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学姐笔记 P1 · 封面 / 积分公式表（高等数学 下）

本页为笔记本封面（手写标题「高等数学（下）」），左上角抄录了一组常用积分公式（浅色书写，部分较淡）：

常用积分公式

学姐笔记 P2 · 多元函数微分学：点列、距离、邻域

一、\(\mathbb{R}^n\) 中的点列与距离

\(\mathbb{R}^n\) 中的点列记为 \(\{x_k\}\)，其中 \(x_k=(x_{k1},x_{k2},\dots,x_{kn})\)。

\(\mathbb{R}^n\) 中两点的距离记为 \(d\)。

定义：若 \(\displaystyle\lim_{k\to\infty} d(x_k,x_0)=0\)，则称点列 \(\{x_k\}\) 收敛于 \(x_0\)，记作 \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_k=x_0\)。

注：\(\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_k=x_0 \iff \lim_{k\to\infty}x_{ki}=x_{0i}\)（每个分量 / 所有分量都收敛）。

二、邻域

\(\mathbb{R}^n\) 中以 \(x_0\) 为心、\(\delta\) 为半径的邻域：

例：在 \(\mathbb{R}^2\) 中，邻域 \(U(x_0,\delta)\) 是以 \(x_0\) 为心的开圆盘（示意图为坐标系中一个虚线小圆，圆心标记 \(x_0\)）。

方邻域：\(\big\{\,x_k \mid |x_{ki}-x_{0i}|<\delta,\; i=1,\dots,n\,\big\}\)。

（红字批注）圆邻域与方邻域两种说法都是 \(U(x_0,\delta)\)。

本页末尾引出 \(P\in\mathbb{R}^n\)、点集 \(E\subset\mathbb{R}^n\) 的概念，承接下一页点集分类。

学姐笔记 P3 · 点集分类（内点 / 界点 / 聚点 / 孤立点）与开闭集

一、点 \(P\) 与点集 \(E\) 的关系

设 \(P\in\mathbb{R}^n\)，\(E\subset\mathbb{R}^n\)。

• 内点：\(\exists\, U(P,\delta)\subset E\)。（内点的全体称为 内核 \(E^\circ\)）
• 外点：\(\exists\, U(P,\delta)\cap E=\varnothing\)。
• 界点（边界点）：\(\forall\, U(P,\delta)\),\;\(U(P,\delta)\cap E\ne\varnothing\) 且 \(U(P,\delta)\cap E^{c}\ne\varnothing\)。边界点不一定属于 \(E\)。（边界点的集合记为 \(\partial E\)）
• 聚点：\(\forall\, \mathring{U}(P,\delta)\),\;去心邻域内都有 \(E\) 的点。聚点不一定属于 \(E\)。

（红字）内点和界点（聚点）一定是聚点。

二、聚点的等价刻画

\(P_0\) 为聚点 \(\iff \exists\, \{P_k\}\subset E,\ P_k\ne P_0,\ \displaystyle\lim_{k\to\infty}P_k=P_0\)。

（红字）即可利用「序列」与「点列收敛」来描述聚点。

（示意图：一个区域内画出趋于内部一点 \(P_0\) 的点列。）

三、开集与闭集

• 开集：\(E\) 中每个点都是内点 \(\iff E\) 为开集。
• 闭集：\(\mathbb{R}^n - E\)（即补集）为开集 \(\iff E\) 为闭集；或 当 \(\exists$ 聚点 \(\in E\)（即所有聚点都属于 \(E\)）时 \(E\) 为闭集。

解释：有限个点的集合是闭集。

学姐笔记 P4 · 开闭区域、有界集、多元函数与二重极限

一、开 / 闭区域

定义：连通的开集叫（开）区域；开区域 + 边界 = 闭区域。

（示意图：一个连通的开区域，内含两点 \(P_1,P_2\) 可用折线连通；右侧另画一例 不是连通闭集 / 不是闭集 的反例图形——一条断开的椭圆环。）

有界集定义：\(\exists\, M\)，使 \(E\subseteq U(0,M)\) \(\iff E\) 有界。

例：

• \(\mathbb{R}^n\) 中 \(\big\{(x_1,\dots,x_n)\mid \textstyle\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}\le 4\big\}\)：不是开集，是闭集。
• \(\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{Q}\}\)：不是开集，不是闭集，不连通，不有界。

二、多元函数

\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\)。

例：\(z=3-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\)，定义域 \(D:\ x^{2}+y^{2}\le 4\)。

由 \((z-3)^{2}=4-x^{2}-y^{2}\) 得 \(x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=4\)，即以 \((0,0,3)\) 为球心、半径为 \(2\) 的（下半）球面。

三、二重极限的定义

\(\displaystyle\lim_{P\to P_0}f(P)=A\)：\(\forall\varepsilon>0,\ \exists\,\delta>0\)，\(\forall P\in\mathring{U}(P_0,\delta)\)，有 \(|f(P)-A|<\varepsilon\)。

二重极限（\((x,y)\to(x_0,y_0)\)）写成坐标形式：

学姐笔记 P5 · 二重极限例题（ε-δ 证明）与极限计算

注：\(P\to P_0\) 时若收敛，则极限值与路径无关；即若不同路径得到的极限值不同，则不收敛。

例 1

\(f(x,y)=x\sin\frac{1}{y}+y\sin\frac{1}{x}\)，\((x,y)\to(0,0)\)。

\(|f(x,y)-0|\le |x|+|y|<\varepsilon\)，取 \(\delta=\frac{\varepsilon}{2}\)。

（红字思路）要证 \(\lim f=A\)：① 猜 \(A\)；② 验 \(|f(x,y)-A|<\varepsilon\)，由 \(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\)（或 \(|x-x_0|<\delta,\ |y-y_0|<\delta\)）放缩得到。

例 2

\(f(x,y)=\dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\)。

（*处批注）\(x\ne0,\ y\ne0\)（\(x,y\) 轴已排除了）。

又 \(\left|\dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le x^{2}<\varepsilon\)（or \(y^{2}\)），取 \(\delta=\sqrt{\varepsilon}\)。

极限计算

\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,\ln(x^{2}+y^{2})\)。

令 \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}=t\to0^{+}\)，则原式 \(=t\ln t^{2}=2t\ln t\to0\)。

