$ 的函数）：

$$F_{xx}+F_{xz}z_x + z_x(F_{zx}+F_{zz}z_x)+F_z z_{xx}=0$$

代入 $z_x=-F_x/F_z$，整理得：

$$z_{xx}=-\frac{F_{xx}F_z^2-2F_{xz}F_xF_z+F_{zz}F_x^2}{F_z^3}$$

8.5.2 方程组确定的隐函数

隐函数方程组

类型3：两个方程确定两个隐函数（笔记p11）

隐函数组存在定理

$\begin{cases}F(x,y,u,v) = 0 \\ G(x,y,u,v) = 0\end{cases}$ 在点 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 附近确定 $u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$ 的条件：

  1. $F,G$ 在该点邻域内有连续偏导
  2. $F,G$ 在 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 处满足方程
  3. Jacobi行列式不为零：$J = \dfrac{\pp(F,G)}{\pp(u,v)} = \begin{vmatrix}F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{vmatrix} \neq 0$

此时唯一确定连续可微函数 $u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，且可求 $u_x, u_y, v_x, v_y$。

求偏导数的方法（Cramer法则）

对两个方程关于 $x$ 同时求偏导（$y$ 固定，$u,v$ 是 $x,y$ 的函数）：

$$\begin{cases}F_x + F_u\,u_x + F_v\,v_x = 0 \\ G_x + G_u\,u_x + G_v\,v_x = 0\end{cases}$$

这是关于 $u_x, v_x$ 的二元一次方程组，系数矩阵行列式正是 $J$。由 Cramer 法则：

$$u_x = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix}F_x & F_v \\ G_x & G_v\end{vmatrix} = -\frac{\dfrac{\pp(F,G)}{\pp(x,v)}}{\dfrac{\pp(F,G)}{\pp(u,v)}}$$ $$v_x = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix}F_u & F_x \\ G_u & G_x\end{vmatrix} = -\frac{\dfrac{\pp(F,G)}{\pp(u,x)}}{\dfrac{\pp(F,G)}{\pp(u,v)}}$$

类似地对 $y$ 求偏导得 $u_y, v_y$（将上式中 $x$ 换成 $y$）。

完整证明思路（笔记原文 proof）

设 $F(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0$ 和 $G(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0$，对第一个方程关于 $x$ 求偏导：

$$F_x + F_u\,u_x + F_v\,v_x = 0$$

对第二个方程关于 $x$ 求偏导：

$$G_x + G_u\,u_x + G_v\,v_x = 0$$

写成矩阵形式：$\begin{pmatrix}F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_x \\ v_x\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}F_x \\ G_x\end{pmatrix}$，系数矩阵行列式 $J\neq 0$，故方程组有唯一解。

笔记例题（p11）：$\begin{cases}u=f(x\cdot y) \\ g(xz,y)=0 \\ h(x,a)=a(x)\end{cases}$，$g_1\neq 0$，$f_3\neq 0$，求 $\dfrac{\pp u}{\pp x}$。

分析：$u=f(xy,\ldots)$ 依赖 $x$，$z$ 由 $g(xz,y)=0$ 隐含确定（$z$ 是 $x,y$ 的函数）。

第一步：由 $g(xz,y)=0$ 对 $x$ 求偏导：令 $p=xz$，$g_p(z+xz_x)=0$，故 $z_x=-z/x$（当 $g_1\neq 0$）。

第二步：$u=f(xy,xz,\ldots)$，链式法则：

$$\frac{\pp u}{\pp x} = f_1\cdot y + f_2\cdot(z+x\,z_x) + \cdots$$

代入 $z_x=-z/x$：$f_2\cdot(z+x\cdot(-z/x))=f_2\cdot 0=0$。

$$\frac{\pp u}{\pp x} = f_1 y$$
笔记例题（三元方程组确定三个隐函数）：设 $$\begin{cases}F(x,y_1,y_2,y_3)=0 \\ G(x,y_1,y_2,y_3)=0 \\ H(x,y_1,y_2,y_3)=0\end{cases}$$ 确定 $y_1=y_1(x),\;y_2=y_2(x),\;y_3=y_3(x)$，求 $\dfrac{\dd y_1}{\dd x}$。

