10.4 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

设 $\Sigma$ 是空间中一片光滑（或分片光滑）曲面，$f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有界。将 $\Sigma$ 任意分割为 $n$ 个小片 $\Delta S_1, \Delta S_2,\dots,\Delta S_n$，在每个小片上任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，令 $\lambda = \max_i \operatorname{diam}(\Delta S_i)$，若极限

存在且与分割方式和取点方式无关，则称此极限为 $f$ 在 $\Sigma$ 上的第一类曲面积分（对面积的曲面积分），记作

1. 线性性：$\displaystyle\iint_{\Sigma}[\alpha f+\beta g]\,\dd S = \alpha\iint_{\Sigma}f\,\dd S + \beta\iint_{\Sigma}g\,\dd S$
2. 可加性：若 $\Sigma = \Sigma_1\cup\Sigma_2$（$\Sigma_1,\Sigma_2$ 至多沿边界重合），则 $\displaystyle\iint_{\Sigma}f\,\dd S = \iint_{\Sigma_1}f\,\dd S + \iint_{\Sigma_2}f\,\dd S$
3. 与方向无关：$\dd S \geq 0$，第一类曲面积分不依赖曲面的侧，即 $\displaystyle\iint_{-\Sigma}f\,\dd S = \iint_{\Sigma}f\,\dd S$（翻转法向量，积分值不变）
4. 估值定理：若 $m \leq f \leq M$，则 $m\cdot A(\Sigma) \leq \displaystyle\iint_{\Sigma}f\,\dd S \leq M\cdot A(\Sigma)$
5. 中值定理：若 $f$ 在连通曲面 $\Sigma$ 上连续，则存在 $P_0\in\Sigma$ 使得 $\displaystyle\iint_{\Sigma}f\,\dd S = f(P_0)\cdot A(\Sigma)$

设 $\Sigma: z = z(x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$，$z(x,y)$ 有连续偏导数，$f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上连续，则

曲面参数化为 $\boldsymbol{r}(x,y) = (x,\,y,\,z(x,y))$，切向量

法向量（叉积）

面积元

将 $z = z(x,y)$ 代入 $f$ 并在 $D_{xy}$ 上积分即得结果。

其中

$E = |\boldsymbol{r}_u|^2$，$F = \boldsymbol{r}_u\cdot\boldsymbol{r}_v$，$G = |\boldsymbol{r}_v|^2$（第一基本量）。

设曲面 $\Sigma$ 由参数方程 $\boldsymbol{r}(u,v) = \big(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\big)$ 给出，$(u,v)\in D_{uv}$。定义第一基本量（第一基本形式的系数）：

面积元素为

由向量叉积模的公式：

这就是 Lagrange 恒等式。因此 $|\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v| = \sqrt{EG-F^2}$。

当 $u, v$ 是正交参数（即 $\boldsymbol{r}_u \perp \boldsymbol{r}_v$，$F = 0$）时，简化为 $\dd S = \sqrt{EG}\;\dd u\,\dd v$。

第一步：求偏导数。

第二步：计算 $1+z_x^2+z_y^2$。

第三步：写出面积元。

验证：上半球面面积 $= \displaystyle\iint_{x^2+y^2\leq R^2}\frac{R}{\sqrt{R^2-r^2}}\,\dd x\dd y = \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_0^R\frac{Rr}{\sqrt{R^2-r^2}}\,\dd r = 2\pi R\left[-\sqrt{R^2-r^2}\right]_0^R = 2\pi R^2$。

第一步：求偏导数。

第二步：计算 $z_x^2+z_y^2$。

第三步：面积元。

锥面的面积元是常数倍的 $\dd x\dd y$，这使得锥面上的积分特别容易计算。当 $k=1$ 时 $\dd S = \sqrt{2}\,\dd x\dd y$。

验证：$z = \sqrt{x^2+y^2}$，$0\leq z\leq h$ 的锥面面积 $= \sqrt{2}\cdot\pi h^2$（投影区域为半径 $h$ 的圆盘）。