（本页上半另有提示：用换元/等价无穷小处理含 \((1+x)^{\frac{1}{\sin xy}}\to e^{1/a}\)、\(1-\cos\sqrt{xy}\sim\frac12 xy\)、\((1+1-e^{xy})^{1/2}-1\sim\frac12(1-e^{xy})\sim-\frac12 xy\) 等极限——详见下一部分衔接。）

学姐笔记 P6 · 二重极限存在性、累次极限、连续性、偏导数

一、典型极限例

\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}\)：当 \(0<\dfrac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}<|y|\to0\)（沿某些路径），不连通 / 该极限不存在（需检验）。

\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos\sqrt{xy}}{\sqrt{2-e^{xy}}-1}=-1\)（用等价无穷小）。

等价无穷小：\(1-\cos\sqrt{xy}\sim\frac12 xy\)；\((1+1-e^{xy})^{1/2}-1\sim\frac12(1-e^{xy})\sim-\frac12 xy\)。

（黄框反例）\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le y^{2}\to0\)：注意「沿 \(y=kx^a\) 路径试探」时若取 \(y=kx^{2}-x^{2}<0\) 这类不是回归原点的路径会出错——要看分子分母同次数。结论：该写法极限不存在。

二、二重极限存在性（不同路径法）

不同路径 \(\to(x_0,y_0)\) 极限不同 \(\Rightarrow\) 极限不存在。

例：\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\)。沿 \(y=x\)：\(=\dfrac{kx^{2}}{x^{2}+k^{2}x^{2}}=\dfrac{k}{1+k^{2}}\)（随 \(k\) 变化）\(\Rightarrow\) 极限不存在。

• ① 沿 \(y=kx\)：\(\dfrac{kx^{2}}{x^{2}+k^{2}x^{2}}=\dfrac{k}{1+k^{2}}\)（依赖 \(k\)）。
• ② 沿 \(y=kx^{2}\)：\(\dfrac{kx^{3}}{x^{2}+k^{2}x^{4}}=\dfrac{kx}{1+k^{2}x^{2}}\to0\)。

（蓝字）也可用极坐标 \(\begin{cases}x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\end{cases}\)，看是否 \(\iff\) 与 \(\theta\) 无关。分子分母同次 \(\Rightarrow\) 极限与角度有关。

（红字）分子分母不同次 \(\Rightarrow\) 该极限同次来定。

对 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x+y}\)：沿 \(y=kx^{2}-x<0\)（红字：此为不可取路径），\(\dfrac{x(kx^{2}-x)}{x+kx^{2}-x}=\dfrac{kx^{3}-x^{2}}{kx^{2}}=-\dfrac{1}{k}\)。

注：二重极限不能用特殊路径代入 \((x_0,y_0)\) 来计算，除非已知（猜到）该二重极限存在。例：\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(2,0)}\frac{x^{3}y}{2x-y}=\dfrac{x^{3}(2x-kx^{3})}{2x-2x+kx^{3}}=\dfrac{2x^{4}-kx^{5}}{kx^{3}}=\dfrac{2}{k}\)。

三、累次极限

设极限在 \((x_0,y_0)\)，\(x\to x_0,\ y\to y_0\)。

• ① 固定 \(y\ne y_0\)，\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x,y)\)（首次极限）存在 \(=g(y)\)；
• ② \(\displaystyle\lim_{y\to y_0}g(y)=A\)，先对 \(x\) 后对 \(y\) 的二次极限 \(\displaystyle\lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0}f(x,y)=A\)（同理先 \(y\) 后 \(x\)）。

例：\(f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+y}\)（\(x\to0,\ y\to0\)）。

\(\displaystyle\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}\frac{x-y}{x+y}=\lim_{y\to0}\frac{-y}{y}=-1\)；\(\displaystyle\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}\frac{x-y}{x+y}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=1\)。两个累次极限不相等 \(\Rightarrow\) 二重极限不存在。

（粉框反例）

• \(f(x,y)=\begin{cases}x\sin\frac{1}{y}+y\sin\frac{1}{x},& xy\ne0\\ 0,& xy=0\end{cases}\)：首次极限不存在，但二重极限存在。
• \(f(x,y)=\begin{cases}\frac{x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y},& x+y\ne0\\ 0,& x+y=0\end{cases}\)：两个累次极限存在但不相等 \(\Rightarrow\) 二重极限不存在。

结论：二次（累次）极限与二重极限的存在性没有关系。

• 反例 1：累次极限存在 \(\not\Rightarrow\) 二重极限存在；
• 反例 2：\((x+y)\sin\frac{1}{x}\cdot\sin\frac{1}{y}\) —— 二重极限存在但累次极限不存在。

定理：若二重极限存在，且二次极限的首次极限存在，则相应的二次（累次）极限存在且等于二重极限。

四、二元函数的连续性

\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) \iff f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处连续。

三个条件（少一个不满足即不连续）：① \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 有定义；② \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)\) 存在；③ 二者相等 \(\displaystyle\lim f(x,y)=f(x_0,y_0)\)。

二元初等函数在其定义区域内连续。

例 1：\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^{2}+y^{2})^{x^{2}y^{2}}=1\)，因 \(0

例 2：\(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}\sin(x^{2}+y^{2}),&(x,y)\ne(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)，在 \(\mathbb{R}^2\) 上连续。（其中 \(\left|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|\) 有界，\(\sin(x^2+y^2)\to0\)。）

有界闭域上连续函数的性质（类比一元）：有界性、最值性、零点存在性、介值性。 （可衔接为有界闭集 + 介值需连通性。）

多元函数：闭域 \(\to\) 闭区间（类比）；一元函数：闭区间 \(\to\) 闭区间。

五、偏导数

定义：\(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处对 \(x\) 的偏导数

即 \(\dfrac{d}{dx}\big(f(x,y_0)\big)\big|_{x=x_0}\)（把 \(y\) 固定为 \(y_0\)，对 \(x\) 求一元导数）。

\(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) 与 \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) 都存在 \(\Rightarrow\) 偏导数存在。