对三个方程关于 $x$ 求导，得三元线性方程组：

$$\begin{pmatrix}F_{y_1} & F_{y_2} & F_{y_3}\\ G_{y_1} & G_{y_2} & G_{y_3}\\ H_{y_1} & H_{y_2} & H_{y_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1'\\ y_2'\\ y_3'\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}F_x\\ G_x\\ H_x\end{pmatrix}$$

Jacobi行列式：$J=\dfrac{\pp(F,G,H)}{\pp(y_1,y_2,y_3)}\neq 0$，由 Cramer 法则求解：

$$\frac{\dd y_1}{\dd x}=-\frac{1}{J}\begin{vmatrix}F_x & F_{y_2} & F_{y_3}\\ G_x & G_{y_2} & G_{y_3}\\ H_x & H_{y_2} & H_{y_3}\end{vmatrix}$$

逆映射定理（多变量反函数定理）

逆映射定理（笔记p11底部）

设变量替换 $\begin{cases}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{cases}$，Jacobi行列式 $\dfrac{\pp(x,y)}{\pp(u,v)}\neq 0$，则逆变换 $\begin{cases}u=u(x,y)\\v=v(x,y)\end{cases}$ 存在，且：

$$\frac{\pp(u,v)}{\pp(x,y)}\cdot\frac{\pp(x,y)}{\pp(u,v)} = 1 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{\pp(u,v)}{\pp(x,y)} = \frac{1}{\dfrac{\pp(x,y)}{\pp(u,v)}}$$

即两个 Jacobi 行列式互为倒数，类比一维反函数定理 $f'(x)\cdot g'(y)=1$。

Jacobi行列式的重要性：
Jacobi行列式的行列式公式（多变量）
$$\frac{\pp(F,G)}{\pp(u,v)} \stackrel{\text{def}}{=} \begin{vmatrix}\dfrac{\pp F}{\pp u} & \dfrac{\pp F}{\pp v}\\ \dfrac{\pp G}{\pp u} & \dfrac{\pp G}{\pp v}\end{vmatrix} = \frac{\pp F}{\pp u}\cdot\frac{\pp G}{\pp v}-\frac{\pp F}{\pp v}\cdot\frac{\pp G}{\pp u}$$

三阶推广：$\dfrac{\pp(F,G,H)}{\pp(u,v,w)} = \begin{vmatrix}F_u & F_v & F_w\\ G_u & G_v & G_w\\ H_u & H_v & H_w\end{vmatrix}$（按行展开计算）。

解题方法总结
  1. 一个方程 $F(x,y,z)=0$：直接用公式 $z_x = -F_x/F_z$（最快！）
  2. 二阶偏导：推荐对方程两边连续求偏导（而非对分式求导），不容易出错
  3. 方程组：对每个方程求偏导 → 得到关于 $u_x, v_x$ 的线性方程组 → Cramer 法则或消元法解出
  4. 隐函数+链式法则组合：$u = f(x,y,z)$ 且 $z$ 由约束确定 → $u_x = f_x + f_z \cdot z_x$（别忘 $z$ 也依赖 $x$！）
  5. 考试必做的第一步：代入已知点求出 $z_0$ 的值，验证点满足方程
【讲义重点】隐函数求导的本质就是"对方程两边求偏导"，把 $z$ 看作 $x,y$ 的函数。公式 $z_x=-F_x/F_z$ 只是这个过程的结果。理解了这个本质，二阶偏导、混合偏导都只是重复这一步骤。

📝 精选例题：隐函数微分法

【2022-2023 解答11（8分）】 设曲面 $x^2+y^2-z^2-xyz=0$（$z<0$）确定 $z=z(x,y)$，函数 $u=\sin[xyz(x,y)+x+y]$，求 $u_x(1,1)$。
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思路：这是"隐函数+链式法则"的组合题。$u$ 对 $x$ 求偏导时，$z$ 也是 $x,y$ 的函数。

第一步：确定 $z(1,1)$。代入 $x=y=1$：$1+1-z^2-z=0$，即 $z^2+z-2=0$，$(z+2)(z-1)=0$。因 $z<0$，取 $z=-2$。

第二步：求 $z_x(1,1)$。$F = x^2+y^2-z^2-xyz$：

$F_x = 2x - yz$，$F_z = -2z - xy$。

$$z_x = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{2x-yz}{-2z-xy} = \frac{2x-yz}{2z+xy}$$

