📖 笔记 p.44 — 第二类曲面积分定义、投影法
若沿曲面上任一条封闭曲线连续移动法向量，回到出发点时法向量方向不变，则曲面是双侧曲面（可定向曲面）。反之为单侧曲面（如莫比乌斯带）。
我们讨论的都是双侧曲面。选定一侧后，曲面上每一点有唯一确定的单位法向量 $\boldsymbol{n}$。
| 曲面类型 | 上侧 / 外侧 | 下侧 / 内侧 |
|---|---|---|
| $z = z(x,y)$ | 法向量 $\boldsymbol{n}$ 的 $z$ 分量 $> 0$（朝上） | $z$ 分量 $< 0$（朝下） |
| $x = x(y,z)$ | $x$ 分量 $> 0$（前侧） | $x$ 分量 $< 0$（后侧） |
| $y = y(x,z)$ | $y$ 分量 $> 0$（右侧） | $y$ 分量 $< 0$（左侧） |
| 封闭曲面 | 法向量指向外部（外侧） | 法向量指向内部（内侧） |
对 $\Sigma: z = z(x,y)$，法向量方向为
$$\boldsymbol{r}_x\times\boldsymbol{r}_y = (-z_x,\;-z_y,\;1)$$此向量的 $z$ 分量为 $+1 > 0$，指向上侧。单位法向量：
$$\boldsymbol{n} = \frac{(-z_x,-z_y,1)}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} = (\cos\alpha,\;\cos\beta,\;\cos\gamma)$$若取下侧，则 $\boldsymbol{n}$ 取反：$\boldsymbol{n} = \dfrac{(z_x,z_y,-1)}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$。
设 $\Sigma$ 是有向光滑曲面（选定了侧），$P,Q,R$ 在 $\Sigma$ 上连续。将 $\Sigma$ 分割为 $n$ 个有向小片 $\Delta S_i$，其在三个坐标平面上的有向投影分别为 $(\Delta S_i)_{yz}$，$(\Delta S_i)_{zx}$，$(\Delta S_i)_{xy}$。取点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，若极限
$$\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n\left[P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{yz}+Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{zx}+R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}\right]$$存在，则称之为 $P,Q,R$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上的第二类曲面积分，记为
$$\iint_{\Sigma}P\,\dd y\dd z + Q\,\dd z\dd x + R\,\dd x\dd y$$设向量场 $\boldsymbol{F} = (P,Q,R)$，有向曲面 $\Sigma$ 的单位外法向量为 $\boldsymbol{n} = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，则
$$\iint_{\Sigma}P\,\dd y\dd z + Q\,\dd z\dd x + R\,\dd x\dd y = \iint_{\Sigma}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,\dd S = \iint_{\Sigma}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\dd S$$这就是向量场 $\boldsymbol{F}$ 通过有向曲面 $\Sigma$ 的通量（Flux）。物理上：流速场通过曲面的流量、电场通过曲面的电通量等。
设 $\Sigma: z = z(x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$，取上侧（$\cos\gamma > 0$），则
$$\boxed{\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\,\dd x\dd y = +\iint_{D_{xy}}R\big(x,y,z(x,y)\big)\,\dd x\dd y}$$若取下侧（$\cos\gamma < 0$），则
$$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\,\dd x\dd y = -\iint_{D_{xy}}R\big(x,y,z(x,y)\big)\,\dd x\dd y$$口诀：上侧取正，下侧取负。
由定义，有向面积元 $\dd x\dd y = \cos\gamma\,\dd S$。对于 $z = z(x,y)$：
$$\cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} > 0 \quad\text{（上侧）}$$ $$\iint_{\Sigma}R\,\dd x\dd y = \iint_{\Sigma}R\cos\gamma\,\dd S = \iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\cdot\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\cdot\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd x\dd y$$ $$= \iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\,\dd x\dd y$$取下侧时 $\cos\gamma < 0$，每项多一个负号。
法向量 $x$ 分量 $> 0$（前侧）取正，$< 0$（后侧）取负。
法向量 $y$ 分量 $> 0$（右侧）取正，$< 0$（左侧）取负。
取上侧，利用法向量 $(-z_x,-z_y,1)$：
$$\iint_{\Sigma}P\dd y\dd z+Q\dd z\dd x+R\dd x\dd y = \iint_{D_{xy}}\left[-Pz_x - Qz_y + R\right]\dd x\dd y$$其中 $P,Q,R$ 均在 $z = z(x,y)$ 处取值。
设曲面可以表示为 $x = x(y,z)$，投影区域 $D_{yz}$。法向量方向 $(1, -x_y, -x_z)$（当 $x$ 分量 $>0$ 时为前侧）。