（几何示意图：曲面 \(z=f(x,y)\) 上，固定 \(y=y_0\) 的截痕切线斜率即 \(f_x\)。）

例：\(f(x,y)=xy\,e^{x^{2}-y^{2}}\)。

验证 \(f_y(0,1)=x\,e^{x^{2}-y^{2}}+xy\,e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y)\big|_{(0,1)}=0\)；或 \(f_y(0,1)=\dfrac{d\,f(0,y)}{dy}\big|_{y=1}\)。

六、偏导与连续的关系（无蕴含）

偏导与连续之间没有关系。

• 连续 \(\not\Rightarrow\) 偏导存在。例：\(f(x,y)=x+|y|\)。
• 可偏导 \(\not\Rightarrow\) 连续。例：\(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\ne(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}\) 在 \((0,0)\) 不连续，但

七、高阶偏导数

例 1：\(f(x,y)=e^{xy}\cos x\)，此例中 \(f_{xy}=f_{yx}\)。（不一定每次都一样。）

例 2：\(f(x,y)=\begin{cases}xy\,\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\ne(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)，求 \(f_{xy}(0,0),\ f_{yx}(0,0)\)（二者不相等）。

学姐笔记 P7

偏导数的计算（在 \((0,0)\) 处的讨论）

以函数 \(f(x,y)=\dfrac{y(x^2+y^2)}{x^2+y^4}\)（原图函数形式 [?]）为例，分别计算各偏导：

于是混合偏导：

结论

\(f_{xy}\neq f_{yx}\)（两个二阶混合偏导不相等）

• 若 \(f_{xy}\) 与 \(f_{yx}\) 都在点 \((x_0,y_0)\) 连续，则 \(f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)\)（混合偏导相等）。
• 多元函数：偏导数存在 \(\not\Rightarrow\) 函数连续。
• 一元函数：可导 \(\Rightarrow\) 连续。

全微分

一元微分：\(\Delta y=f'(x_0)\,\Delta x+o(\Delta x)\)，\(dy=f'(x_0)\,dx\)。

推广到二元 \(z=f(x,y)\)：

记 \(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\)（图中红色标注此为高阶无穷小的度量 [?]）。

全微分：

其中 \(A,B\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处取值，且 \(A=f_x,\ B=f_y\)。

可微 \(\Rightarrow\) 连续

由定义（如 \(A,B,\varepsilon\) 等记号 [?]）可证：

讨论：可微、可导、连续的关系

• 可微 \(\Rightarrow\) 可导（偏导存在）：\(dz=f_x\,dx+f_y\,dy\)，即 \(A=f_x(x_0,y_0),\ B=f_y(x_0,y_0)\)。
• 可微性的判别（充分条件）：当

时函数可微。

• 偏导数存在 \(\not\Rightarrow\) 可微（例如分片定义的函数 [?]）。
• 偏导数连续 \(\Rightarrow\) 可微。

学姐笔记 P8

沿不同路径求极限（验证偏导/可微）

沿路径 \(y=kx\) 考察（原式 [?]）：

故该方向极限为 \(0\)。

另一结果记为 \(f_x(0,0)\)（图中蓝字标注 [?]）。

偏导数存在与可微（用定义验证）

取增量

由偏导数存在 \(\Rightarrow\) 用拉格朗日中值定理可写出每一括号项 [?]。

同理（对另一变量）：

因此 \(\Delta z=A\,\Delta x+B\,\Delta y+o(\rho)\)，即可微。

例：可导但不可微 / 不连续

(1) 验证某极限沿路径不存在（按下式判断）：

（此处用夹逼，\(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\to 0\) [?]）

(2) 可导性：

同理 \(f_y(0,0)=0\)。

(3) 可微性：考察

故可微，且 \(dz=0\cdot dx+0\cdot dy\)。

例：求偏导（含 \(\sin\frac{1}{\,\cdot\,}\) 型）

当 \((x,y)\to(0,0)\) 时

（沿 \(y=kx\) 不一致 [?]）

学姐笔记 P9

多元复合函数求导（链式法则）

设 \(z=f(u,v)\)，\(u=u(x,y),\ v=v(x,y)\)。（图中右侧画了变量依赖关系的"树状图"：\(z\) 经 \(u,v\) 各自连到 \(x,y\)。）

对 \(x\) 的偏导（外层 \(f\) 对 \(u,v\)，内层 \(u,v\) 对 \(x\)）：

对 \(y\) 的偏导：

例：极坐标 \(z=f(x,y)\)，\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)

(i) 求 \(\dfrac{\partial z}{\partial r}\)、\(\dfrac{\partial z}{\partial \theta}\)，并验证（蓝色框结论 [?]）：

(ii) 方程组关系：

（当 \(x>0,\ y>0\) 时用上式整理求解 [?]）

由 \(z_x=z_r\cdot r_x+z_\theta\cdot\theta_x\)、\(z_y=z_r\cdot r_y+z_\theta\cdot\theta_y\)，其中

整理得

故方程组等价于

抽象复合：\(z=f(x+y,\,xy)\) 型

记外层为 \(f_1,f_2\)（对第 1、第 2 中间变量的偏导）：

注意：内层不同需逐项相乘相加（链式法则）。

学姐笔记 P10

隐函数存在定理

把"由方程确定函数"的几种类型列出：

• 类型 I：\(F(x,y)=0\)，是否确定 \(y=f(x)\)？是否连续？是否可导？求 \(\dfrac{dy}{dx}\)。结论：

• 类型 II：\(F(x_1,x_2,\dots,x_n,y)=0\)，是否确定 \(y=f(x_1,\dots,x_n)\)？是否连续/可导？求各偏导。
• 类型 III：方程组 \(\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{cases}\)，是否确定 \(\begin{cases}u=u(x,y)\\ v=v(x,y)\end{cases}\)？求 \(u_x,u_y,v_x,v_y\)。

一、\(F(x,y)=0\) 的隐函数定理（存在唯一性）

1. \(F(x_0,y_0)=0\)；
2. \(F(x,y)\)、\(F_x\)、\(F_y\) 连续；
3. \(F_y(x_0,y_0)\neq 0\)（关键条件）。

则在 \((x_0,y_0)\) 某邻域内唯一确定连续可导的 \(y=f(x)\)，且

（图右上：曲线 \(F(x,y)=0\) 示意，在使 \(F_y=0\) 处不能确定单值函数。红字提醒：充分不必要。）

例（红框）：\(y^2=x\) 在 \((0,0)\) 处，\(F_y(0,0)=0\)，隐函数不唯一。

推导 \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y}\)