代入 $(1,1,-2)$：$z_x = \frac{2-(-2)}{-4+1} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$

第三步：求 $u_x$。$u = \sin[xyz+x+y]$，令 $w = xyz+x+y$：

$w = xyz+x+y$，对 $x$ 求偏导（注意 $z$ 也是 $x$ 的函数）：

$$w_x = yz + xy\cdot z_x + 1$$ $$u_x = \cos w \cdot w_x$$

代入 $(1,1,-2)$，$z_x=-\frac{4}{3}$：

$$w_x = 1\cdot(-2)+1\cdot 1\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)+1 = -2-\frac{4}{3}+1 = -\frac{7}{3}$$

$w(1,1) = 1\cdot 1\cdot(-2)+1+1 = 0$，$\cos(0)=1$。

$$u_x(1,1) = 1\cdot\left(-\frac{7}{3}\right) = \boxed{-\frac{7}{3}}$$

解题方法总结：① 隐函数方程求 $z$ 的值 → ② 隐函数求 $z_x$（公式 $z_x=-F_x/F_z$）→ ③ 链式法则求 $u_x$（注意 $z$ 也依赖 $x$）→ ④ 代入数值。

【课后题精选】 $x^2+y^2+z^2=4z$ 确定 $z=z(x,y)$，求 $z_y$ 和 $z_{yy}$。
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$F=x^2+y^2+z^2-4z$。$F_y=2y$，$F_z=2z-4$。

$$z_y=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{y}{2-z}$$

求 $z_{yy}$：对 $z_y=\frac{y}{2-z}$ 关于 $y$ 求偏导（$z$ 也是 $y$ 的函数！）：

$$z_{yy}=\frac{(2-z)\cdot 1-y\cdot(-z_y)}{(2-z)^2}=\frac{(2-z)+y\cdot\frac{y}{2-z}}{(2-z)^2}=\frac{(2-z)^2+y^2}{(2-z)^3}$$
【课后题精选】 $z^5-xz^4+yz^3=1$，求 $z_x(0,0)$，$z_y(0,0)$，$z_{xy}(0,0)$。
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第一步：求 $z(0,0)$。令 $x=y=0$：$z^5=1$，故 $z(0,0)=1$。

令 $F(x,y,z)=z^5-xz^4+yz^3-1$，则：

$$F_x=-z^4,\quad F_y=z^3,\quad F_z=5z^4-4xz^3+3yz^2$$

在 $(0,0,1)$ 处：$F_x=-1$，$F_y=1$，$F_z=5$。

第二步：由隐函数公式求一阶偏导：

$$z_x(0,0)=-\frac{F_x}{F_z}\bigg|_{(0,0,1)}=-\frac{-1}{5}=\frac{1}{5}$$ $$z_y(0,0)=-\frac{F_y}{F_z}\bigg|_{(0,0,1)}=-\frac{1}{5}$$

第三步：求 $z_{xy}(0,0)$。对方程 $F=0$ 两边关于 $x$ 求偏导（$y$ 固定，$z$ 是 $x,y$ 的函数）：

$$(5z^4-4xz^3+3yz^2)z_x - z^4 - 4xz^3 z_x = 0$$

化简（合并 $z_x$ 系数，即 $F_z\cdot z_x + F_x=0$，与公式一致）：

$$F_z\cdot z_x = z^4 - 3yz^2\cdot z_x\cdot(\text{来自}F_z\text{的y依赖})\quad\Longrightarrow\quad\text{直接用等式}(*)$$

将 $F_z\cdot z_x + F_x=0$ 即 $(5z^4-4xz^3+3yz^2)z_x=z^4$ 两边对 $y$ 求偏导（**注意 $z$ 和 $z_x$ 都是 $y$ 的函数！**）：

左边对 $y$ 求偏导（乘积法则）：

$$\frac{\pp}{\pp y}\bigl[(5z^4-4xz^3+3yz^2)z_x\bigr]$$ $$=\frac{\pp}{\pp y}(5z^4-4xz^3+3yz^2)\cdot z_x+(5z^4-4xz^3+3yz^2)\cdot z_{xy}$$

其中 $\dfrac{\pp}{\pp y}(5z^4-4xz^3+3yz^2)=(20z^3-12xz^2)z_y+3z^2+6yz\cdot z_y$。右边对 $y$：$\dfrac{\pp}{\pp y}(z^4)=4z^3 z_y$。

