8.3.1 全微分的定义
可微的定义
若全增量可以表示为：
$$\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$$
其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，且 $A=f_x$，$B=f_y$。
$$\dd z = f_x\,\dd x + f_y\,\dd y$$
8.3.2 可微的判定
判定方法（三步走）
- 必要条件：可微 $\Rightarrow$ 偏导存在且连续。先验证偏导是否存在。
- 充分条件：偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微。（最常用！）
- 定义法：验证 $\displaystyle\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta z - f_x\Delta x - f_y\Delta y}{\rho} = 0$
8.3.3 ⭐ 连续、可偏导、可微、偏导连续的关系（核心！）
四者关系图
$$\boxed{\text{偏导数连续}} \;\xRightarrow{\text{充分}}\; \boxed{\text{可微}} \;\xRightarrow{\text{必要}}\; \begin{cases} \boxed{\text{连续}} \\ \boxed{\text{可偏导}} \\ \boxed{\text{所有方向导数存在}} \end{cases}$$
以上所有箭头反向均不成立！连续与可偏导之间互推不成立！
六组反例辨析（考试必背）
| 命题 | 真假 | 反例 |
|---|
| 偏导存在 → 连续 | ✗ | $\frac{x^2y}{x^4+y^2}$：$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ 但沿 $y=x^2$ 极限为 $\frac{1}{2}\neq 0$ |
| 连续 → 可偏导 | ✗ | $\sqrt{x^2+y^2}$：连续但 $f_x(0,0)$ 左右极限不等 |
| 连续+可偏导 → 可微 | ✗ | $\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$：连续、可偏导，但 $\frac{\Delta z}{\rho}$ 依赖 $\theta$ |
| 可微 → 偏导连续 | ✗ | $(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}$：可微但偏导函数振荡 |
| 所有方向导数存在 → 可微 | ✗ | $\frac{x^2y}{x^4+y^2}$：所有方向导数=0但不连续 |
| 所有方向导数存在 → 连续 | ✗ | 同上 |
二级结论（快速判断）
- 初等函数在定义域内：偏导连续 → 可微 → 连续+可偏导。全部成立，无需验证。
- 分段函数在分界点：什么都不能直接断定，必须逐一验证。
- $f$ 可微且 $f_x=f_y=0$ → $\dd f = 0$，所有方向导数 $=0$，$\grad f = \boldsymbol{0}$（三者等价）。
- $f$ 可微 → 沿任意曲线 $y=\varphi(x)$ 经过 $(x_0,y_0)$ 的复合函数 $g(x)=f(x,\varphi(x))$ 在 $x_0$ 可导，且 $g'=f_x+f_y\varphi'$。
- $f$ 仅可偏导 → $g(x)=f(x,\varphi(x))$ 不一定可导！（$g(t)=f(t,t)$ 常考）
- 判断不可微的快捷法：若 $\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x\cdot x-f_y\cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 用极坐标后结果含 $\theta$，则不可微。
笔记核心例题：$f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, &(x,y)\neq(0,0)\\ 0, &(x,y)=(0,0)\end{cases}$
① 连续 ✓：$|f| \leq \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2} \to 0 = f(0,0)$
② 可偏导 ✓：$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)}{h} = 0$，同理 $f_y(0,0)=0$
③ 可微 ✗：$\frac{\Delta z - 0\cdot\Delta x - 0\cdot\Delta y}{\rho} = \frac{\Delta x\cdot\Delta y}{\rho^2} = \cos\theta\sin\theta$，依赖 $\theta$，极限不存在
④ 偏导连续 ✗：非原点处 $f_x = \frac{y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}$，沿 $y=x$ 趋向 $\frac{1}{2\sqrt{2}} \neq 0$
笔记补充例题：$f(x,y) = (x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}$（$(x,y)\neq(0,0)$），$f(0,0)=0$
连续 ✓，可偏导 ✓（$f_x(0,0) = 0$），可微 ✓（$\frac{\Delta z}{\rho} = \rho\sin\frac{1}{\rho^2} \to 0$）
偏导连续 ✗：$f_x = 2x\sin\frac{1}{x^2+y^2} - \frac{2x}{x^2+y^2}\cos\frac{1}{x^2+y^2}$，第二项在原点无极限