对 \(F(x,y(x))=0\) 两边求导（全导数）：

用全微分写：\(F_x\,dx+F_y\,dy=0\)。

反函数视角

若 \(y=f(x)\)，反过来 \(x=g(y)\)，由

得

例

设 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\)（\(a,b,c>0\)），求偏导：

同理

右侧：隐函数对自变量也是函数

i) \(F(x,y,z)=0\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{\partial z}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\cdot\dfrac{\partial y}{\partial x}=0\)（视情况而用 [?]）。

ii) 全微分形式：

从而 \(dz=-\dfrac{F_x}{F_z}\,dx-\dfrac{F_y}{F_z}\,dy\)，即 \(\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z},\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y}{F_z}\)。

学姐笔记 P11

类型 II：\(z=f(x,y)\) 由 \(F(x,y,z)=0\) 确定

例：\(z=z(x,y)\) 由 \(F(x+y,\,y+z,\,z+x)=0\)（自变量组合形式 [?]）确定，求 \(z_x,z_y,z_{xy}\)。记 \(F_1,F_2,F_3\) 为对三个中间变量的偏导。

对 \(x\) 求偏导：

对 \(y\) 求偏导：

二阶混合偏导 \(z_{xy}\)：对 \(z_x\) 再关于 \(y\) 求导（链式 + 商法则）：

（具体各项 \(F_{11},F_{12},F_{13},F_{21},F_{22},F_{23},\dots\) 展开 [?]，整理可得 \(z_{xy}\)。）

全微分写法（红框）：

类型 III：方程组确定 \(u=u(x,y),\ v=v(x,y)\)

设

定理条件：

1. \(F,G\) 及其偏导连续；
2. 在所考察点处雅可比行列式

则可确定 \(u=u(x,y),\ v=v(x,y)\)，且

（右上红字：此为 Jacobi 行列式法。）

证明思路（proof）

对方程组

两边对 \(x\) 求偏导：

解此线性方程组（用克拉默法则）即得上面 Jacobi 表达式。

例

设 \(\begin{cases}u=f(x,u)\\ g(x,y,z)=0\\ h(x,z)=0\end{cases}\)（具体形式 [?]），且 \(u=u(x),\ z=z(x)\)，则

反函数与 Jacobi 关系（底部）：设 \(\begin{cases}u=u(x,y)\\ v=v(x,y)\end{cases}\) 与其反变换，则两个雅可比行列式互为倒数：

互为反函数时，Jacobi 行列式互倒 \(=1\)。

学姐笔记 P12

预习文件（2025.3.3）：多元复合函数链式法则汇总

顶部链式法则一般式（\(w\) 经 \(u,v\) 等到 \(x,y,\dots\)，图上画了变量依赖树）：

例 1（分段函数的连续/偏导/可微）

设

讨论其在 \((0,0)\) 处的连续性、偏导数、可微性（原式细节 [?]）。

例 2（二重极限）

求

利用 \(\ln(1+t)\sim t\)（\(t\to 0\)）求极限 [?]。

例 3

设 \(f(x,y)=e^{\sqrt{x^2+y^2}}\)，讨论 \(f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 的连续/可导性。结论：连续但偏导不存在（图标注 [?]）。

例 4

设 \(z=z(x,y)\) 满足某 PDE，求

通过变量替换化简（具体替换 \(u=\,?,\ v=\,?\) [?]）。

引入新的变量

令 \(u=w(x,y),\ v=\dfrac{y}{x}\)（或 \(w=\dfrac{x}{y}\) 等，原图标注 [?]），化为 \(w=w(u,v)\) 后求各偏导。

例 5

设 \(f(x,y)\) 在 \((1,1)\) 可微，且

设 \(\varphi(x)=f\big(x,\,f(x,x)\big)\)，求 \(\varphi'(1)\)。（用链式法则逐层求导。）

例 6（二重极限）

求

（已知条件下证明此极限 [?]）。

证明：\(f(x,y)\) 在 \((1,1)\) 可微

并求 \(u_x(2,2)\) 等：设 \(u(x,2x)=x^2\)（原式 [?]），有

计算（链式）：

（二阶项展开 [?]。）

学姐笔记 P13

一阶微分形式不变性

设 \(z=f(u,v)\)，无论 \(u,v\) 是中间变量还是自变量，总有 \(dz = z_u\,du + z_v\,dv\)。

proof：设 \(z=f(u,v)\)，\(u=u(x,y)\)，\(v=v(x,y)\)，

eg. 利用全微分比一阶微分形式不变性求偏导数

方法一： \(z = \arctan\dfrac{x+y}{x-y}\)，则有偏导数即得偏导数。

方法二：

令

从而 [?]

例题

设 \(z = z(x,y)\) 为 \(C^2\) 类函数，满足关系

引入新的变量

（即 \(z_x = w_u x\,w_x + w_v\,v_x = w_u + w_v\,(-\frac{y}{x^2})\)），求 \(w = w(u,v)\) 满足的方程。

设 \(w = w(u,v)\) 满足的方程，

计算得

[?] 此页中段推导手写潦草，多处变量与下标辨认困难，转录可能有误。

学姐笔记 P14

方向导数

VDef 1（方向导数定义）：从方向角度求变化率。

【示意图】平面上从点 \((x_0,y_0)\) 出发沿单位方向 \((\cos\alpha,\sin\alpha)\) 的射线。

增量：

方向导数定义：

记号说明：

说明沿 \(x\)、\(y\)、\(-x\)、\(-y\) 四个方向：

• \((1,0)\;(0,1)\;(-1,0)\;(0,-1)\)
• 对应 \(\dfrac{\partial f}{\partial x},\ \dfrac{\partial f}{\partial y},\ -\dfrac{\partial f}{\partial x},\ -\dfrac{\partial f}{\partial y}\)（方向导数与偏导数的方向关系）

方向导数的计算

Thm. 设 \(z = f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 可微，则其沿 \(\vec{v} = (\cos\alpha,\ \cos\beta)\) 方向的方向导数

三元情形：设 \(u = f(x,y,z)\) 可微，\(\vec{v} = (\cos\alpha,\ \cos\beta,\ \cos\gamma)\)，则

（方向余弦满足 \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)）

eg.