代入 $(x,y,z)=(0,0,1)$，$z_x=\frac{1}{5}$，$z_y=-\frac{1}{5}$，$F_z=5$：

左边第一部分：$\Bigl[(20\cdot1\cdot z_y)+(3\cdot1)\Bigr]\cdot z_x=\Bigl[20\cdot(-\tfrac{1}{5})+3\Bigr]\cdot\tfrac{1}{5}=\Bigl[-4+3\Bigr]\cdot\tfrac{1}{5}=-\tfrac{1}{5}$

左边第二部分：$5\cdot z_{xy}$

右边：$4\cdot 1\cdot(-\tfrac{1}{5})=-\tfrac{4}{5}$

方程：$-\tfrac{1}{5}+5\,z_{xy}=-\tfrac{4}{5}$，解得：

$$5\,z_{xy}=-\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=-\frac{3}{5}\;\Rightarrow\;\boxed{z_{xy}(0,0)=-\frac{3}{25}}$$
【2021-2022 解答6】 $\ln(5x+y+1)+(x+1)y=0$ 确定 $y=y(x)$，求 $y'(0)$。
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$x=0$ 时：$\ln(y+1)+y=0$，显然 $y=0$。

两边对 $x$ 求导：$\frac{5+y'}{5x+y+1}+y+(x+1)y'=0$

代入 $x=0,y=0$：$\frac{5+y'(0)}{1}+0+y'(0)=0$，$5+2y'(0)=0$，$y'(0)=-\frac{5}{2}$。

【2020-2021 解答12】 $e^z - x^2 - 2yz = 0$ 在点 $(1,1,0)$ 附近确定 $z=z(x,y)$，求 $z_x|_{(1,1)}$，$z_y|_{(1,1)}$，$z_{xy}|_{(1,1)}$。
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第一步：验证 $(1,1,0)$ 满足方程：$e^0 - 1 - 0 = 0$ ✓

第二步：对方程 $e^z - x^2 - 2yz = 0$ 两边对 $x$ 求偏导（$y$ 视为常数）：

$$e^z z_x - 2x - 2yz_x = 0 \quad\Rightarrow\quad z_x(e^z - 2y) = 2x$$

代入 $(1,1,0)$：$z_x(1-2) = 2$，$z_x = -2$。

第三步：对方程两边对 $y$ 求偏导：

$$e^z z_y - 2z - 2yz_y = 0 \quad\Rightarrow\quad z_y(e^z - 2y) = 2z$$

代入 $(1,1,0)$：$z_y(1-2) = 0$，$z_y = 0$。

第四步：求 $z_{xy}$。对"$z_x$ 的等式"$e^z z_x - 2x - 2yz_x = 0$ 两边对 $y$ 求偏导：

$$e^z z_y z_x + e^z z_{xy} - 2z_x - 2yz_{xy} = 0$$

代入 $(1,1,0)$，$z_x=-2$，$z_y=0$：

$$0 + z_{xy} - (-4) - 2z_{xy} = 0 \quad\Rightarrow\quad -z_{xy} + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad z_{xy} = 4$$

答案：$z_x(1,1) = -2$，$z_y(1,1) = 0$，$z_{xy}(1,1) = 4$。

解题模板：① 验证点满足方程 → ② 方程两边对 $x$ 求偏导，解出 $z_x$ → ③ 方程两边对 $y$ 求偏导，解出 $z_y$ → ④ 对第②步的等式再对 $y$ 求偏导，解出 $z_{xy}$（注意 $z_x, z_y$ 本身也是 $x,y$ 的函数）。

【2023-2024 综合题】 设 $u=f(x,y,z)$，$z$ 由约束 $x^2+y^2+z^2=3$（$z>0$）在点 $(1,1)$ 处确定为 $z=z(x,y)$。已知 $f_1(1,1,1)=2$，$f_3(1,1,1)=-3$，求 $u_x(1,1)$。
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第一步：求 $z(1,1)$。代入 $x=y=1$：$1+1+z^2=3$，$z^2=1$，取 $z=1$（$z>0$）。

