树状图结构：$z$ 通过 $u$ 和 $v$ 依赖于 $x$ 和 $y$。每条路径偏导相乘，所有路径相加：

树状图示意（从因变量到自变量逐层写出）：

         z
        / \
  ∂z/∂u   ∂z/∂v
      /       \
     u          v
    / \        / \
∂u/∂x ∂u/∂y  ∂v/∂x ∂v/∂y
  |    |       |     |
  x    y       x     y

$z\to u\to x$ 路径：$\frac{\pp z}{\pp u}\cdot\frac{\pp u}{\pp x}$；$z\to v\to x$ 路径：$\frac{\pp z}{\pp v}\cdot\frac{\pp v}{\pp x}$；两路相加即 $\frac{\pp z}{\pp x}$。

若 $z = f(u,v)$，无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量（即 $u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$），全微分形式始终为：

设 $z = f(u,v)$，$u = u(x,y)$，$v = v(x,y)$。由全微分定义：

由链式法则代入 $\frac{\pp z}{\pp x}=f_u u_x+f_v v_x$，$\frac{\pp z}{\pp y}=f_u u_y+f_v v_y$：

当 $u,v$ 本身是自变量时，$\dd u = \dd u$，$\dd v = \dd v$，形式自然成立。故形式不变。$\blacksquare$

识别特征：给出 $z=f(u(x,y),\,v(x,y))$ 或 $F(x,y)=f(g(x)e^y,\;g(x)+e^y)$ 等抽象复合结构，要求求 $z_x$、$z_y$ 或 $F_x$。

标准步骤：

1. 画树状图：从因变量出发，逐层写出所有中间变量和自变量的依赖关系。
2. 找出所有以自变量 $x$（或 $y$）为终点的路径，每条路径上的偏导数相乘。
3. 将所有路径的乘积相加，即得 $z_x$（或 $z_y$）。
4. 若题目给出具体点，代入数值化简。

速解技巧：$z=f(u,v)$ 中，$f_1'$ 表示 $f$ 对第一个变量的偏导，$f_2'$ 表示对第二个变量的偏导（记号要统一）。树状图结构： $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}$$

易错点：①抽象函数 $f_1'$ vs $f_2'$ 下标记法混乱；②忘记某条路径（路径遗漏）；③将全导数 $\frac{\dd}{\dd t}$ 与偏导数 $\frac{\pp}{\pp x}$ 混淆（当中间变量仅依赖一个自变量时用全导数）。

识别特征：给出偏微分方程（如 $z_{xx}-z_{yy}=0$、$u_{xx}-2u_{xy}+u_{yy}=0$）及变量替换公式（如 $\xi=x+y,\;\eta=x-y$），要求化简方程并求通解。

标准步骤（算子法三步走）：

1. 建立算子关系：由新变量 $u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，用链式法则写出 $\dfrac{\pp}{\pp x}=u_x\dfrac{\pp}{\pp u}+v_x\dfrac{\pp}{\pp v}$，$\dfrac{\pp}{\pp y}=u_y\dfrac{\pp}{\pp u}+v_y\dfrac{\pp}{\pp v}$。
2. 计算二阶偏导：对一阶结果再次施加算子，如 $z_{xx}=\left(\dfrac{\pp}{\pp u}+\dfrac{\pp}{\pp v}\right)^2 w$ 展开为 $w_{uu}+2w_{uv}+w_{vv}$。
3. 代入原方程化简：合并同类项，验证化简后方程形式（通常化为 $w_{uv}=0$ 或 $w_{\xi\xi}=0$）；对化简后方程积分求通解。

速解技巧：常见变量替换对应关系—— $z_{xx}-z_{yy}=0$：令 $\xi=x+y,\;\eta=x-y$，化为 $w_{\xi\eta}=0$，通解 $z=\Phi(x+y)+\Psi(x-y)$； $u_{xx}-2u_{xy}+u_{yy}=0$：令 $\xi=x,\;\eta=x+y$，化为 $u_{\xi\xi}=0$，通解 $u=x\varphi(x+y)+\psi(x+y)$。