\(f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}\)，\((x,y)\neq(0,0)\)；\(f(0,0)=0\)。求 \(\vec{v} = (\cos\alpha,\ \sin\alpha)\) 方向的方向导数。

• ① 连续：\(0 = \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = ?\)（需验证），\(\therefore\) 连续
• ② 偏导：\(f_x(0,0) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(\Delta x,0) - f(0,0)}{\Delta x} = 0\)；\(f_y(0,0) = 0\)
• ③ \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{|0 - f_x(0,0)\Delta x - f_y(0,0)\Delta y|}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}\)，可微（不可微判断）

方向导数：

[?] 末式指数辨认存疑（疑为 \(\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\)）。

总结：连续、可微性、方向导数与偏导数之间的关系。

学姐笔记 P15

梯度

方向导数 \(z = f(x,y)\)：

当 \(\vec{v}\)（\(l\)）与 \(\nabla f\) 同向时，方向导数取最大值。

同理，梯度定义：

或记 \(\nabla f\big|_P\)、\(\nabla f(P)\)。

【示意图】左：空间曲面 \(z=f(x,y)\) 与其在某点的梯度向量；右：等值线（等高线）图，梯度方向垂直于等值线、指向函数增大最快的方向，箭头指向「极值」中心。

eg.

\(z = x^2 + y^2\)，\(P_0(2,1)\)。求 \(P_0\) 处的梯度，由此求 \(z = x^2 + y^2\) 过该点的等值线的方向，且该方向与该梯度方向有关系：垂直方向。

沿梯度方向：

[?] 此处梯度流（曲线积分）推导潦草，分母与解出过程辨认困难。

由 \(\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{x}\) 积分得 \(\ln y = \ln x + \ln C\)，即 \(\ln y = \ln(2x)\)，故 \(y = 2x\)（满足 \(\ln 1 = \ln 2 \cdot 1\) [?]）。

偏导数在几何上的应用

1. 空间曲线的切线与法平面

① 参数方程

切向量 \(\vec{T} = (x'(t),\ y'(t),\ z'(t))\)。

② 两曲面交线

切向量由两法向量叉乘得到：

2. 空间曲面的切平面与法线

① 隐式 \(F(x,y,z) = 0\)：法向量 \(\vec{n} = (F_x,F_y,F_z)\)。

切平面：\(F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + F_y(\cdots)(y-y_0) + F_z(\cdots)(z-z_0) = 0\)

法线：\(\dfrac{x-x_0}{F_x} = \dfrac{y-y_0}{F_y} = \dfrac{z-z_0}{F_z}\)

② 显式 \(z = f(x,y)\)：令 \(F = z - f(x,y)\)，则 \(\vec{n} = (-f_x,\ -f_y,\ 1)\)。

[?] 本页右下角公式较密，部分下标辨认存疑。

学姐笔记 P16

法线：

[?] 法线方程末项辨认存疑。

③ 参数方程（曲面）

曲面 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 处切平面、法线：\(z = z(u(x,y),\ v(x,y))\)。

法向量由雅可比行列式给出：

即 \(\vec{r}_u \times \vec{r}_v\)，\([\vec{r}_u,\ \vec{r}_v]\neq 0\)。

【示意图】左：\(uv\) 平面上的参数区域（含 \(u=u_0\)、\(v=v_0\) 两族曲线）；右：经映射 \(f\) 后在 \(xyz\) 空间中的曲面，点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 处沿 \(u=u_0\)、\(v=v_0\) 的两条参数曲线及其切向量张成切平面。

eg.

已知 \(F\big(\dfrac{x}{z},\ \dfrac{y}{z}\big) = 0\)，求所有切平面有公共顶点。

计算偏导：

[?] 三个偏导的下标 \(F_1,F_2,F_3\) 与系数辨认存疑。

\(\forall P(x_0,y_0,z_0)\)，过 \(P\) 点的切平面方程：

化简代入 \((0,0,0)\) 得：

恒过原点，得证。[?] 化简过程项较多，辨认存疑。

eg.

\(x = \cos\theta\)，\(y = \sin\theta\)，\(z = \theta\)，\(\theta\in(0,2\pi)\)。在曲线上求 \(x + y + z = 0\) 的切线方程（切点 \((1,1,1)\)）。

平面法向 \(\vec{n} = (1,1,1)\)，由 \(x+y+z=0\) 得；在切点 \((1,1,1)\)：

解得 \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\)（或相应值）。[?]

学姐笔记 P17

Taylor 公式与极值问题

一元 Taylor 公式（带 Peano 余项，\(x\in(a,b)\)）：

带 Lagrange 余项形式（\(\xi\) 介于 \(x_0,x\) 之间）：

二元情形（在 \((x_0,y_0)\) 处展开）。引入算子记号：

其中

对应到 \(C^2\)（二阶可微）。

三元情形的中值定理

\((x_0+\theta h,\ y_0+\theta k)\)，\(\theta\in(0,1)\)，则 \(\exists\,\theta\in(0,1)\)：

eg.

提示：\(e^{xy} = e^0 + xy + \dfrac{1}{2}(xy)^2 + \cdots\)（即 \(1 + xy + o(x^2+y^2)\)）。

多元函数极值问题

极值点、最值点的关系（可微情形）：设 \(P_0\) 为极值点，则 \(\nabla f = 0\)。

proof：\(f(x,y)\) 在 \(P_0\) 取极值。

得 \(f_x(P_0) = f_y(P_0) = 0\)，即驻点。

Hesse 矩阵判别极值（二阶充分条件）

记驻点处一阶导数全为零，二阶矩阵

• ① \(H>0\) 且 \(A>0\)（\(f_{xx}>0\)）：极小值
• ② \(H>0\) 且 \(A<0\)：极大值
• ③ \(H<0\)：非极值（鞍点）
• ④ \(H=0\)：不能判别（须另行讨论）

proof：由 Taylor 展开

其中 \(A = f_{xx}(P_0),\ B = f_{xy}(P_0),\ C = f_{yy}(P_0)\)。配方后符号由 \(\Delta = B^2 - AC\)（即 \(\Delta = (f_{xy})^2 - f_{xx}f_{yy}\)）决定。[?] 配方细节辨认存疑。

学姐笔记 P18

Hesse 判别表（接上页）

• \(H>0,\ A>0\)：极小（正定）
• \(H>0,\ A<0\)：极大（负定）
• \(H<0\)：非极值（鞍点）
• \(f_{xx}\cdots = 0\)：不能用此法判别，须另判（\(f_{ij}\)）

本质：\(A\,\Delta x^2 + 2B\,\Delta x\Delta y + C\,\Delta y^2\) 是否保号 \(\iff\) 二次型 \(f_{xx}\,\Delta x^2 + 2f_{xy}\,\Delta x\Delta y + f_{yy}\,\Delta y^2\) 的正负定性。

eg.