第二步：由隐函数公式求 $z_x(1,1)$。令 $G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3$，则 $G_x=2x$，$G_z=2z$：

$$z_x=-\frac{G_x}{G_z}=-\frac{2x}{2z}=-\frac{x}{z}\;\Bigg|_{(1,1,1)}=-1$$

第三步：链式法则求 $u_x$。$u=f(x,y,z(x,y))$，$x$ 作用于 $f$ 的路径：直接路径（$f_1$）和通过 $z$ 的路径（$f_3\cdot z_x$）：

$$u_x=f_1(x,y,z)\cdot 1+f_3(x,y,z)\cdot z_x$$

代入 $(1,1,1)$，$z_x=-1$：

$$u_x(1,1)=f_1(1,1,1)+f_3(1,1,1)\cdot(-1)=2+(-3)\cdot(-1)=2+3=\boxed{5}$$
链式法则 + 隐函数组合公式：$u_x = f_1 + f_3\cdot z_x$，其中 $z_x = -G_x/G_z$。三个步骤：求 $z_0$，求 $z_x$，代入链式法则。

📝 补充练习题：隐函数微分法

【补充练习 A】 设 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xyz-1=0$ 在点 $(1,0,0)$ 附近确定 $z=z(x,y)$，求 $z_x(1,0)$，$z_y(1,0)$，$z_{xx}(1,0)$。
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第一步：验证点满足方程。代入 $(1,0,0)$：$1+0+0-0-1=0$ ✓。

第二步：计算偏导数（在任意点）：

$$F_x=2x-2yz,\quad F_y=2y-2xz,\quad F_z=2z-2xy$$

在 $(1,0,0)$ 处：$F_x=2$，$F_y=0$，$F_z=0$。

注意 $F_z(1,0,0)=0$！隐函数定理条件 $F_z\neq 0$ 不满足，说明在 $(1,0,0)$ 附近 $z$ 不能表示为 $x,y$ 的光滑函数（或需要选 $y$ 为因变量）。

调整：改为 $y=y(x,z)$（$F_y\neq 0$ 的点）。另取点 $(0,1,0)$：$F_y(0,1,0)=2\neq 0$，验证方程：$0+1+0-0-1=0$ ✓。

在 $(0,1,0)$ 附近设 $z=z(x,y)$，$F_z(0,1,0)=-2\cdot 0\cdot 1=0$... 换成 $y=y(x,z)$：$F_y=2y-2xz$，在 $(0,1,0)$ 处 $F_y=2\neq 0$ ✓。

改用标准例：$F=x^2+y^2+z^2-1=0$，取点 $(0,0,1)$（$F_z=2\neq 0$）：

$$z_x=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2x}{2z}=-\frac{x}{z}\;\bigg|_{(0,0,1)}=0$$ $$z_y=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{y}{z}\;\bigg|_{(0,0,1)}=0$$

求 $z_{xx}$：对 $F_z z_x + F_x=0$ 即 $2z\cdot z_x+2x=0$ 两边关于 $x$ 求偏导：

$$2z_x\cdot z_x+2z\cdot z_{xx}+2=0\;\Rightarrow\;z_{xx}=-\frac{z_x^2+1}{z}$$

代入 $(0,0,1)$，$z_x=0$：$z_{xx}=-\dfrac{0+1}{1}=-1$。

类似求 $z_{yy}=-1$，$z_{xy}=0$（球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 在顶点 $(0,0,1)$ 处的曲率体现）。

注意：使用隐函数公式前必须验证 $F_z\neq 0$！若 $F_z=0$，则 $z$ 在该点不能由方程隐式确定为 $x,y$ 的函数，需改为其他变量作为因变量。
【补充练习 B（方程组）】 设方程组 $\begin{cases}xu+yv=1\\xu^3+yv^3=a^2\end{cases}$（$a\neq 0$，$a\neq\pm 1$）在 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 附近确定 $u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，求 $u_x,\,v_x$。
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令 $F=xu+yv-1=0$，$G=xu^3+yv^3-a^2=0$。

第一步：计算 Jacobi 行列式。$F_u=x$，$F_v=y$，$G_u=3xu^2$，$G_v=3yv^2$：

$$J=\frac{\pp(F,G)}{\pp(u,v)}=\begin{vmatrix}x & y \\ 3xu^2 & 3yv^2\end{vmatrix}=3xyv^2-3xyu^2=3xy(v^2-u^2)$$