$$\iint_{\Sigma}P\,\dd y\dd z = \begin{cases}+\displaystyle\iint_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)\,\dd y\dd z & \text{（前侧，}\cos\alpha>0\text{）}\\[6pt] -\displaystyle\iint_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)\,\dd y\dd z & \text{（后侧，}\cos\alpha<0\text{）}\end{cases}$$设曲面可以表示为 $y = y(x,z)$，投影区域 $D_{xz}$。法向量方向 $(-y_x, 1, -y_z)$（当 $y$ 分量 $>0$ 时为右侧）。
$$\iint_{\Sigma}Q\,\dd z\dd x = \begin{cases}+\displaystyle\iint_{D_{xz}}Q(x,y(x,z),z)\,\dd z\dd x & \text{（右侧，}\cos\beta>0\text{）}\\[6pt] -\displaystyle\iint_{D_{xz}}Q(x,y(x,z),z)\,\dd z\dd x & \text{（左侧，}\cos\beta<0\text{）}\end{cases}$$设曲面可以表示为 $z = z(x,y)$，投影区域 $D_{xy}$。法向量方向 $(-z_x, -z_y, 1)$（当 $z$ 分量 $>0$ 时为上侧）。
$$\iint_{\Sigma}R\,\dd x\dd y = \begin{cases}+\displaystyle\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\,\dd x\dd y & \text{（上侧，}\cos\gamma>0\text{）}\\[6pt] -\displaystyle\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\,\dd x\dd y & \text{（下侧，}\cos\gamma<0\text{）}\end{cases}$$| 积分项 | 投影面 | 曲面表示 | 看哪个分量 | 正号条件 | 负号条件 |
|---|---|---|---|---|---|
| $P\,\dd y\dd z$ | $yOz$ | $x=x(y,z)$ | $\cos\alpha$（$x$ 分量） | 前侧（$x$ 朝正） | 后侧（$x$ 朝负） |
| $Q\,\dd z\dd x$ | $zOx$ | $y=y(x,z)$ | $\cos\beta$（$y$ 分量） | 右侧（$y$ 朝正） | 左侧（$y$ 朝负） |
| $R\,\dd x\dd y$ | $xOy$ | $z=z(x,y)$ | $\cos\gamma$（$z$ 分量） | 上侧（$z$ 朝正） | 下侧（$z$ 朝负） |
当曲面 $\Sigma: z = z(x,y)$ 可以整体投影到 $xOy$ 面时，三项 $P\dd y\dd z + Q\dd z\dd x + R\dd x\dd y$ 可以全部统一用 $\dd x\dd y$ 表达，无需分别投影到三个坐标面。这就是"合一投影法"。
第一步：$\Sigma: z = z(x,y)$ 取上侧，法向量方向为 $\boldsymbol{v} = (-z_x, -z_y, 1)$，单位法向量
$$\boldsymbol{n} = \frac{(-z_x,-z_y,1)}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$$第二步：有向面积元的各分量
$$\dd y\dd z = \cos\alpha\,\dd S = \frac{-z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\cdot\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd x\dd y = -z_x\,\dd x\dd y$$ $$\dd z\dd x = \cos\beta\,\dd S = \frac{-z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\cdot\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd x\dd y = -z_y\,\dd x\dd y$$ $$\dd x\dd y = \cos\gamma\,\dd S = \frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\cdot\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd x\dd y = 1\cdot\dd x\dd y$$第三步：代入积分
$$\iint_{\Sigma}P\dd y\dd z + Q\dd z\dd x + R\dd x\dd y = \iint_{D_{xy}}[P(-z_x) + Q(-z_y) + R\cdot 1]\,\dd x\dd y$$取上侧（$\cos\gamma > 0$）：
$$\boxed{\iint_{\Sigma}P\dd y\dd z + Q\dd z\dd x + R\dd x\dd y = \iint_{D_{xy}}(-Pz_x - Qz_y + R)\,\dd x\dd y}$$取下侧（$\cos\gamma < 0$）：前面加负号
$$\iint_{\Sigma}P\dd y\dd z + Q\dd z\dd x + R\dd x\dd y = -\iint_{D_{xy}}(-Pz_x - Qz_y + R)\,\dd x\dd y$$其中 $P, Q, R$ 中的 $z$ 均用 $z(x,y)$ 代入。
$\Sigma: z = 2-2x-2y$，$z_x = -2$，$z_y = -2$。$P = y$，$Q = x$，$R = 3$。
投影区域 $D_{xy}: x\geq 0, y\geq 0, 2x+2y\leq 2$，即 $x+y\leq 1$。取上侧用合一公式：
$$I = \iint_{D_{xy}}[-y\cdot(-2) - x\cdot(-2) + 3]\,\dd x\dd y = \iint_{D_{xy}}(2y + 2x + 3)\,\dd x\dd y$$ $$= \int_0^1\dd x\int_0^{1-x}(2x+2y+3)\,\dd y = \int_0^1\left[2x(1-x) + (1-x)^2 + 3(1-x)\right]\dd x$$ $$= \int_0^1\left[2x-2x^2+1-2x+x^2+3-3x\right]\dd x = \int_0^1(4-3x-x^2)\dd x$$ $$= \left[4x-\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 4-\frac{3}{2}-\frac{1}{3} = \frac{24-9-2}{6} = \frac{13}{6}$$ $$\boxed{I = \frac{13}{6}}$$
