0.A 积分公式推导过程
公式1：$\displaystyle\int\frac{\dd x}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a}+C$
令 $x = a\sin t$，则 $\dd x = a\cos t\,\dd t$，$\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$。
$$\int\frac{a\cos t\,\dd t}{a\cos t} = \int\dd t = t + C = \arcsin\frac{x}{a}+C$$
公式2：$\displaystyle\int\frac{\dd x}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C$
令 $x = a\tan t$，则 $\dd x = a\sec^2 t\,\dd t$，$\sqrt{x^2+a^2} = a\sec t$。
$$\int\frac{a\sec^2 t\,\dd t}{a\sec t} = \int\sec t\,\dd t = \ln|\sec t+\tan t|+C$$
回代：$\tan t = \frac{x}{a}$，$\sec t = \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$，所以
$$= \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}\right|+C = \ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C_1$$
（$\ln a$ 被吸收进常数 $C_1$ 中。）
公式3：$\displaystyle\int\frac{\dd x}{\sqrt{x^2-a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C$
令 $x = a\sec t$，则 $\dd x = a\sec t\tan t\,\dd t$，$\sqrt{x^2-a^2} = a\tan t$（取 $t\in[0,\frac{\pi}{2})$）。
$$\int\frac{a\sec t\tan t\,\dd t}{a\tan t} = \int\sec t\,\dd t = \ln|\sec t+\tan t|+C$$
回代：$\sec t = \frac{x}{a}$，$\tan t = \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$：
$$= \ln\left|\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}\right|+C = \ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C_1$$
公式4：$\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\,\dd x = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C$
令 $x = a\sin t$，$\dd x = a\cos t\,\dd t$：
$$\int a\cos t\cdot a\cos t\,\dd t = a^2\int\cos^2 t\,\dd t = a^2\int\frac{1+\cos 2t}{2}\dd t = \frac{a^2}{2}\left(t+\frac{\sin 2t}{2}\right)+C$$
$$= \frac{a^2}{2}t + \frac{a^2}{4}\sin 2t + C = \frac{a^2}{2}t + \frac{a^2}{2}\sin t\cos t + C$$
回代：$t = \arcsin\frac{x}{a}$，$\sin t = \frac{x}{a}$，$\cos t = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$：
$$= \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}\cdot\frac{x}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}+C = \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$$
公式5：$\displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2}\,\dd x = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C$
令 $x = a\tan t$，$\dd x = a\sec^2 t\,\dd t$，$\sqrt{x^2+a^2}=a\sec t$：
$$\int a\sec t\cdot a\sec^2 t\,\dd t = a^2\int\sec^3 t\,\dd t$$
$\int\sec^3 t\,\dd t$ 用分部积分：令 $u=\sec t$，$\dd v=\sec^2 t\,\dd t$：
$$\int\sec^3 t\,\dd t = \sec t\tan t - \int\sec t\tan^2 t\,\dd t = \sec t\tan t - \int\sec t(\sec^2 t-1)\dd t$$
$$= \sec t\tan t - \int\sec^3 t\,\dd t + \int\sec t\,\dd t$$
移项：$2\int\sec^3 t\,\dd t = \sec t\tan t + \ln|\sec t+\tan t|+C$
$$\int\sec^3 t\,\dd t = \frac{1}{2}\sec t\tan t + \frac{1}{2}\ln|\sec t+\tan t|+C$$
所以原式 $= \frac{a^2}{2}\sec t\tan t + \frac{a^2}{2}\ln|\sec t+\tan t|+C$。
回代 $\tan t=\frac{x}{a}$，$\sec t=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$：
$$= \frac{a^2}{2}\cdot\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}\cdot\frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}\ln\left|\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}\right|+C = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C_1$$
公式6：$\displaystyle\int\frac{\dd x}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$