\(f(x,y) = 2x^3 + 2y^3 - 3x^2 - 3y^2 + 6\) [?] 系数辨认存疑

求驻点：

二阶偏导：

在各驻点判别：

对 \((0,0)\)（须另行讨论）：

[?] 此处对鞍点 \((0,0)\) 的讨论分母与极限辨认困难。

分方向讨论：

• 取 \(y=x\)：\(\Delta f = x^3 + \cdots > 0\)
• 取 \(y=-x\)：\(\Delta f = -x^3 + \cdots\)

\(\Rightarrow\) 两方向同号则为极值，异号则非极值（鞍点）。

最值问题（条件最值/有界闭区域上）

求最大、最小值步骤：

• ① 边界取极值（边界上的最值）
• ② 比较内部各驻点与边界最值，取最大、最小。

【示意图】曲面上多个峰谷，标注「极大值点」「极小值点」「驻点」，说明全局最值在内部驻点与边界之间比较取得。

eg.

\(f(x,y) = x^2 + y^2\)，在区域 \(x^2 + y^2 \le 1\) 上的最值。

① 内部驻点：

[?] 此例 \(f\) 表达式与求导系数前后不一致，辨认存疑。

② 边界（\(x^2+y^2 = 1\)，用 Lagrange 或代入）：

代入 \(f\) 后求一元极值，得边界上的最值点。

候选点：\((0,0),\ (0,\pm1),\ \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt3}{2}\big),\ (\pm1,0)\)；比较函数值取全局最大、最小。[?] 候选点坐标辨认存疑。

学姐笔记 P19 — 条件极值与拉格朗日乘数法

条件极值

例：求函数 \(u=(x_1)^2+(x_2)^2+\cdots+(x_n)^2\) 在以下约束下的极值（即求约束曲面到原点的最短/最远距离）：

$$\begin{cases} a_1^2=(x_1)^2 \cdot y^2 + (z_1)^2 \\ z_2=(x_2)^2 \cdot y^2 \cdot z \end{cases}$$ [?]

解法：求 \(f=f(x_1,\dots,x_n)\) 在条件 $$\begin{cases} \varphi_1(x_1,\dots,x_n)=0 \\ \quad\vdots \\ \varphi_m(x_1,\dots,x_n)=0 \end{cases}\quad (m

• 方法一：将条件中 \(m\) 个变量用其余表示，代回 \(f\) → 求多元无条件极值。(未必能解出)
• 方法二：拉格朗日乘数法。

例：求 \(z=f(x,y)\) 在 \(\varphi(x,y)=0\) 条件下的极值。

$$\frac{\varphi_x(x_0,y_0)}{\varphi_y}=0 \;\Rightarrow\; \varphi_y\neq 0$$

设 \(z=f(x,y(x))\) 的极值点：

$$\frac{dz}{dx}=f_x+f_y\frac{dy}{dx}=f_x-f_y\frac{\varphi_x}{\varphi_y}=0$$

$$\Rightarrow\; \frac{f_x}{\varphi_x}=\frac{f_y}{\varphi_y}=-\lambda \;\Rightarrow\; \begin{cases} f_x+\lambda\varphi_x=0 \\ f_y+\lambda\varphi_y=0 \end{cases}$$ （极值可疑点）

引入 \(L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)\)（拉格朗日函数），求驻点：

$$\begin{cases} L_x=0 \\ L_y=0 \\ L_\lambda=0 \end{cases} \qquad \color{#c00}{(\varphi_y\neq 0)}$$

\(n\) 个变量、\(m\) 个约束的一般情形：

$$L=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\cdots+\lambda_m\varphi_m$$ $$\begin{cases} L_{x_1}=0 \\ \quad\vdots \\ L_{x_n}=0 \\ \varphi_j=0,\; j=1\dots m \end{cases}$$

例题

在球面 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\;(a,b,c>0)\) 内，求体积最大的长方体（各棱平行于坐标轴）。即求 \((8xyz)_{\max}\)。

$$\Leftrightarrow (8xyz)_{\max}$$

$$\begin{cases} f(x,y,z)=8xyz \\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1 \end{cases}$$

$$L=8xyz+\lambda\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)=0$$

取对数法：\(f(x,y,z)=\ln 8+\ln x+\ln y+\ln z\)，则 $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial xz}{\partial x},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial yz}{\partial y}$$ 不易求 ⇒ 取对数后求

$$\Rightarrow\quad \frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$$ [?]

学姐笔记 P20 — 条件极值的判别（充分条件）

条件极值的充分条件

设 \(u=f(x,y,z)\)，条件 $$\begin{cases} \varphi(x,y,z)=0 \\ \psi(x,y,z)=0 \end{cases}$$

$$L=f+\lambda\varphi+\mu\psi$$

$$\Rightarrow\; (x_0,y_0,z_0)\text{ 为极值可疑点}$$ Q：怎样判断到底是不是极值点？

设 \(f,\psi,\varphi\in C^2\)。

$$\Delta f = f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)=\Delta L = L(x,y,z)-L(x_0,y_0,z_0)$$

（泰勒展开） $$=L_x(P_0)\Delta x+L_y(P_0)\Delta y+L_z(P_0)\Delta z+\frac{1}{2}(\cdots)$$ [?]