结论：可微但偏导不连续 → 说明"可微 $\not\Rightarrow$ 偏导连续"
考试必备总结：对分段函数在分界点（通常是原点），判断顺序为：
① 用定义算 $f_x(0,0), f_y(0,0)$ → ② 检验极限是否 $= f(0,0)$（连续？）→ ③ 算 $\frac{\Delta z - f_x\Delta x - f_y\Delta y}{\rho}$（可微？）→ ④ 非原点公式求 $f_x$，取极限比较（偏导连续？）
📝 历年真题精选：连续/可偏导/可微/偏导连续
【2023-2024 选择4】 设 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处 (i) 可偏导 (ii) 可微 (iii) 偏导连续，$g(t)=f(t,t)$。下列哪些能保证 $g'(0)$ 存在？
点击查看解析
$g'(0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t,t)-f(0,0)}{t}$。
(i) 可偏导：只知道沿 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的导数，$g'(0)$ 涉及沿 $(1,1)$ 方向 → 不能保证。
(ii) 可微：$f(t,t)-f(0,0)\approx f_x\cdot t+f_y\cdot t+o(|t|\sqrt{2})$，$g'(0)=f_x+f_y$ → 能保证。
(iii) 偏导连续：偏导连续 $\Rightarrow$ 可微 → 能保证。
所以 (ii) 和 (iii) 正确，共2个。答案：C
核心原理：可微 $\Rightarrow$ 所有方向的方向导数都存在且可用公式算。可偏导只保证两个坐标方向。
【2022-2023 选择3】 关于连续、可偏导、偏导连续的关系，有几个正确？
点击查看解析
常见命题及判断：
- "偏导存在 $\Rightarrow$ 连续" → ✗（经典反例 $\frac{x^2y}{x^4+y^2}$）
- "连续 $\Rightarrow$ 可偏导" → ✗（$\sqrt{x^2+y^2}$ 连续但偏导不存在）
- "可微 $\Rightarrow$ 连续" → ✓
- "可微 $\Rightarrow$ 可偏导" → ✓
- "偏导连续 $\Rightarrow$ 可微" → ✓
答案：C（2个正确）
【2020-2021 选择5】 (1) $f=\sqrt{|xy|}$，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，所以全微分为零？(2) 若 $\lim\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=1$，则 $f$ 在原点可微？
点击查看解析
(1) 错：$f_x=f_y=0$ 是必要条件，但还需验证 $\frac{\Delta f - 0}{\rho}\to 0$。
$\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}}$，取 $y=x$：$=\frac{|x|}{\sqrt{2}|x|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\neq 0$，不可微！全微分不存在。
(2) 错：$\lim\frac{f}{\rho}=1$ 说明 $f\sim\rho$，但可微要求 $\frac{f-f_x\cdot x-f_y\cdot y}{\rho}\to 0$。如果 $f_x,f_y$ 不存在则不可微。
答案：C（都错）
陷阱：偏导存在且等于零 $\not\Rightarrow$ 可微 $\not\Rightarrow$ 全微分为零！必须验证可微性的定义！
【2020-2021 选择1】 $f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$ 在原点？
点击查看解析
$|f|\leq\frac{|xy|}{x^2+y^2}\leq\frac{1}{2}$ → 有界但不一定趋于0。取 $y=x$：$\frac{x^2\sin(\cdots)}{2x^2}=\frac{1}{2}\sin(\cdots)$，振荡 → 极限不存在 → 不连续。
但 $f_x(0,0)=\lim\frac{f(h,0)}{h}=\lim\frac{0}{h}=0$ → 可偏导。
这是"可偏导但不连续"的例子。答案：看选项
【2023-2024 填空6】 $u=x^3+y^3+z^3-3xyz$，求 $\dd u\big|_{(1,1,1)}$。
点击查看解析
$u_x=3x^2-3yz$，$u_y=3y^2-3xz$，$u_z=3z^2-3xy$。
在 $(1,1,1)$：$u_x=0$，$u_y=0$，$u_z=0$。
$\dd u=0\cdot\dd x+0\cdot\dd y+0\cdot\dd z=0$。
但实际答案是 $-\frac{1}{3\sqrt{3}}(\dd x+\dd y+\dd z)$（可能题目不是这个函数，以试卷为准）。
全微分计算：$\dd u=u_x\dd x+u_y\dd y+u_z\dd z$，代入具体点即可。
【2020-2021 填空7】 $z=\ln\sqrt{x^2+y^2}$，求 $\dd z\big|_{(0,1)}$。
点击查看解析
$z=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)$。$z_x=\frac{x}{x^2+y^2}$，$z_y=\frac{y}{x^2+y^2}$。
在 $(0,1)$：$z_x=0$，$z_y=1$。
$\dd z=0\cdot\dd x+1\cdot\dd y=\dd y$。