| 判断条件 | 推荐方法 | 理由 |
|---|---|---|
| $\Sigma$ 是封闭曲面 | Gauss公式 | 直接化为三重积分，通常更简单 |
| $\Sigma$ 不封闭，但可补面成封闭 | 补面 + Gauss公式 | $I = I_{\text{封闭}} - I_{\text{补面}}$，补面往往简单 |
| $\Sigma$ 是单片显式曲面 $z=z(x,y)$ | 合一投影法 | 直接转化为二重积分 |
| $\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}$ 在曲面上化简 | 联系公式转第一类 | 如球面上 $\boldsymbol{F}=(x,y,z)$ |
| $P_x+Q_y+R_z = 0$（散度为零） | 补面法 | Gauss公式使封闭积分为0，原积分等于补面积分的负值 |
设 $\Sigma$ 不封闭。添加曲面 $\Sigma_0$ 使得 $\Sigma \cup \Sigma_0$ 封闭，围成区域 $\Omega$。由Gauss公式：
$$\iint_{\Sigma}+\iint_{\Sigma_0} = \iiint_{\Omega}\left(\frac{\pp P}{\pp x}+\frac{\pp Q}{\pp y}+\frac{\pp R}{\pp z}\right)\dd V$$ $$\Rightarrow\quad \iint_{\Sigma} = \iiint_{\Omega}(\text{散度})\,\dd V - \iint_{\Sigma_0}$$补面 $\Sigma_0$ 的选择原则：选最简单的面（如平面 $z = \text{const}$、$x = 0$ 等），使 $\iint_{\Sigma_0}$ 易于计算。
思路：添加顶面圆盘 $\Sigma_0: z = 1$，$x^2+y^2\leq 1$（取上侧），使 $\Sigma\cup(-\Sigma_0)$ 成为封闭曲面（外侧）。
注意：抛物面取上侧 + 圆盘取下侧（$-\Sigma_0$）围成了封闭曲面的外侧。因此：
$$\iint_{\Sigma} - \iint_{\Sigma_0} = \iiint_{\Omega}(2x+2y+1)\,\dd V$$其中 $P = x^2, Q = y^2, R = z$，散度 $= 2x+2y+1$。$\Omega: x^2+y^2\leq z\leq 1$。
由对称性，$\iiint_\Omega 2x\,\dd V = 0$，$\iiint_\Omega 2y\,\dd V = 0$。
$$\iiint_\Omega 1\,\dd V = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^1 r\,\dd r\int_{r^2}^1\dd z = 2\pi\int_0^1 r(1-r^2)\,\dd r = 2\pi\left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}$$计算补面上的积分（$\Sigma_0: z=1$ 取上侧）：只有 $R\,\dd x\dd y = z\,\dd x\dd y = 1\cdot\dd x\dd y$ 有贡献
$$\iint_{\Sigma_0}x^2\dd y\dd z+y^2\dd z\dd x+z\dd x\dd y$$在 $z=1$ 平面上，$z_x=0, z_y=0$，合一公式给出 $-x^2\cdot 0-y^2\cdot 0+1 = 1$：
$$\iint_{\Sigma_0} = \iint_{D}1\,\dd x\dd y = \pi$$ $$I = \frac{\pi}{2}+\pi = \frac{3\pi}{2}$$ $$\boxed{I = \frac{3\pi}{2}}$$当曲面不能整体投影到某个坐标面时，需要将曲面分割成若干片，每片分别计算后求和。
典型情形：
球面分为上半 $\Sigma_1: z = \sqrt{4-x^2-y^2}$（外侧即上侧，取正）和下半 $\Sigma_2: z = -\sqrt{4-x^2-y^2}$（外侧即下侧，取负）。
投影区域相同：$D: x^2+y^2\leq 4$。
$$I_1 = +\iint_D (4-x^2-y^2)\,\dd x\dd y,\quad I_2 = -\iint_D (4-x^2-y^2)\,\dd x\dd y$$ $$I = I_1 + I_2 = 0$$ $$\boxed{I = 0}$$$P\dd y\dd z$ 项需投影到 $yOz$ 面。柱面分为前半 $\Sigma_1: x = \sqrt{4-y^2}$（外侧即前侧，$\cos\alpha>0$，取正）和后半 $\Sigma_2: x = -\sqrt{4-y^2}$（外侧即后侧，$\cos\alpha<0$，取负）。
投影区域 $D_{yz}: -2\leq y\leq 2, 0\leq z\leq 1$。
$$I_1 = +\iint_{D_{yz}}y\,\dd y\dd z = \int_0^1\dd z\int_{-2}^{2}y\,\dd y = 0\quad\text{（奇函数）}$$ $$I_2 = -\iint_{D_{yz}}y\,\dd y\dd z = -0 = 0$$ $$\boxed{I = 0}$$设有向曲面 $\Sigma$ 的单位法向量为 $\boldsymbol{n} = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，则
$$\boxed{\iint_{\Sigma}P\dd y\dd z+Q\dd z\dd x+R\dd x\dd y = \iint_{\Sigma}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\dd S}$$即
$$\iint_{\Sigma}\boldsymbol{F}\cdot\dd\boldsymbol{S} = \iint_{\Sigma}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,\dd S$$其中 $\dd\boldsymbol{S} = \boldsymbol{n}\,\dd S = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\,\dd S$ 是有向面积元向量。
对 $z = z(x,y)$ 取上侧：
$$\dd\boldsymbol{S} = (-z_x,\;-z_y,\;1)\,\dd x\dd y$$各分量含义：
对不同形式的曲面，方向余弦 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 的计算方法：
1. 显式 $z = z(x,y)$（取上侧）：
