$\RR^n$ 中的点（$n$ 维向量）：$\boldsymbol{x}_k = (x_{k1},\, x_{k2},\, \ldots,\, x_{kn})$

$\RR^n$ 中两点之间的距离（欧氏距离）：

$\RR^2$ 时退化为平面距离：$d = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

设 $\boldsymbol{x}_0\in\RR^n$，$\delta>0$：

$n=2$ 时：$U(\boldsymbol{x}_0,\delta)=\bigl\{(x,y)\bigm|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\bigr\}$ — 即以 $\boldsymbol{x}_0$ 为圆心、$\delta$ 为半径的圆盘（开圆）。

$\RR^n$ 中邻域亦可写作：$U(\boldsymbol{x}_0,\delta)=\Bigl\{\boldsymbol{x}\Bigm|\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-x_{0i})^2}<\delta\Bigr\}$ — 开球。

去心邻域：$\mathring{U}(\boldsymbol{x}_0,\delta)=\{\boldsymbol{x}\mid 0

• 连通集：$E$ 中任意两点可用完全属于 $E$ 的折线段相连
• 开区域：连通的开集（简称"区域"，有时记作 $D$）
• 闭区域：开区域 $D$ 与其边界 $\partial D$ 的并集，即 $\bar D = D\cup\partial D$

有界区域：$\exists\,M>0$ 使 $D\subset U(\boldsymbol{0},M)$（区域被一个大球包住）

设 $f: \RR^n \to \RR$。常见二元函数例子：

• $z = \sqrt{1-x^2-y^2}$（定义域：$x^2+y^2\leq 1$，单位圆盘；值域 $[0,1]$，图形为上半球面）
• $P: x^4+y^4$（处处有定义，$\RR^2\to\RR$）
• $(z-3)^2 = x^2+y^2-q^2$（二次曲面）

二元函数的图形是 $\RR^3$ 中的曲面 $z = f(x,y)$，$(x,y)$ 跑遍定义域 $D\subset\RR^2$。

即：$0 < \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} < \delta \;\Rightarrow\; |f(x,y)-A|<\varepsilon$

等价地：$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=A \;\Longleftrightarrow\; \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}|f(x,y)-A|=0$

• 二重极限：$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)$，$(x,y)$ 同时趋近，沿任意路径
• 累次极限（先 $y$ 后 $x$）：$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\Bigl(\lim_{y\to y_0} f(x,y)\Bigr)$，先固定 $x$，内层对 $y$ 取极限；再对 $x$ 取极限
• 累次极限（先 $x$ 后 $y$）：$\displaystyle\lim_{y\to y_0}\Bigl(\lim_{x\to x_0} f(x,y)\Bigr)$

关键定理：若二重极限 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = A$，且对每个固定的 $x\neq x_0$，极限 $\displaystyle\lim_{y\to y_0} f(x,y)$ 存在，则：

（先 $x$ 后 $y$ 的情形类似）

• $(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$
• $e^u - 1 \sim u$
• $1-\cos u \sim \dfrac{u^2}{2}$
• $\ln(1+u) \sim u$
• $\sin u\sim u$，$\tan u\sim u$，$\arcsin u\sim u$，$\arctan u\sim u$

$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续 $\Leftrightarrow$ $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 过连续线，等价于：

即同时满足三个条件：

1. $f(x_0,y_0)$ 有定义（函数在该点有值）
2. $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)$ 存在（二重极限存在）
3. 极限值 等于函数值：$\lim = f(x_0,y_0)$

设 $f$ 在有界闭区域 $D$（相当于一元的 $[a,b]$）上连续，则：

多元函数中"有界闭区域"↔ 一元中"闭区间"，两者的连续性理论完全类比。

识别特征：题目给出 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 的形式，选项含"存在/不存在"或给出不同值，函数通常是分式，分子分母次数可能相同（阶数相同时最危险）。

标准步骤：

1. 阶数速判：写成 $\dfrac{x^a y^b}{(x^2+y^2)^{c/2}}$ 的形式，比较 $a+b$ 与 $c$ 的大小：
   • $a+b > c$：极限为 $0$（无需验证，直接写）
   • $a+b = c$：危险！极坐标后含 $\theta$，极限很可能不存在
   • $a+b < c$：极限为 $\infty$，不存在
2. 分母不同阶时（形如 $x^m + y^n$，$m \neq n$）：先试标准路径 $y=0$, $x=0$, $y=x$；再试配阶路径 $y = x^{m/n}$（使分母两项同阶）。
3. 若所有路径给出同一值：用放缩或极坐标证明极限存在。
4. 若某两条路径极限不同：直接写"路径 $y=\ldots$ 时极限为 $A$，路径 $y=\ldots$ 时极限为 $B \neq A$，故不存在"，得满分。