构造黑塞（Hessian）矩阵并判断其正定性：

$$H=\begin{vmatrix} L_{xx} & L_{xy} & L_{xz} \\ L_{yx} & L_{yy} & L_{yz} \\ L_{zx} & L_{zy} & L_{zz} \end{vmatrix}$$

• \(H\) 正定 \(\Rightarrow\) 极小（值）
• \(H\) 负定 \(\Rightarrow\) 极大（值）
• \(H\) 不定 \(\Rightarrow\) 不是（极值）

例题

\(f(x,y)=x^2+y^2\)，在 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\) 上求极值。

方法一：\(y=b\left(1-\dfrac{x}{a}\right)\) → 代入。

方法二：\(L=x^2+y^2+\lambda\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}-1\right)=0\)

$$\frac{a}{2x}=\frac{1}{2y}\frac{1}{b}\quad\Rightarrow\quad (x_0,y_0)=(\cdots)$$ [?]

$$H=\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=4>0$$（正定 ⇒ 极小）

学姐笔记 P21 — 3.17 预习文件（综合练习）

Preview File（Chunli Chen）· 2025.3.17 预习文件。本页四周布满红蓝小字批注/求导草稿，主体为编号练习题。

例1. 设 \(z=e^u\cos v,\;y=e^u\sin v\)，根据所给变换，把 \(u,v\) 作为新自变量变换方程 $$\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}+x^2+m^2=0.$$ [?]

例2. 设二元函数 \(u(x,y)\) 具有二阶偏导数，\(u(x,y)\neq 0\)。证明 \(u(x,y)=f(x)\cdot g(y)\) 的充要条件是 $$u\,u_{xy}=u_x\,u_y.$$

例3. 写下列坐标变换的 Jacobi 行列式（重要常用）：

• (1) 极坐标变换：\(x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\)
• (2) 柱坐标变换：\(z=z,\;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\)
• (3) 球坐标变换：\(x=r\sin\varphi\cos\theta,\;y=r\sin\varphi\sin\theta,\;z=r\cos\varphi\)

例4. 设 \(z=z(x,y)\) 是由方程 \(x=\dfrac{z}{y}\)（[?]）所确定，求 \(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y}\)。

例5. 设 \(z=z(x,y)\) 是由 \(x=e^{u+v},\;y=e^{u-v},\;z=uv\) 确定的二元函数，求 \(\dfrac{\partial z}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y}\)。

例6. 设 \(z=z(x,y)\) 是由方程 \(F\!\left(x+\dfrac{z}{y},\,y+\dfrac{z}{x}\right)=0\) 所确定的隐函数，\(F\) 有具一阶连续偏导数，证明 $$x\,\frac{\partial z}{\partial x}+y\,\frac{\partial z}{\partial y}=z-xy.$$ [?]

例7. 求函数 \(f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{?}{\,?\,} & xy\neq 0 \\[4pt] 0 & xy=0 \end{cases}\) 的偏导数。 [?]

例8. 设 \(a,b\in\mathbb{R}\)，函数 \(z=2+ax^2+by^2\) 在点 \(A(0,0)\) 处沿方向 \((3,4)\) 的方向导数等于 5，求 \(a,b\)。 （1）求 \(z=2+ax^2-by^2\)；（2）求函数 \(z=2+ax^2+by^2\) [?]

例10. 过直线 $$\begin{cases} 10x+2y+2z=27 \\ x+y-z=0 \end{cases}$$ 作曲面 \(3x^2+y^2+z^2=27\) 的切平面，求其切平面方程。 （题号 9、配字残缺）[?]

例11. 设 \(z=z(x,y)\) 是由 \(x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0\) 确定的隐函数。求 \(z=z(x,y)\) 的极值点和极值。 [?]

学姐笔记 P22 — Preview File（续，例13–16）

Preview File（Chunli Chen）· 本页同样布满边角批注与求导草稿。

例13. 研究函数 \(f(x,y)=2x^4-3x^2y+y^2\) 的极值问题。 [?]

例14. 设 \(f(x,y)\) 有二阶连续偏导数，\(g(x,y)=f(e^{xy},x^2+y^2)\)，且 $$f(1,0)=2 \;\Leftarrow\; f(x,y)=1-x-y+o\!\left(\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right).$$ 证明：\(g(x,y)\) 在 \((0,0)\) 取得极大值。 [?]

例15. 已知函数 \(f(x,y)\) 满足 \(f(x,y)=y+2+\displaystyle\int_{?}^{?} f(\,\cdots\,)\,dy\)（[?]），\(g(x,y)\) 满足 \(\dfrac{\partial g}{\partial x}=1,\;\dfrac{\partial g}{\partial y}=-1,\;g(0,0)=0\)，求 $$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{f\!\left(\frac{1}{n},n\right)}{g(n,1)}\right]^n.$$

例16. 设 \(f\) 可微函数 \(f(x,y)\) 满足 \(\dfrac{\partial f}{\partial x}=f(x,y),\;f\!\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)=1\)，求 $$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{f\!\left(0,\,y+\frac{1}{n}\right)}{f(0,y)}\right]^n = e^{\cos y}.$$ 求函数 \(f(x,y)\)。

本页旁演算（极限化指数）： $$\lim_{n\to\infty} n\ln\frac{g(y+\frac1n)}{g(y)}=\cot y, \qquad \left[\frac{g(y+\frac1n)}{g(y)}\right]^n = e^{\cos y}.$$ [?]（草稿较密，部分中间步骤不清）

学姐笔记 P23 — 微分学（思维导图 / 知识框架）

本页为一张以「微分学」为中心、向四周辐射的思维导图。下面按分支文字化整理（图形为放射状连线，不重画）。

中心：微分学

统领：一元函数微分 / 多元函数微分；微分对应一元，偏导对应多元。

左上：导数 / 微分（一元）

• 导数：\(f'(x_0)=\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
• 微分：\(dy=f'(x)\,dx\)（一元）
• 偏导：\(\dfrac{\partial z}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y}\)；全微分 \(df=\dfrac{\partial z}{\partial x}dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}dy\)（多元，注意可微定义）

左中（蓝色，关系链）：

• 可导 ⇄ 连续（一元）
• 可微 ⇔ 可导（一元）
• 可微 ⇒ 可导（多元）、可微 ⇒ 连续
• 偏导连续 ⇒ 可微（多元）

右上：微分应用

• 近似计算：\(f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+df\,(\text{微分})\)
• 切线（按图法切线）— 一阶导
• 多元应用：一元——单调性、凹凸性（二阶导判定）；多元——Hessian 判极值、条件极值（Lagrange 乘数法）