第二步：对两个方程关于 $x$ 求偏导（$y$ 固定，$u,v$ 为未知函数）：

$$u+xu_x+yv_x=0$$ $$u^3+3xu^2u_x+3yv^2v_x=0$$

写成矩阵形式：$\begin{pmatrix}x & y\\3xu^2 & 3yv^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_x\\v_x\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}u\\u^3\end{pmatrix}$

第三步：Cramer 法则求解（$J=3xy(v^2-u^2)\neq 0$ 时）：

$$u_x=-\frac{1}{J}\begin{vmatrix}-u & y\\-u^3 & 3yv^2\end{vmatrix}=-\frac{-3yuv^2+yu^3}{3xy(v^2-u^2)}=\frac{3yuv^2-yu^3}{3xy(v^2-u^2)}$$ $$=\frac{u(3v^2-u^2)}{3x(v^2-u^2)}\cdot\frac{y}{y}=\frac{u(3v^2-u^2)}{3x(v^2-u^2)}$$

（假设 $y\neq 0$）类似地：

$$v_x=-\frac{1}{J}\begin{vmatrix}x & -u\\3xu^2 & -u^3\end{vmatrix}=-\frac{-xu^3+3xu^3}{3xy(v^2-u^2)}=-\frac{2xu^3}{3xy(v^2-u^2)}=\frac{-2u^3}{3y(v^2-u^2)}$$

最终结果（保留行列式形式更清晰）：

$$\boxed{u_x = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix}u & y \\ u^3 & 3yv^2\end{vmatrix},\qquad v_x = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix}x & u \\ 3xu^2 & u^3\end{vmatrix}}$$
方程组隐函数标准步骤：① 计算 Jacobi 行列式 $J$（确认非零）→ ② 对每个方程求偏导得线性方程组 → ③ Cramer 法则（或消元）求解 $u_x,v_x$。
【补充练习 C（综合）】 设 $z=f(u,v)$，其中 $u=x+y$，$v$ 由方程 $e^v+xv=y$ 隐式定义（$e^v+x\neq 0$）。求 $\dfrac{\pp z}{\pp x}$ 和 $\dfrac{\pp z}{\pp y}$，用 $f_1,f_2$ 及 $u,v,x,y$ 表示。
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第一步：由 $e^v+xv=y$ 求 $v_x$ 和 $v_y$。对两边关于 $x$ 求偏导（$y$ 固定，$v$ 是 $x,y$ 的函数）：

$$e^v\cdot v_x+v+x\cdot v_x=0\;\Rightarrow\;(e^v+x)v_x=-v\;\Rightarrow\;v_x=\frac{-v}{e^v+x}$$

对两边关于 $y$ 求偏导（$x$ 固定）：

$$e^v\cdot v_y+x\cdot v_y=1\;\Rightarrow\;(e^v+x)v_y=1\;\Rightarrow\;v_y=\frac{1}{e^v+x}$$

第二步：对 $z=f(u,v)$ 用链式法则。$u=x+y$ 故 $u_x=1$，$u_y=1$：

$$\frac{\pp z}{\pp x}=f_1\cdot u_x+f_2\cdot v_x=f_1\cdot 1+f_2\cdot\frac{-v}{e^v+x}=f_1-\frac{v\,f_2}{e^v+x}$$ $$\frac{\pp z}{\pp y}=f_1\cdot u_y+f_2\cdot v_y=f_1\cdot 1+f_2\cdot\frac{1}{e^v+x}=f_1+\frac{f_2}{e^v+x}$$

即：

$$\boxed{\frac{\pp z}{\pp x}=f_1-\frac{v\,f_2}{e^v+x},\qquad\frac{\pp z}{\pp y}=f_1+\frac{f_2}{e^v+x}}$$
综合考点：此题同时考查链式法则（$z$ 对 $x,y$ 的偏导）和隐函数微分法（求 $v_x,v_y$）。解题顺序：先由隐式方程求出 $v$ 的偏导数，再代入链式法则公式。

🎯 期中考试题型总结：隐函数微分法

涵盖一个方程求偏导（公式法）、链式+隐函数组合、二阶偏导、方程组四大题型。

题型1：一个方程求隐函数的偏导数（填空 ⭐⭐⭐）

识别特征：给出方程 $F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$，要求求 $z_x$、$z_y$ 或在某点的值。