第一步：求偏导数。

第二步：计算面积元因子。

验证：$z = r^2$，$0\leq z\leq 1$ 的抛物面面积：

平面面积元是常数倍的投影面积元。平面上的第一类曲面积分直接化为投影区域上的普通二重积分。

圆柱面不能写成 $z = z(x,y)$ 的形式，必须用参数化方法。

第一步：参数化 $x = R\cos\theta$，$y = R\sin\theta$，$z = z$，$\theta\in[0,2\pi]$，$z\in[z_1,z_2]$。

第二步：计算切向量和叉积。

第三步：$\dd S = R\,\dd\theta\,\dd z$。

验证：侧面积 $= \int_0^{2\pi}\dd\theta\int_{z_1}^{z_2}R\,\dd z = 2\pi R(z_2-z_1)$。

定理：在上半球面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2 = R^2$（$z \geq 0$）上，

上半球面 $z = \sqrt{R^2-x^2-y^2}$，由前面推导知

因此

即 $z$ 和 $\dd S$ 中的 $\frac{1}{z}$ 恰好对消，得到一个极其简洁的结果。

由对称性，在球面 $x^2+y^2+z^2 = R^2$ 的各部分上有类似结论：

本质：$\dd S = \frac{R}{|\text{投影方向的坐标}|}\,(\text{投影面积元})$，坐标乘以 $\frac{R}{\text{坐标}}$ 恰好等于 $R$。

定理：球面 $x^2+y^2+z^2 = R^2$ 被平面 $z = h$（$0 \leq h \leq R$）截出的球冠（$z \geq h$）的面积为

证明：

其中 $D: x^2+y^2 \leq R^2-h^2$。转极坐标：

注意球冠面积只与球半径 $R$ 和球冠高度 $R-h$ 有关，与底面半径无关。这是一个优美的结论。

设曲面 $\Sigma$ 关于 $xOy$ 平面对称（即 $(x,y,z)\in\Sigma \Leftrightarrow (x,y,-z)\in\Sigma$），$\Sigma_1$ 为 $\Sigma$ 在 $z\geq 0$ 的部分。

• 若 $f(x,y,-z) = f(x,y,z)$（$f$ 关于 $z$ 是偶函数）： $$\iint_{\Sigma}f\,\dd S = 2\iint_{\Sigma_1}f\,\dd S \quad\text{（偶倍）}$$
• 若 $f(x,y,-z) = -f(x,y,z)$（$f$ 关于 $z$ 是奇函数）： $$\iint_{\Sigma}f\,\dd S = 0 \quad\text{（奇零）}$$

类似地，$\Sigma$ 关于 $yOz$ 或 $xOz$ 平面对称时，分别考察 $f$ 关于 $x$ 或 $y$ 的奇偶性。

若曲面 $\Sigma$ 关于 $x,y,z$ 具有轮换对称性（如球面 $x^2+y^2+z^2 = R^2$），则

特别地，

1. 显式曲面 $\dd S$：$\dd S = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd x\dd y$；曲面面积 $A = \iint_D\dd S$。
2. 常见曲面 $\dd S$ 速查：锥面 $z=k\sqrt{x^2+y^2}$ → $\sqrt{1+k^2}\,\dd x\dd y$（常数，$k=1$ 时 $\sqrt2$）；球面 $z=\sqrt{R^2-r^2}$ → $\dfrac{R}{\sqrt{R^2-r^2}}\dd x\dd y$；抛物面 $z=a(x^2+y^2)$ → $\sqrt{1+4a^2r^2}\dd x\dd y$；平面 $z=ax+by+c$ → $\sqrt{1+a^2+b^2}\dd x\dd y$（常数）。
3. 球面 / 柱面参数 $\dd S$ 无大根号：球面 $\dd S = R^2\sin\varphi\,\dd\varphi\,\dd\theta$；柱面 $\dd S = R\,\dd\theta\,\dd z$。
4. 球面黄金公式（上半球 $z\geq 0$）：$z\,\dd S = R\,\dd x\dd y$；球冠面积 $A = 2\pi R(R-h)$（$z\geq h$）。下半球 $z<0$ 时 $z\,\dd S = -R\,\dd x\dd y$。
5. 对称性（偶倍奇零）：$\Sigma$ 关于某坐标面对称，被积函数对该变量为奇 → 积分 $=0$；为偶 → 半边的 2 倍。
6. 轮换对称（球面）：$\iint_\Sigma x^2\dd S = \iint_\Sigma y^2\dd S = \iint_\Sigma z^2\dd S = \dfrac13\iint_\Sigma(x^2+y^2+z^2)\dd S$。