速解技巧：见到 $\dfrac{xy}{x^2+y^2}$（分子2次，分母2次，同阶）→ 试 $y=kx$ 得 $\dfrac{k}{1+k^2}$（含$k$） → 不存在，秒杀。见到 $\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$（分母次数不同）→ 试 $y=x^2$（配阶）得 $\dfrac{1}{2}$，试 $y=0$ 得 $0$，不同 → 不存在。

易错点：分母为 $x^m+y^n$（$m\neq n$）时，不能用阶数速判法，必须配阶路径。例如 $\dfrac{x^2 y^2}{x^2+y^4}$ 中试 $y^2=x$ 才是正确配阶路径。

识别特征：题目要求算出极限的具体数值，通常极限确实存在，函数形式含三角/指数/对数，或者是能放缩为 $0$ 的类型。

标准步骤：

1. 等价无穷小替换（$(x,y)\to(0,0)$ 时）：$\sin u \sim u$，$e^u-1 \sim u$，$\ln(1+u)\sim u$，$1-\cos u \sim \dfrac{u^2}{2}$，$(1+u)^\alpha-1\sim\alpha u$（$u\to 0$）。注意 $u$ 是整体趋于 $0$ 的表达式（如 $x^2+y^2$）。
2. 放缩 + 夹逼：利用 $|xy|\leq\dfrac{x^2+y^2}{2}$，$|x|\leq\sqrt{x^2+y^2}$，$\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\leq 1$ 等；目标是凑出 $|\text{原式}|\leq C\sqrt{x^2+y^2}^k \to 0$。
3. 极坐标代换：令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$r\to 0$。若化简后结果含 $\theta$ 但可被 $r^k$（$k>0$）控制，则极限为 $0$。
4. 有界 × 无穷小：若 $|g|\leq M$（有界，如 $|\sin\frac{1}{h}|\leq 1$），$f\to 0$，则 $fg\to 0$。
5. 直接代入：若极限点在初等函数定义域内部，直接代入即可。

速解技巧：$\dfrac{\sin(xy)}{y}$ → 改写为 $\dfrac{\sin(xy)}{xy}\cdot x$ → $1 \times 0 = 0$；$\sqrt{x^2+y^2}\ln(x^2+y^2)$ → 令 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，化为 $2r\ln r \to 0$（一元极限）。

易错点：等价无穷小只能在乘除中替换，在加减中随意替换会引入非高阶误差。例如 $\sin(x+y)-(x+y)$ 不能直接令 $\sin(x+y)\sim(x+y)$ 得 $0$，需更仔细估计。

识别特征：题目给出具体函数，要求比较或判断二重极限、先$x$后$y$、先$y$后$x$ 三种极限的关系，选项常含"存在且相等""存在但不相等""某个不存在"等表述。

标准步骤：

1. 计算先 $y\to y_0$ 的内层极限（固定 $x$）：得到关于 $x$ 的函数，再对 $x$ 取极限 → 先$y$后$x$的累次极限。
2. 计算先 $x\to x_0$ 的内层极限（固定 $y$）：得到关于 $y$ 的函数，再对 $y$ 取极限 → 先$x$后$y$的累次极限。
3. 判断二重极限：用路径法（两条路径极限不同 → 不存在）或放缩法。
4. 对照唯一定理：二重极限存在 $+$ 内层极限存在 $\Rightarrow$ 对应累次极限 $=$ 二重极限。反向不成立。

速解技巧：先算两个累次极限。若两个累次极限都存在但不相等（如 $\dfrac{x-y}{x+y}$ 得 $1$ 和 $-1$），则二重极限必然不存在（否则两者应相等），无需再验证路径。

易错点：两个累次极限相等不能推出二重极限存在（反例：$\dfrac{xy}{x^2+y^2}$，两累次极限均为 $0$，但二重极限不存在）。三种极限互相独立，仅有单向推导关系。

识别特征：函数在分界点（通常为原点）分段定义，题目问"是否连续"或"确定常数使连续"。

标准步骤：

1. 非分界点：若各段都是初等函数，则非分界点自动连续，无需验证。
2. 在分界点处（设为原点）验证三要素：
   • $f(0,0)$ 有定义（题目已给，通常是某常数 $c$）
   • 计算 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$（用路径法或放缩）
   • 验证极限值是否等于 $f(0,0)=c$
3. 若题目问"确定参数使连续"：令 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = c$，解出 $c$。

速解技巧：判断极限是否为 $0$（最常见情形）时，优先用阶数速判或放缩。若分子次数明显高于分母（如 $\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$，分子3次 $>$ 分母2次），极限为 $0$；极坐标化为 $r(\cos^3\theta+\sin^3\theta)\to 0$，连续成立（当 $f(0,0)=0$）。

易错点：连续性要求二重极限存在且等于函数值，仅验证若干路径极限不够（路径法只能证明不存在，不能证明存在）。必须用放缩或极坐标证明极限存在后，才能断言连续。