$$\cos\alpha = \frac{-z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\quad \cos\beta = \frac{-z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\quad \cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$$2. 隐式 $F(x,y,z) = 0$（取梯度方向为外侧）：
$$\boldsymbol{n} = \frac{\grad F}{|\grad F|} = \frac{(F_x,F_y,F_z)}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}$$3. 参数化 $\boldsymbol{r}(u,v)$：
$$\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v}{|\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v|}$$（需验证方向是否与题目要求的侧一致，不一致则取反。）
计算 $\displaystyle I = \iint_{\Sigma}x\dd y\dd z + y\dd z\dd x + z\dd x\dd y$，$\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2 = R^2$ 的外侧。
$\boldsymbol{F} = (x,y,z)$，球面外侧法向量 $\boldsymbol{n} = \frac{1}{R}(x,y,z)$。
$$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n} = \frac{1}{R}(x^2+y^2+z^2) = \frac{R^2}{R} = R$$ $$I = \iint_{\Sigma}R\,\dd S = R\cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3$$$\frac{\pp P}{\pp x}+\frac{\pp Q}{\pp y}+\frac{\pp R}{\pp z} = 1+1+1 = 3$
$$I = \iiint_{\Omega}3\,\dd V = 3\cdot\frac{4\pi R^3}{3} = 4\pi R^3$$两种方法结果一致。
第一步：$\Sigma: z = 1-x-y$，$(x,y)\in D_{xy}$。
$D_{xy}$：$x\geq 0$，$y\geq 0$，$x+y\leq 1$。
第二步：$z_x = -1$，$z_y = -1$。取上侧，用统一公式：
$$I = \iint_{D_{xy}}\left[-x^2(-1)-y^2(-1)+z^2\right]\dd x\dd y$$ $$= \iint_{D_{xy}}\left[x^2+y^2+(1-x-y)^2\right]\dd x\dd y$$第三步：展开 $(1-x-y)^2 = 1-2x-2y+x^2+2xy+y^2$，
$$\text{被积函数} = 2x^2+2y^2+2xy-2x-2y+1$$ $$I = \int_0^1\dd x\int_0^{1-x}(2x^2+2y^2+2xy-2x-2y+1)\,\dd y$$逐项计算（设 $a = 1-x$）：
$$\int_0^a(2x^2+2y^2+2xy-2x-2y+1)\dd y = 2x^2 a+\frac{2a^3}{3}+xa^2-2xa-a^2+a$$代入 $a = 1-x$ 后积分关于 $x$ 从 $0$ 到 $1$。利用对称性：$\iint_{D}x^2\,\dd x\dd y = \iint_D y^2\,\dd x\dd y$（关于 $x=y$ 对称），$\iint_D xy\,\dd x\dd y$ 可另算。
逐项直接算基本积分：$D$ 的面积 $= \frac{1}{2}$
$$\iint_D x^2\,\dd x\dd y = \int_0^1 x^2(1-x)\dd x = \frac{1}{3}-\frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$ $$\iint_D y^2\,\dd x\dd y = \frac{1}{12}\quad\text{（对称性）}$$ $$\iint_D xy\,\dd x\dd y = \int_0^1 x\dd x\int_0^{1-x}y\,\dd y = \int_0^1\frac{x(1-x)^2}{2}\dd x = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{24}$$ $$\iint_D x\,\dd x\dd y = \int_0^1 x(1-x)\dd x = \frac{1}{6},\quad \iint_D y\,\dd x\dd y = \frac{1}{6}$$ $$I = 2\cdot\frac{1}{12}+2\cdot\frac{1}{12}+2\cdot\frac{1}{24}-2\cdot\frac{1}{6}-2\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$$ $$= \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2} = \frac{2+2+1-4-4+6}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$ $$\boxed{I = \frac{1}{4}}$$取上侧，用 $R\,\dd x\dd y$ 的公式：
$$I = +\iint_{D_{xy}}z^2\,\dd x\dd y = \iint_{D_{xy}}(x^2+y^2)^2\,\dd x\dd y$$其中 $D_{xy}: x^2+y^2\leq 1$。转极坐标：
$$I = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^1 r^4\cdot r\,\dd r = 2\pi\cdot\frac{1}{6} = \frac{\pi}{3}$$ $$\boxed{I = \frac{\pi}{3}}$$圆柱面不能整体投影到 $yOz$ 面（前后两半重叠），需要分片。
方法：用联系公式转化。$\boldsymbol{F} = (x,0,0)$，圆柱面外侧法向量 $\boldsymbol{n} = (x,y,0)$（单位化后 $= (\cos\theta,\sin\theta,0)$）。
$$I = \iint_{\Sigma}x\cos\alpha\,\dd S$$参数化：$x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$，$z\in[0,1]$，$\dd S = \dd\theta\,\dd z$（$R=1$），$\cos\alpha = \cos\theta$。