标准步骤：

  1. 整理方程为 $F(x,y,z)=0$ 的标准形式，识别哪个变量是因变量（通常是 $z$）。
  2. 计算三个偏导数 $F_x$、$F_y$、$F_z$（将 $x,y,z$ 视为独立变量求偏导）。
  3. 套用公式：$z_x = -\dfrac{F_x}{F_z}$，$z_y = -\dfrac{F_y}{F_z}$（条件：$F_z \neq 0$）。
  4. 若题目要求某点的值，先代入点确定 $z_0$（解方程），再将点代入公式。

速解技巧：公式 $z_x=-F_x/F_z$ 来自对方程两边关于 $x$ 求偏导——$F_x+F_z\cdot z_x=0$，直接解出 $z_x$。记忆口诀："分子取消掉自变量的偏导，分母取消掉因变量的偏导，加负号"。

易错点：①负号遗漏（最常见！）；②$F_z$ 要在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处计算，不是在 $(x_0,y_0)$ 处；③使用公式前未验证 $F_z\neq 0$（若 $F_z=0$ 则公式失效，需换因变量）。

题型2：隐函数+链式法则组合（解答 ⭐⭐⭐）

识别特征：给出复合函数 $u=f(x,y,z)$，其中 $z$ 由某方程 $G(x,y,z)=0$ 隐式确定；要求求 $u_x$、$u_y$（链式法则中 $z$ 依赖 $x,y$）。典型如：$u=\sin[xyz(x,y)+x+y]$ 其中 $z$ 由曲面方程确定。

标准步骤：

  1. 先求 $z_0$：将已知点 $(x_0,y_0)$ 代入约束方程 $G=0$，解出 $z_0$（注意筛选正确的根，利用附加条件如 $z>0$ 或 $z<0$）。
  2. 再求 $z_x$：对约束 $G(x,y,z)=0$ 用隐函数公式，$z_x=-G_x/G_z$，代入 $(x_0,y_0,z_0)$ 得数值。
  3. 最后求 $u_x$：对 $u=f(x,y,z(x,y))$ 用链式法则，$u_x=f_1+f_3\cdot z_x$（注意 $z$ 也依赖 $x$！），代入所有数值。

速解技巧：链式法则+隐函数的组合公式：$u_x=f_x+f_z\cdot z_x$，其中 $z_x=-G_x/G_z$。严格按"三步走"（求 $z_0$ → 求 $z_x$ → 求 $u_x$）不会遗漏项。

易错点：①对 $u_x$ 漏掉 $f_z\cdot z_x$ 项（忘记 $z$ 也依赖 $x$）；②代入 $(x_0,y_0)$ 时忘记 $z_0$ 也要代入 $f$ 的偏导数中；③$z_0$ 多根时选错符号。

题型3：求隐函数二阶偏导数（解答 ⭐⭐）

识别特征：已知一阶偏导 $z_x$（或已建立等式 $F_x+F_z z_x=0$），要求继续求 $z_{xx}$、$z_{yy}$ 或 $z_{xy}$。

标准步骤（推荐：对等式连续求偏导法）：

  1. 由 $F(x,y,z)=0$ 对 $x$ 求偏导，得等式 $(*)$：$F_x+F_z z_x=0$。
  2. 对等式 $(*)$ 再关于 $x$ 求偏导（注意 $F_x,F_z,z_x$ 均为 $x,y,z$ 的函数，$z$ 又依赖 $x$，须用链式法则展开）：$F_{xx}+F_{xz}z_x+z_x(F_{zx}+F_{zz}z_x)+F_z z_{xx}=0$。
  3. 代入已知的 $z_x$ 值，解出 $z_{xx}=-\dfrac{F_{xx}+2F_{xz}z_x+F_{zz}z_x^2}{F_z}$。
  4. 若求 $z_{xy}$：对等式 $(*)$ 关于 $y$ 求偏导（而非对 $x$），同理展开解出 $z_{xy}$。

速解技巧：对等式 $F_z z_x=-F_x$ 两边再对 $y$ 求偏导求 $z_{xy}$ 时，左边用乘积法则：$\frac{\pp F_z}{\pp y}\cdot z_x+F_z\cdot z_{xy}=-\frac{\pp F_x}{\pp y}$，代入数值解出 $z_{xy}$。整理公式： $$z_{xx}=-\frac{F_{xx}F_z^2-2F_{xz}F_xF_z+F_{zz}F_x^2}{F_z^3}$$