识别特征：曲面以 $z = z(x,y)$ 的形式给出（如锥面、抛物面、平面等），被积函数直接给出。

标准步骤：

1. 计算 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$，尽量化简
2. 确定投影区域 $D_{xy}$（注意：由曲面的实际边界决定）
3. 将 $z = z(x,y)$ 代入 $f(x,y,z)$
4. $I = \displaystyle\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\dd x\dd y$
5. 若 $D_{xy}$ 为圆形区域，转极坐标

速解技巧：锥面 $\to$ $\sqrt{2}$（常数），球面 $\to$ $\frac{R}{\sqrt{R^2-r^2}}$，球面上 $z\,\dd S = R\,\dd x\dd y$。

易错点：忘记将 $z$ 代入被积函数，或面积元因子算错。

识别特征：曲面不方便写成显式 $z = z(x,y)$，如圆柱面、球面全部或旋转曲面，或题目直接给出参数方程。

标准步骤：

1. 写出参数化 $\boldsymbol{r}(u,v)$
2. 计算 $\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v$ 及叉积 $\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v$
3. $\dd S = |\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v|\,\dd u\dd v = \sqrt{EG-F^2}\,\dd u\dd v$
4. 将 $f$ 用参数 $(u,v)$ 表达，化为 $D_{uv}$ 上的二重积分

常用结果：圆柱面 $\dd S = R\,\dd\theta\dd z$，球面 $\dd S = R^2\sin\varphi\,\dd\varphi\dd\theta$。

易错点：叉积方向算错（不影响模，但要注意）；参数范围确定错误。

识别特征：曲面具有明显的对称性（球面、锥面等），被积函数含有交叉项或可拆为奇偶部分。

标准步骤：

1. 判断曲面关于哪些坐标平面对称
2. 将被积函数拆为多项，逐项判断奇偶性
3. 奇函数项积分为零，偶函数项翻倍
4. 利用轮换对称性将多个积分归结为一个

核心公式：球面上 $\iint x^2\,\dd S = \iint y^2\,\dd S = \iint z^2\,\dd S = \frac{1}{3}\iint(x^2+y^2+z^2)\,\dd S$。

典型处理：交叉项 $xy, yz, xz$ 在球面上积分为零；$x^2+y^2$ 在球面上可用 $R^2-z^2$ 替代。

易错点：锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 只有 $x \leftrightarrow y$ 的轮换对称性，$z$ 不参与轮换！

识别特征：球面被柱面、锥面、平面等截出一部分，求该部分上的曲面积分。

标准步骤：

1. 求交线方程，确定截出部分的边界
2. 将截出部分投影到 $xOy$ 面，确定投影区域 $D_{xy}$
3. 利用 $\dd S = \frac{R}{\sqrt{R^2-r^2}}\,\dd x\dd y$
4. 若投影区域是偏心圆 $r\leq a\cos\theta$，用极坐标计算

关键技巧：利用黄金公式 $z\,\dd S = R\,\dd x\dd y$，可使含 $z$ 的积分大幅简化。

易错点：投影区域由截取曲面决定，不是由球面本身决定。注意上下半球面要分别处理。

识别特征：被积函数中恰好包含 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$ 的倒数，或被积函数中含有曲面方程左端。

标准步骤：

1. 先写出 $f\cdot\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$ 的乘积，观察是否化简
2. 利用曲面方程替换被积函数中的表达式（如球面上 $x^2+y^2+z^2 = R^2$）
3. 若整个被积表达式退化为常数，则积分 = 常数 $\times$ 投影面积

典型例子：球面上 $\frac{1}{x^2+y^2+z^2}$ 化为 $\frac{1}{R^2}$（常数）；$\frac{1}{\sqrt{1+4r^2}}$ 在抛物面上与 $\dd S$ 对消。

易错点：对消后不要忘记检查被积函数在积分区域边界是否有奇性（如 $\frac{1}{z^2}$ 在赤道处发散）。