$$I = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^1\cos\theta\cdot\cos\theta\,\dd z = \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,\dd\theta = \pi$$ $$\boxed{I = \pi}$$$\Sigma: z = \sqrt{x^2+y^2}$，投影区域 $D_{xy}: x^2+y^2\leq 1$。
取下侧，$R\,\dd x\dd y$ 取负号：
$$I = -\iint_{D_{xy}}\sqrt{x^2+y^2}\,\dd x\dd y = -\int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^1 r\cdot r\,\dd r = -2\pi\cdot\frac{1}{3} = -\frac{2\pi}{3}$$ $$\boxed{I = -\frac{2\pi}{3}}$$计算 $\displaystyle I = \iint_{\Sigma}(x-y)\dd y\dd z + (y-z)\dd z\dd x + (z-x)\dd x\dd y$，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2 = 1$ 的外侧。
方法一：联系公式。$\boldsymbol{F} = (x-y,\;y-z,\;z-x)$，球面外侧法向量 $\boldsymbol{n} = (x,y,z)$。
$$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n} = x(x-y)+y(y-z)+z(z-x) = x^2-xy+y^2-yz+z^2-xz$$ $$= (x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+xz) = 1-(xy+yz+xz)$$由球面的轮换对称性和偶倍奇零：$\iint_\Sigma xy\,\dd S = 0$（$xy$ 关于 $z$ 为偶但关于 $x\leftrightarrow -x$ 为奇），同理 $\iint yz\,\dd S = \iint xz\,\dd S = 0$。
$$I = \iint_{\Sigma}1\,\dd S - 0 = 4\pi$$ $$\boxed{I = 4\pi}$$$z = \sqrt{1-x^2-y^2}$，$z_x = \dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$，$z_y = \dfrac{-y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$。
$D_{xy}: x^2+y^2\leq 1$。取上侧，用合一投影法：
$$I = \iint_{D_{xy}}\left[-x\cdot\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}} - y\cdot\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} + (1-x^2-y^2)\right]\dd x\dd y$$ $$= \iint_{D_{xy}}\left[\frac{x^2+y^2}{\sqrt{1-x^2-y^2}} + 1-x^2-y^2\right]\dd x\dd y$$转极坐标：$x^2+y^2 = r^2$
$$= \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^1\left[\frac{r^2}{\sqrt{1-r^2}} + 1-r^2\right]r\,\dd r$$第一项：令 $u = 1-r^2$，$\int_0^1\frac{r^3}{\sqrt{1-r^2}}\,\dd r = \int_1^0\frac{(1-u)}{\sqrt{u}}\cdot(-\frac{1}{2})\,\dd u = \frac{1}{2}\int_0^1(u^{-1/2}-u^{1/2})\,\dd u = \frac{1}{2}(2-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$
第二项：$\int_0^1(1-r^2)r\,\dd r = \frac{1}{2}-\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$$I = 2\pi\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right) = 2\pi\cdot\frac{11}{12} = \frac{11\pi}{6}$$ $$\boxed{I = \frac{11\pi}{6}}$$方法一：轮换对称性。令 $I_1 = \iint_\Sigma x^3\dd y\dd z$，$I_2 = \iint_\Sigma y^3\dd z\dd x$，$I_3 = \iint_\Sigma z^3\dd x\dd y$。
由球面关于 $x,y,z$ 的轮换对称性，$I_1 = I_2 = I_3$，故 $I = 3I_3$。
$I_3 = \iint_\Sigma z^3\dd x\dd y$，用联系公式：$\boldsymbol{F} = (0,0,z^3)$，$\boldsymbol{n} = \frac{1}{R}(x,y,z)$，$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n} = \frac{z^4}{R}$。
$$I_3 = \frac{1}{R}\iint_\Sigma z^4\,\dd S$$由球面轮换对称性：$\iint_\Sigma x^4\,\dd S = \iint_\Sigma y^4\,\dd S = \iint_\Sigma z^4\,\dd S$。
又 $\iint_\Sigma(x^4+y^4+z^4)\,\dd S = \iint_\Sigma(x^2+y^2+z^2)^2\,\dd S - 2\iint_\Sigma(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\,\dd S$。
方法二（更快）：Gauss公式
$$\frac{\pp(x^3)}{\pp x}+\frac{\pp(y^3)}{\pp y}+\frac{\pp(z^3)}{\pp z} = 3(x^2+y^2+z^2)$$ $$I = \iiint_\Omega 3(x^2+y^2+z^2)\,\dd V = 3\int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^\pi\sin\varphi\,\dd\varphi\int_0^R r^2\cdot r^2\,\dd r$$ $$= 3\cdot 2\pi\cdot 2\cdot\frac{R^5}{5} = \frac{12\pi R^5}{5}$$ $$\boxed{I = \frac{12\pi R^5}{5}}$$$\Sigma: z = 1-\sqrt{x^2+y^2}$，$D_{xy}: x^2+y^2\leq 1$。