易错点：①计算二阶偏导时对算子的展开遗漏交叉项 $2w_{uv}$；②代入原方程后合并计算出错（需逐项仔细展开）；③积分求通解时任意函数 $\varphi,\psi$ 的自变量写错。

识别特征：给出 $z=f(u,v)$（其中 $u,v$ 是 $x,y$ 的特殊组合，如 $u=xy,\;v=x/y$），要求证明形如 $xz_x+yz_y=2xyf_1'$ 的恒等式；或给出极坐标替换，证明梯度模的等式。

标准步骤：

1. 用链式法则分别写出 $z_x$ 和 $z_y$ 的展开式（含 $f_1',f_2'$ 及 $u_x,v_x,u_y,v_y$）。
2. 计算 $xz_x$ 和 $yz_y$，分别展开。
3. 两者相加，观察 $f_2'$ 的系数（通常设计为互相抵消）。
4. 化简得到目标式，证毕。

速解技巧：$xz_x+yz_y$ 结构与齐次函数欧拉定理密切相关。若 $z$ 是 $n$ 次齐次函数（即 $z(\lambda x,\lambda y)=\lambda^n z(x,y)$），则 $xz_x+yz_y=nz$（无需计算，直接引用欧拉定理）。

易错点：①$u=xy,v=x/y$ 时 $v_y=-x/y^2$（符号）；②误用欧拉定理（需先验证齐次性）；③$f_1'$ 系数未完全消去就停手。

识别特征：给出形如 $z=\arctan\dfrac{y}{x}$ 或 $z=f(u,v)$，要求快速求全微分 $\dd z$。

标准步骤：

1. 引入中间变量（如 $u=y/x$），将 $z$ 写为简单函数的复合（如 $z=\arctan u$）。
2. 直接写 $\dd z = f'(u)\,\dd u$，其中 $\dd u$ 用全微分法则展开（如 $\dd(y/x)=\dfrac{x\,\dd y-y\,\dd x}{x^2}$）。
3. 化简整理，得到用 $\dd x,\dd y$ 表示的全微分。

速解技巧：全微分形式不变性的核心是"无论 $u$ 是自变量还是中间变量，$\dd z=f_u\,\dd u+f_v\,\dd v$ 形式不变"。常用全微分公式：$\dd(uv)=u\,\dd v+v\,\dd u$，$\dd\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{v\,\dd u-u\,\dd v}{v^2}$，$\dd(\ln u)=\dfrac{\dd u}{u}$。

易错点：①分母 $x^2$ 忘记；②混淆"对 $x$ 的偏导"与"全微分中 $\dd x$ 的系数"；③忘记将复合全微分展开到基本自变量。

• 一阶链式法则：$z=f(u,v)$，$u=u(x,y),v=v(x,y)$ → $z_x=f_u u_x+f_v v_x$，$z_y=f_u u_y+f_v v_y$（每条路径相乘、所有路径相加）
• 全导数（中间变量只依赖一个自变量 $t$）：$\dfrac{\dd z}{\dd t}=f_x\dfrac{\dd x}{\dd t}+f_y\dfrac{\dd y}{\dd t}$（用 $\dfrac{\dd}{\dd t}$ 不是 $\dfrac{\pp}{\pp t}$）
• 全微分形式不变性：$\dd z=f_u\,\dd u+f_v\,\dd v$，无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量
• PDE 算子法：$\dfrac{\pp}{\pp x}=u_x\dfrac{\pp}{\pp u}+v_x\dfrac{\pp}{\pp v}$，求二阶偏导再施加一次同一算子；典型 $\left(\dfrac{\pp}{\pp u}+\dfrac{\pp}{\pp v}\right)^2=\dfrac{\pp^2}{\pp u^2}+2\dfrac{\pp^2}{\pp u\,\pp v}+\dfrac{\pp^2}{\pp v^2}$
• 常用波动方程替换：$z_{xx}-z_{yy}=0$ 取 $\xi=x+y,\eta=x-y$ → $w_{\xi\eta}=0$，通解 $z=\Phi(x+y)+\Psi(x-y)$