8.4 复合函数微分法

8.4.1 链式法则

基本公式

$z = f(u,v)$，$u = u(x,y)$，$v = v(x,y)$：

$$\frac{\pp z}{\pp x} = \frac{\pp z}{\pp u}\cdot\frac{\pp u}{\pp x} + \frac{\pp z}{\pp v}\cdot\frac{\pp v}{\pp x}, \qquad \frac{\pp z}{\pp y} = \frac{\pp z}{\pp u}\cdot\frac{\pp u}{\pp y} + \frac{\pp z}{\pp v}\cdot\frac{\pp v}{\pp y}$$

画树状图是不出错的核心方法！从 $z$ 出发 → 中间变量 $u,v$ → 自变量 $x,y$。每条路径上的偏导相乘，所有路径相加。

笔记例题：$z = f(x,y)$，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，求 $\frac{\pp z}{\pp r}$ 和 $\frac{\pp z}{\pp\theta}$。

$$\frac{\pp z}{\pp r} = f_x\cos\theta + f_y\sin\theta$$ $$\frac{\pp z}{\pp\theta} = f_x(-r\sin\theta) + f_y(r\cos\theta) = -f_x\cdot r\sin\theta + f_y\cdot r\cos\theta$$

验证：$\left(\frac{\pp z}{\pp r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\pp z}{\pp\theta}\right)^2 = f_x^2 + f_y^2 = |\grad f|^2$ ✓

笔记例题（全导数）：$z = f(x,y)$，$x = x(t)$，$y = y(t)$

$$\frac{\dd z}{\dd t} = f_x\cdot x'(t) + f_y\cdot y'(t)$$

注意：这里是全导数 $\frac{\dd z}{\dd t}$，不是偏导！因为 $t$ 是唯一自变量。

8.4.2 全微分形式不变性

全微分形式不变性

若 $z = f(u,v)$，无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量，全微分形式始终为：

$$\dd z = f_u\,\dd u + f_v\,\dd v$$

证明思路：$\dd z = z_x\dd x + z_y\dd y$，展开后利用 $\dd u = u_x\dd x + u_y\dd y$ 合并。

笔记例题：$z = \arctan\frac{y}{x}$，求 $\dd z$

$$z_x = \frac{-y/x^2}{1+y^2/x^2} = \frac{-y}{x^2+y^2}, \quad z_y = \frac{1/x}{1+y^2/x^2} = \frac{x}{x^2+y^2}$$ $$\dd z = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2+y^2}$$

方法二（利用形式不变性）

令 $u = \frac{y}{x}$，$z = \arctan u$，$\dd z = \frac{1}{1+u^2}\dd u = \frac{1}{1+y^2/x^2}\cdot\dd\!\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2+y^2}$

变量替换化简PDE（笔记p13下半）

笔记例题：设 $z = z(x,y)$ 为 $C^2$ 函数满足 $\frac{\pp^2 z}{\pp x^2} - \frac{\pp^2 z}{\pp x\,\pp y} = 0$。引入 $\begin{cases}u = x \\ v = x+y\end{cases}$，化简方程。

$z = z(u,v) = z(x, x+y)$

$$\frac{\pp z}{\pp x} = z_u\cdot 1 + z_v\cdot 1 = z_u + z_v$$ $$\frac{\pp^2 z}{\pp x^2} = (z_{uu}+z_{uv}) + (z_{vu}+z_{vv}) = z_{uu} + 2z_{uv} + z_{vv}$$ $$\frac{\pp^2 z}{\pp x\,\pp y} = \frac{\pp}{\pp y}(z_u+z_v) = z_{uv}\cdot 0 + z_{vv}\cdot 1 + z_{uv}\cdot 0 + z_{vv}\cdot 1$$

不对，重新算：$\frac{\pp}{\pp y}(z_u+z_v) = (z_{uv}\cdot v_y) + (z_{vv}\cdot v_y) = z_{uv} + z_{vv}$

代入原方程：$(z_{uu}+2z_{uv}+z_{vv}) - (z_{uv}+z_{vv}) = 0$，即 $z_{uu} + z_{uv} = 0$

简化为 $\frac{\pp}{\pp u}(z_u + z_v) = 0$... 具体需要仔细推导。

📝 精选例题：复合函数微分法

【2023-2024 选择2】 $F(x,y)=f(g(x)e^y, g(x)+e^y)$，求 $F_x$。

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令 $u=g(x)e^y$，$v=g(x)+e^y$。

$$F_x=f_u\cdot g'(x)e^y+f_v\cdot g'(x)=g'(x)[e^yf_u+f_v]$$

答案：B

技巧：画树状图 $F\to(u,v)\to x$，每条路径乘起来，所有路径加起来。

【2023-2024 解答16】 PDE变量替换：$u_{xx}-2u_{xy}+u_{yy}=0$，令 $\xi=x,\eta=x+y$。

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$u_x=u_\xi+u_\eta$，$u_y=u_\eta$。

$u_{xx}=u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}$，$u_{xy}=u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}$，$u_{yy}=u_{\eta\eta}$。

代入：$u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}-2(u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})+u_{\eta\eta}=u_{\xi\xi}=0$

通解：$u=\xi\varphi(\eta)+\psi(\eta)=x\varphi(x+y)+\psi(x+y)$

【课后题精选】 $z=f(e^x\sin y)$，$f''$ 连续，$z_{xx}+z_{yy}=e^{2x}z$，求 $f(u)$。

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令 $u=e^x\sin y$。$z_x=f'u$，$z_{xx}=f''u^2+f'u$。

$z_y=f'e^x\cos y$，$z_{yy}=f''e^{2x}\cos^2 y-f'u$。

$z_{xx}+z_{yy}=f''(u^2+e^{2x}\cos^2 y)=f''\cdot e^{2x}=e^{2x}f$

即 $f''=f$，通解 $f(u)=C_1e^u+C_2e^{-u}$。

【课后题精选】 $z=f(xy,\frac{x}{y})$，证明 $xz_x+yz_y=2xyf_1'$。

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$xz_x=x(yf_1'+\frac{1}{y}f_2')=xyf_1'+\frac{x}{y}f_2'$

$yz_y=y(xf_1'-\frac{x}{y^2}f_2')=xyf_1'-\frac{x}{y}f_2'$

相加：$f_2'$ 项抵消，$xz_x+yz_y=2xyf_1'$ ✓

$xz_x+yz_y$ 形式 → 想到齐次函数欧拉定理。