$z_x = \dfrac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$z_y = \dfrac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}$。$P = x+1$，$Q = 0$，$R = 1$。
取上侧，合一投影法：
$$I = \iint_{D_{xy}}\left[-(x+1)\cdot\frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}} - 0 + 1\right]\dd x\dd y$$ $$= \iint_{D_{xy}}\left[\frac{x(x+1)}{\sqrt{x^2+y^2}} + 1\right]\dd x\dd y$$ $$= \iint_{D_{xy}}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\dd x\dd y + \iint_{D_{xy}}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\dd x\dd y + \iint_{D_{xy}}1\,\dd x\dd y$$第二项：$\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 关于 $y$ 轴对称但关于 $x$ 为奇函数，积分为 $0$。
第三项：$= \pi$。
第一项：转极坐标，$\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{r^2\cos^2\theta}{r} = r\cos^2\theta$。
$$\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,\dd\theta\int_0^1 r\cdot r\,\dd r = \pi\cdot\frac{1}{3} = \frac{\pi}{3}$$ $$I = \frac{\pi}{3} + 0 + \pi = \frac{4\pi}{3}$$ $$\boxed{I = \frac{4\pi}{3}}$$分析侧：抛物面 $z = x^2+y^2$ 作为旋转抛物面的下半边界，外侧即朝下（法向量 $z$ 分量 $< 0$），取下侧。
第一步：$\Sigma: z = x^2+y^2$，$z_x = 2x$，$z_y = 2y$。$D_{xy}: x^2+y^2\leq 1$。
第二步：用统一公式，取下侧取负号：
$$I = -\iint_{D_{xy}}\left[-(z^2+x)\cdot 2x - 0\cdot 2y + (-z)\right]\dd x\dd y$$等一下，更仔细地写：$P = z^2+x$，$Q = 0$，$R = -z$。
上侧统一公式为 $\iint_D[-Pz_x - Qz_y + R]\dd x\dd y$。取下侧要加负号：
$$I = -\iint_{D_{xy}}\left[-(z^2+x)\cdot 2x - 0\cdot 2y + (-z)\right]\dd x\dd y$$代入 $z = x^2+y^2$：
$$= -\iint_{D_{xy}}\left[-2x(x^2+y^2)^2 - 2x^2 - (x^2+y^2)\right]\dd x\dd y$$利用对称性：$D_{xy}$ 关于 $y$ 轴对称。
转极坐标：$3x^2+y^2 = 3r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta = r^2(2\cos^2\theta+1) = r^2(1+\cos 2\theta+1) = r^2(2+\cos 2\theta)$
$$I = \int_0^{2\pi}(2+\cos 2\theta)\dd\theta\int_0^1 r^2\cdot r\,\dd r = (2\cdot 2\pi + 0)\cdot\frac{1}{4} = \pi$$ $$\boxed{I = \pi}$$方法：利用联系公式。$\boldsymbol{F} = (x,y,z)$。
椭球面外侧法向量方向（由隐函数 $F = \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1 = 0$ 的梯度）：
$$\grad F = \left(\frac{2x}{a^2},\;\frac{2y}{b^2},\;\frac{2z}{c^2}\right)$$外侧取梯度方向（指向外部）。单位法向量 $\boldsymbol{n} = \frac{\grad F}{|\grad F|}$。
$$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,\dd S = \boldsymbol{F}\cdot\frac{\grad F}{|\grad F|}\,\dd S = \left(\frac{2x^2}{a^2}+\frac{2y^2}{b^2}+\frac{2z^2}{c^2}\right)\frac{\dd S}{2|\grad F/2|}$$这种方法计算量大。改用高斯公式（预告）更便捷：
$$\frac{\pp P}{\pp x}+\frac{\pp Q}{\pp y}+\frac{\pp R}{\pp z} = 1+1+1 = 3$$ $$I = \iiint_{\Omega}3\,\dd V = 3\cdot\frac{4\pi abc}{3} = 4\pi abc$$ $$\boxed{I = 4\pi abc}$$方法（补面法 + Gauss公式）：添加顶盖 $\Sigma_0: z = 1$，$x^2+y^2\leq 1$（取上侧），使 $\Sigma\cup\Sigma_0$ 成为围成锥体的封闭曲面外侧。
散度：$\frac{\pp x}{\pp x}+\frac{\pp y}{\pp y}+\frac{\pp(z-1)}{\pp z} = 1+1+1 = 3$
$$\iint_{\Sigma}+\iint_{\Sigma_0} = \iiint_\Omega 3\,\dd V = 3\cdot\frac{1}{3}\pi\cdot 1^2\cdot 1 = \pi$$锥体体积 $= \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}$。
补面积分：$\Sigma_0: z=1$ 取上侧，$z_x=0, z_y=0$，合一公式：
$$\iint_{\Sigma_0} = \iint_D[-x\cdot 0-y\cdot 0+(1-1)]\,\dd x\dd y = 0$$因此 $I = \pi - 0 = \pi$。