易错点：①对含 $z_x$ 的项再求偏导时漏链式法则（$\frac{\pp z_x}{\pp y}=z_{xy}$，不是零！）；②$F_{xz}$ 和 $F_{zx}$ 混淆（混合偏导相等，$F_{xz}=F_{zx}$）；③分母 $F_z^3$ 的幂次算错。

题型4：方程组确定隐函数+Jacobi行列式（解答 ⭐）

识别特征：给出方程组 $\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}$，要求求 $u_x$、$v_x$ 等偏导数（$u,v$ 为因变量，$x,y$ 为自变量）。

标准步骤：

  1. 计算 Jacobi 行列式 $J=\dfrac{\pp(F,G)}{\pp(u,v)}=\begin{vmatrix}F_u & F_v\\G_u & G_v\end{vmatrix}$，验证 $J\neq 0$（存在条件）。
  2. 对两个方程同时关于 $x$ 求偏导（$y$ 固定），得含 $u_x,v_x$ 的线性方程组：$\begin{cases}F_x+F_u u_x+F_v v_x=0\\G_x+G_u u_x+G_v v_x=0\end{cases}$。
  3. 用 Cramer 法则（或消元法）求解 $u_x,v_x$：$u_x=-\dfrac{1}{J}\begin{vmatrix}F_x & F_v\\G_x & G_v\end{vmatrix}$，$v_x=-\dfrac{1}{J}\begin{vmatrix}F_u & F_x\\G_u & G_x\end{vmatrix}$。
  4. 类似地，对 $y$ 求偏导得 $u_y,v_y$（将上述中 $x$ 换为 $y$）。

速解技巧：Cramer 法则中，求 $u_x$ 时，用 $(-F_x,-G_x)^T$ 替换系数矩阵第一列；求 $v_x$ 时替换第二列。直接写出行列式，不必展开化简（考试时保留行列式形式得分即可）。

易错点：①Jacobi 行列式的行列互换（$\pp(F,G)/\pp(u,v)$ 是 $F,G$ 对 $u,v$ 的偏导，行是函数，列是变量）；②Cramer 替换列时符号出错（右端项已带负号）；③忘记验证 $J\neq 0$ 直接使用公式。

🔧 章节强化：隐函数微分法

📌 必背块：隐函数求导公式与判据
⚠️ 易错点
  1. 负号遗漏（最高频）：$z_x=-F_x/F_z$ 的负号一定要写。
  2. $F_z$ 取值位置：要在 $(x_0,y_0,z_0)$ 三维点处算，先解出 $z_0$，不能只代 $(x_0,y_0)$。
  3. 求 $z_{xy}$ 时忘记 $z_x$ 也是 $y$ 的函数：对含 $z_x$ 的等式再对 $y$ 求偏导，$\dfrac{\pp z_x}{\pp y}=z_{xy}\neq 0$。
  4. 未验证 $F_z\neq 0$ 就套公式：若 $F_z=0$ 公式失效，需改选因变量（如球面顶点处）。
  5. 链式+隐函数组合漏项：$u=f(x,y,z)$ 中 $z$ 隐式依赖 $x$ → $u_x=f_1+f_3\cdot z_x$，别漏 $f_3 z_x$。
🔴 你在这卡过：求 $z_{xy}$ 时对含 $z_x$ 的等式再求偏导，忘记 $z_x$ 也是 $y$ 的函数

怎么破：建立"二级链条"的意识。第一步对 $F=0$ 关于 $x$ 求偏导得等式 $(*)$：$F_x+F_z z_x=0$。第二步对 $(*)$ 再关于 $y$ 求偏导时，$(*)$ 里出现的所有量（$F_x,F_z,z_x$）全部都是 $x,y,z$ 的函数，而 $z$ 又依赖 $y$，所以：

口诀：凡是看到 $z_x$ 再对别的变量求导，立刻写出 $z_{xy}$（或 $z_{xx}$）那一项，不要当 0。 参见上方【2020-2021 解答12】第四步——它正是把 $e^z z_x-2x-2yz_x=0$ 对 $y$ 求导，$z_x$ 那一项给出 $z_{xy}$，最终 $z_{xy}=4$。照着把那道题独立重算一遍，专盯"$z_x$ 对 $y$ 求导"这一步。

📖 目录← 8.4 复合函数微分法8.6 方向导数与梯度 →