$$\frac{1}{x^2-a^2} = \frac{1}{(x-a)(x+a)} = \frac{1}{2a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)$$
$$\int\frac{\dd x}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\left(\ln|x-a|-\ln|x+a|\right)+C = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$$
公式7：$\displaystyle\int\frac{\dd x}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$
$$\int\frac{\dd x}{x^2+a^2} = \int\frac{\dd x}{a^2\left(\frac{x^2}{a^2}+1\right)} = \frac{1}{a^2}\int\frac{\dd x}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}$$
令 $u = \frac{x}{a}$，$\dd u = \frac{\dd x}{a}$：
$$= \frac{1}{a}\int\frac{\dd u}{1+u^2} = \frac{1}{a}\arctan u + C = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$$
公式8：$\displaystyle\int\sec x\,\dd x = \ln|\sec x+\tan x|+C$
第一步：分子分母同乘 $\cos x$，凑出 $\sin x$ 的微分：
$$\int\sec x\,\dd x = \int\frac{1}{\cos x}\dd x = \int\frac{\cos x}{\cos^2 x}\dd x = \int\frac{\cos x}{1-\sin^2 x}\dd x$$
第二步：令 $t = \sin x$，$\dd t = \cos x\,\dd x$：
$$= \int\frac{\dd t}{1-t^2} = \int\frac{\dd t}{(1+t)(1-t)}$$
第三步：部分分式分解：$\dfrac{1}{(1+t)(1-t)} = \dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1-t}\right)$
$$= \frac{1}{2}\ln|1+t| - \frac{1}{2}\ln|1-t| + C = \frac{1}{2}\ln\frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C$$
第四步：化简（证明和 $\ln|\sec x+\tan x|$ 相等）：
$$\frac{1+\sin x}{1-\sin x} = \frac{(1+\sin x)^2}{(1-\sin x)(1+\sin x)} = \frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x} = \left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)^2 = (\sec x+\tan x)^2$$
$$\therefore\;\frac{1}{2}\ln(\sec x+\tan x)^2 = \ln|\sec x+\tan x|+C \quad\checkmark$$
观察到 $(\sec x+\tan x)' = \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x\underbrace{(\tan x+\sec x)}_{\text{就是自身！}}$
所以 $\dfrac{(\sec x+\tan x)'}{\sec x+\tan x} = \sec x$，即 $[\ln|\sec x+\tan x|]' = \sec x$
因此直接得 $\int\sec x\,\dd x = \ln|\sec x+\tan x|+C$。
（这个技巧本质是"从答案反推"——先猜答案是某个对数，再验证。考试中用方法一更稳妥。）
公式9：$\displaystyle\int\csc x\,\dd x = \ln|\csc x-\cot x|+C$
第一步：分子分母同乘 $\sin x$：
$$\int\csc x\,\dd x = \int\frac{1}{\sin x}\dd x = \int\frac{\sin x}{\sin^2 x}\dd x = \int\frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\dd x$$
第二步：令 $t = \cos x$，$\dd t = -\sin x\,\dd x$：
$$= -\int\frac{\dd t}{1-t^2} = -\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C = \frac{1}{2}\ln\frac{1-\cos x}{1+\cos x}+C$$
第三步：化简：
$$\frac{1-\cos x}{1+\cos x} = \frac{(1-\cos x)^2}{\sin^2 x} = \left(\frac{1-\cos x}{\sin x}\right)^2 = (\csc x-\cot x)^2$$
$$\therefore\;= \ln|\csc x-\cot x|+C \quad\checkmark$$
万能套路：遇到 $\int\frac{1}{\cos x}\dd x$ 或 $\int\frac{1}{\sin x}\dd x$，永远可以：
① 上下同乘 $\cos x$ 或 $\sin x$ → ② 分母变 $1-\sin^2 x$ 或 $1-\cos^2 x$ → ③ 换元变 $\int\frac{dt}{1-t^2}$ → ④ 部分分式搞定。
这个方法对 $\int\sec^n x\,\dd x$ 等更复杂的积分也适用！
公式10-11：$\displaystyle\int\tan x\,\dd x$ 和 $\displaystyle\int\cot x\,\dd x$
$$\int\tan x\,\dd x = \int\frac{\sin x}{\cos x}\dd x = -\int\frac{\dd(\cos x)}{\cos x} = -\ln|\cos x|+C$$
$$\int\cot x\,\dd x = \int\frac{\cos x}{\sin x}\dd x = \int\frac{\dd(\sin x)}{\sin x} = \ln|\sin x|+C$$
记忆总结：这些公式的推导核心就三个技巧：
① 三角代换：遇到 $\sqrt{a^2-x^2}$ 令 $x=a\sin t$，遇到 $\sqrt{x^2+a^2}$ 令 $x=a\tan t$，遇到 $\sqrt{x^2-a^2}$ 令 $x=a\sec t$
② 部分分式：$\frac{1}{x^2-a^2}$ 拆成两个简单分式
③ 凑微分：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，分子是分母导数的负数；$\sec x$ 乘以 $(\sec x+\tan x)/(\sec x+\tan x)$