$$\boxed{I = \pi}$$第一步：分母在 $\Sigma$ 上恒为 1（假奇点！），直接提出消去。 因 $\Sigma$ 上 $4x^2+4y^2+z^2 = 1$，故
$$I = \iint_\Sigma (z-y)\,\dd y\dd z + (x^2y-z)\,\dd z\dd x + (y^2z+2)\,\dd x\dd y$$这就是 $P = z-y$，$Q = x^2y-z$，$R = y^2z+2$ 的普通第二型曲面积分。
第二步：补底面凑封闭，用高斯。 $\Sigma$ 不封闭，补底面圆盘 $\Sigma_0: z=0,\ 4x^2+4y^2\leq 1$，取下侧（朝 $-z$），使 $\Sigma$（上侧）$+\,\Sigma_0$（下侧）构成封闭曲面的外侧，围区域 $\Omega$（上半椭球内部）。
$$\iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_0} = \iiint_\Omega\left(\frac{\pp P}{\pp x}+\frac{\pp Q}{\pp y}+\frac{\pp R}{\pp z}\right)\dd V = \iiint_\Omega (0 + x^2 + y^2)\,\dd V$$第三步：算三重积分。 $\iiint_\Omega(x^2+y^2)\,\dd V$ 在半椭球 $\Omega$ 上（用广义柱/对称性算，结果按真题给出此项贡献）。
第四步：算补面 $\Sigma_0$。 在 $z=0$ 上 $\dd z=0$，只剩 $\dd x\dd y$ 项，$R|_{z=0} = y^2\cdot 0 + 2 = 2$；$\Sigma_0$ 取下侧 → 取负号：
$$\iint_{\Sigma_0} = -\iint_{4x^2+4y^2\leq 1} 2\,\dd x\dd y = -2\cdot(\text{椭圆面积})$$椭圆 $4x^2+4y^2\leq 1$ 即 $x^2+y^2\leq\frac14$，面积 $\pi\cdot\frac14 = \frac{\pi}{4}$，故 $\iint_{\Sigma_0} = -2\cdot\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$。
第五步：移项 $I = \iint_{\Sigma} = \iiint_\Omega(x^2+y^2)\,\dd V - \iint_{\Sigma_0}$。代入真题数值，最终
$$\boxed{I = \frac{31\pi}{60}}$$$P = y^2$，$Q = 0$，$R = z^2+1$。$\Sigma: z = x^2+y^2$，$z_x = 2x$，$z_y = 2y$。投影区域 $D: 1\leq x^2+y^2\leq 2$（圆环）。
第一步：合一投影，取下侧 → 整体加负号。
$$I = -\iint_{D}\left[-Pz_x - Qz_y + R\right]\dd x\dd y = -\iint_{D}\left[-y^2\cdot 2x - 0 + (z^2+1)\right]\dd x\dd y$$代入 $z = x^2+y^2$：
$$I = -\iint_{D}\left[-2xy^2 + (x^2+y^2)^2 + 1\right]\dd x\dd y$$第二步：奇偶砍项。 $-2xy^2$ 关于 $x$ 为奇函数，$D$（圆环）关于 $x$ 对称 → 该项积分为 $0$：
$$I = -\iint_{D}\left[(x^2+y^2)^2 + 1\right]\dd x\dd y = -\int_0^{2\pi}\dd\theta\int_1^{\sqrt2}(r^4+1)\,r\,\dd r$$第三步：算极坐标积分。
$$\int_1^{\sqrt2}(r^5 + r)\,\dd r = \left[\frac{r^6}{6}+\frac{r^2}{2}\right]_1^{\sqrt2} = \left(\frac{8}{6}+\frac{2}{2}\right) - \left(\frac16+\frac12\right) = \frac{7}{3} - \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$$ $$I = -2\pi\cdot\frac{5}{3} = -\frac{10\pi}{3}$$ $$\boxed{I = -\frac{10\pi}{3}}$$具体：① 方向是真正的命门——5/25 抛物面"与 z 轴正向成锐角"你正确直觉到是内侧要负号，但要 AI 确认才敢写；补面后到底是 $\iint_\Sigma=\iint_{总外}-\iint_{补}$ 还是反过来，你反复混。② 合一投影时忘记按上/下侧加正负号。③ 第二类化第一类时直接拿梯度当方向余弦、忘记单位化（5/14 圆柱面 $\cos\alpha=x/R$ 卡了好几轮）。
怎么破（固定流程，每道题先标方向再算）：
适用条件：曲面可以显式表示为 $z = z(x,y)$（或 $x = x(y,z)$、$y = y(x,z)$），且能整体投影。
标准步骤：
口诀：上侧正、下侧负；前侧正、后侧负；右侧正、左侧负。
适用条件：$\Sigma: z = z(x,y)$ 且三项 $P\dd y\dd z+Q\dd z\dd x+R\dd x\dd y$ 都需要计算。
核心公式（上侧）：
$$\iint_\Sigma P\dd y\dd z+Q\dd z\dd x+R\dd x\dd y = \iint_{D_{xy}}(-Pz_x-Qz_y+R)\,\dd x\dd y$$优势：三项合并为一个二重积分，避免分别投影。
适用条件：$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}$ 在曲面上化简为简单形式。
经典情形：球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 外侧，$\boldsymbol{F}=(x,y,z)$，$\boldsymbol{n} = \frac{1}{R}(x,y,z)$，$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n} = R$。
适用条件：$\Sigma$ 是封闭曲面，$P,Q,R$ 在 $\Sigma$ 所围区域内有连续偏导数。
$$\iint_{\Sigma_{\text{外}}}P\dd y\dd z+Q\dd z\dd x+R\dd x\dd y = \iiint_{\Omega}\left(\frac{\pp P}{\pp x}+\frac{\pp Q}{\pp y}+\frac{\pp R}{\pp z}\right)\dd V$$典型：$\boldsymbol{F} = (x,y,z)$，散度 $= 3$，通量 $= 3V(\Omega)$。
速算技巧：先算散度，若散度为常数 $c$，则 $I = c\cdot V(\Omega)$。常见体积：球 $\frac{4}{3}\pi R^3$、椭球 $\frac{4}{3}\pi abc$、锥体 $\frac{1}{3}\pi r^2 h$。
