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8.2 偏导数 📖 笔记p6-7

8.2.1 偏导数的定义

偏导数
定义
$$f_x(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,\,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} = \frac{\dd}{\dd x}f(x,y_0)\bigg|_{x=x_0}$$

记号：$f_x$、$\dfrac{\pp f}{\pp x}$、$\dfrac{\pp z}{\pp x}$

几何意义：$f_x(x_0,y_0)$ 是曲面 $z=f(x,y)$ 被平面 $y=y_0$ 截得的曲线在 $(x_0,y_0)$ 处切线的斜率。

补充解释：求偏导的本质就是"固定其他变量，对目标变量求导"。所以 $\frac{\pp}{\pp x}(x^2y) = 2xy$（把 $y$ 当常数）。这和一元导数的计算完全一样，只是多了"固定"这一步。

偏导与连续的关系

8.2.2 高阶偏导数与混合偏导

高阶偏导
二阶偏导数
$$f_{xx} = \frac{\pp^2 f}{\pp x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\pp^2 f}{\pp y\,\pp x} = \frac{\pp}{\pp y}\!\left(\frac{\pp f}{\pp x}\right), \quad f_{yx} = \frac{\pp^2 f}{\pp x\,\pp y}$$
混合偏导相等定理

若 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的邻域内都连续，则

$$f_{xy}(x_0,y_0) = f_{yx}(x_0,y_0)$$
经典反例（混合偏导不相等）： $$f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, &(x,y)\neq(0,0)\\ 0, &(x,y)=(0,0)\end{cases}$$

$f_x(0,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}$。先算 $f(x,0)=0$，故 $f_x(0,0)=0$。

$f_x(x,y) = \frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}$（非原点处公式求导）

$f_{xy}(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0}\frac{-k}{k} = -1$

类似地 $f_{yx}(0,0) = 1$。所以 $f_{xy}(0,0) \neq f_{yx}(0,0)$。

补充：实际考试中，大部分函数的混合偏导是相等的（因为偏导连续）。只有分段函数在分界点才需要特别检验。

📝 真题精选：偏导数

【2023-2024 选择3】 $f(x,y)=e^{\sqrt{x^2+y^2}}$，在原点偏导数是否存在？
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$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{|h|}-1}{h}$。右极限$=1$，左极限$=-1$，不等 → 不存在。

$\sqrt{x^2+y^2}$ 含绝对值，在原点偏导不存在。

【2022-2023 填空8】 $f(x,y)=e^{x^2+y^2}$，求 $\frac{\pp^2}{\pp x\pp y}f(x,xy)\big|_{x=1,y=\pi}$。
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令 $g(x,y)=f(x,xy)=e^{x^2+x^2y^2}$。先对 $y$：$g_y=2x^2y\cdot e^{x^2+x^2y^2}$。

再对 $x$（乘积+链式法则），代入 $(1,\pi)$。答案：$4\pi e^{1+\pi^2}$。

关键：$f(x,xy)$ 先代入 $xy$ 再求导，别直接套链式法则搞混。

【2018-2019 解答】 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$，讨论原点的连续性、可偏导性、可微性。
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连续：$|f|=\sqrt{x^2+y^2}\to 0=f(0,0)$ ✓

偏导：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}$，左右极限不等 → 偏导不存在 ✗

可微：偏导不存在 → 不可微 ✗

连续 $\not\Rightarrow$ 可偏导的经典例子。$|x|$ 在 $x=0$ 不可导的多元版本。

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