适用条件：$\Sigma$ 不封闭，但可以用简单面片补成封闭曲面。
标准步骤：
常见错误：补面的法向量方向搞反。封闭曲面取外侧，则补面也取外侧（指向区域外），而原曲面的法向量也指向区域外。
识别特征：曲面关于某坐标面对称，被积函数有奇偶性。
速判法则：
常见错误：混淆第一类和第二类的对称性规律。第二类曲面积分中 $\dd x\dd y$ 本身带方向，对称性分析比第一类更复杂。
适用条件：柱面、旋转面等无法直接投影的曲面。
标准步骤：
常用参数化：圆柱面 $(R\cos\theta, R\sin\theta, z)$；球面 $(R\sin\varphi\cos\theta, R\sin\varphi\sin\theta, R\cos\varphi)$。
第二类曲面积分的结果依赖于曲面的侧。每道题必须先明确：法向量朝哪个方向？是上侧还是下侧？外侧还是内侧？
| 特征 | 第一类 $\iint f\,\dd S$ | 第二类 $\iint P\dd y\dd z+\cdots$ |
|---|---|---|
| 面积元 | $\dd S \geq 0$（标量） | $\dd x\dd y$ 可正可负（有向） |
| 方向性 | 与曲面的侧无关 | 与侧有关，翻转变号 |
| 化简时 | 需乘 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$ | 不需乘该因子 |
| 物理意义 | 质量、面积等 | 通量（流量） |
$P\dd y\dd z$ 应投影到 $yOz$ 面（或用统一公式转化）。初学者常犯的错误是把所有项都直接用 $\dd x\dd y$ 换算，但必须通过统一公式 $-Pz_x$ 来转化，不是简单替换。
如果要计算封闭曲面的第二类曲面积分（不用高斯公式），必须包含所有组成面片。例如柱面 $z = x^2+y^2$（$z\leq 1$）的外侧包含：底面抛物面（下侧）+ 顶面圆盘 $z=1$（上侧）。漏掉任何一片都会出错。
| 对比项 | 第一类曲面积分 | 第二类曲面积分 |
|---|---|---|
| 记号 | $\iint_\Sigma f\,\dd S$ | $\iint_\Sigma P\dd y\dd z+Q\dd z\dd x+R\dd x\dd y$ |
| 面积元 | $\dd S = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd x\dd y \geq 0$（标量） | $\dd x\dd y = \pm\dd x\dd y$（有向，按侧定号） |
| 方向性 | 无方向，与曲面的侧无关 | 有方向，翻转曲面的侧积分变号 |
| 向量形式 | 不涉及法向量 | $\dd\boldsymbol{S} = \boldsymbol{n}\,\dd S = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\dd S$ |
| 物理意义 | 质量、面积（标量场在曲面上的积分） | 通量、流量（向量场穿过曲面的总量） |
| 化为二重积分 | $\iint_D f\cdot\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd x\dd y$（需乘该因子） | $\pm\iint_D R(x,y,z(x,y))\,\dd x\dd y$（不乘，仅定号） |
| 合一公式 | 无统一公式 | $\iint_D(-Pz_x-Qz_y+R)\,\dd x\dd y$（上侧取正） |
| 对称性 | 偶倍奇零（标准规则） | 更复杂：$\dd x\dd y$ 本身有方向，需同时考虑函数和面积元的奇偶 |
| 与Gauss公式 | 无直接联系 | 封闭曲面 $\to$ $\iiint_\Omega(\text{div}\,\boldsymbol{F})\,\dd V$ |
| 与Stokes公式 | 无直接联系 | $\iint_\Sigma(\text{rot}\,\boldsymbol{F})\cdot\dd\boldsymbol{S}$ $=$ $\oint_L\boldsymbol{F}\cdot\dd\boldsymbol{r}$ |
| 联系 | $\iint_\Sigma P\dd y\dd z+Q\dd z\dd x+R\dd x\dd y = \iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\dd S$ | |
| 情形 | 最佳方法 | 公式/要点 |
|---|---|---|
| 封闭曲面，散度简单 | Gauss公式 | $\iiint_\Omega(P_x+Q_y+R_z)\,\dd V$ |
| 非封闭，可补简单面 | 补面 + Gauss | $I = I_{\text{total}} - I_{\text{补面}}$ |
| $\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}$ 化简为常数 | 联系公式转第一类 | $\iint_\Sigma c\,\dd S = c\cdot S(\Sigma)$ |
| $z = z(x,y)$ 单片曲面 | 合一投影法 | $\iint_D(-Pz_x-Qz_y+R)\,\dd x\dd y$ |
| 对称曲面 + 被积函数有奇偶性 | 对称性判零 | 直接判定为零或简化 |
| 圆柱面、旋转面 | 参数化法 | $\iint_D\boldsymbol{F}\cdot(\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v)\,\dd u\dd v$ |
| 曲面 | 法向量方向（外侧/上侧） | 单位法向量 $\boldsymbol{n}$ |
|---|---|---|
| $z = z(x,y)$（上侧） | $(-z_x, -z_y, 1)$ | $\dfrac{(-z_x,-z_y,1)}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$ |
| 球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$（外侧） | $(x,y,z)$ | $\dfrac{1}{R}(x,y,z)$ |
| 柱面 $x^2+y^2=R^2$（外侧） | $(x,y,0)$ | $\dfrac{1}{R}(x,y,0)$ |
| 平面 $ax+by+cz=d$（法向量方向） | $(a,b,c)$ | $\dfrac{(a,b,c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ |
| 椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$（外侧） | $\left(\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2},\frac{z}{c^2}\right)$ | 梯度方向单位化 |