右下：微分中值（中值定理）

• 一元：Rolle、Lagrange（含柯西中值）
• 多元：隐函数定理、反函数定理

左下：应用 / 几何意义

• 极值——驻点、Hessian、条件极值
• 几何应用——切线、法线方程；空间曲面 \(F(x,y,z)=0\) 的切平面与法向量 \(\vec n=(F_x,F_y,F_z)\)（一元/多元）
• 方向导数与梯度（多元）

[?]（导图分支文字密集、部分小字模糊，以上为按位置归并的转述）

学姐笔记 P24 — 二重积分（定义与性质）

二重积分的引入

曲顶柱体：顶面 \(z=f(x,y)\)，底为区域 \(D\)。把 \(D\) 分割成小块 \(\Delta\sigma_{ij}\)，在每块上取点 \((\xi_i,\eta_j)\)，作和 $$\sum_{i,j} f(\xi_i,\eta_j)\,\Delta\sigma_{ij},\qquad d\to 0,\;\Delta\sigma_{ij}\to 0.$$ （示意图：曲顶柱体被竖直细柱条剖分。）

定义

设 \(D\subset\mathbb{R}^2\) 有界，\(f\) 在 \(D\) 上有界，将 \(D\) 任意分割为 \(n\) 个小区域 \(\Delta\sigma_{ij}\)，作积分和。若 $$\lim_{d\to 0}\sum_{i,j} f(\xi_i,\eta_j)\,\Delta\sigma_{ij}$$ 存在（与分法、取点无关），则称 \(f\in R(D)\)（可积），记 $$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \iint_D f(x,y)\,dx\,dy.$$

二重积分可积的条件

\(D\) 有界闭：

• ① \(f\in C(D)\)（连续）\(\Rightarrow f\in R(D)\)
• ② \(f\) 有界，不连续点集为有限条光滑曲线 \(\Rightarrow f\in R(D)\)

（示意图：网格化区域，标注 \(d\sigma=dx\,dy\)。）

二重积分的性质

\(f(x,y)\) 在 \(D\) 上有界：

• 估值性质：设 \(D\) 面积 \(=\sigma\)，\(m\le f(x,y)\le M\)，则 $$m\le \frac{1}{\sigma}\iint_D f(x,y)\,d\sigma \le M$$ 即 \(m\sigma\le \displaystyle\iint_D f\,d\sigma \le M\sigma\)（积分中值意义）。
• 线性性、积分对区域的可加性。
• 保序性：若 \(f(x,y)\le g(x,y)\) 在 \(D\) 上，则 \(\displaystyle\iint_D f\,d\sigma \le \iint_D g\,d\sigma\)；又 \(\exists (\xi,\eta)\in D\) 使 $$\iint_D f\,d\sigma = f(\xi,\eta)\cdot g(\xi,\eta)\cdot\sigma$$ [?]（中值定理写法不清）
• 区域/不等问题

二重积分的计算 —— 化为累次（二次）积分

体积法： $$V=\int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b\!\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx.$$

即 $$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy.$$

（示意图：曲顶柱体用平行于 \(yOz\) 平面的截面 \(A(x)\) 切片，截面随 \(x\) 滑动积分。）

学姐笔记 P25

二重积分的累次积分 / 换序（Fubini）

一般地，先 \(x\) 后 \(y\) 与先 \(y\) 后 \(x\) 不能随意交换次序：

结论：

• ① 若 \(D = [a,b]\times[c,d]\) 为矩形域；
• ② \(\displaystyle \iint f(u)\,g(v)\,du\,dv = \int_{a}^{b} f(u)\,du \cdot \int_{c}^{d} g(v)\,dv\)（变量分离时积分可拆为乘积）。

一般区域上：先积 \(y\) 与先积 \(x\) 需根据区域类型（\(X\)-型 / \(Y\)-型）选择，画图确定上下限。[?]

例 1

\(\displaystyle \iint_{D} \frac{x}{y}\,d\sigma\)，\(D:\ x\ge 0,\ y\ge x,\ x\,y=1\)。[?]

（手写计算过程，化简后得 \(=\tfrac{3}{2}-2\ln 2\)）[?]

例 2

球面 \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\) 与柱面 \(x^{2}+y^{2}=ax\) 相交（开普勒 / 维维亚尼体）所围立体体积：

（示意图：球面与内切柱面，第一卦限阴影区域，红线为 \(z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}\) 曲面。）

例 3

\(D:\ x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 1\) 上 \(\displaystyle \iint_{D}(x+y)\,dx\,dy\)，分块计算得 \(\tfrac{1}{3}\)。[?]

更换积分次序

例：\(\displaystyle \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2x} f(x,y)\,dy = \int_{0}^{1} dy \int_{y/2}^{y} f(x,y)\,dx + \int_{1}^{2} dy \int_{y/2}^{1} f(x,y)\,dx\)（按区域分两块换序）。[?]

（右侧示意图：抛物线 \(x=y^{2}\) 与 \(y=x\) 围成的区域，标点 \((1,1)\)、\((1,-1)\)。）

学姐笔记 P26

例（更换次序）

\(\displaystyle \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,dy = \int_{0}^{1} dy \int_{y^{2}}^{1} f(x,y)\,dx\)（化为先 \(x\) 后 \(y\)）。

（示意图：抛物线 \(y=\sqrt{x}\)，过点 \((1,1)\)，阴影为积分区域。）

例（先积内层换序求解）

设 \(f(u)\) 为某函数，星号项含 \(x^{3}f(u)\,du\)：

交换次序后内层先对 \(x\) 积：

（手写：利用 \(e^{-x^{2}}\) 无初等原函数，必须换序方可算出；右侧图为 \(y=x\) 与 \(x=1\) 围三角域，点 \((1,1)\)。）[?]

对称性（奇偶 / 轮换）

当被积函数关于某变量为奇函数且区域对称时积分为 0。

例：\(\displaystyle \iint_{D} x\,y\,dx\,dy = 0\)，\(D:\ x^{2}+y^{2}\le a^{2}\)（关于 \(x\) 或 \(y\) 对称）。

例

\(\displaystyle \iint_{D}\big(\sqrt{a^{2}x}\,\big)\,dx\,dy\)，\(D:\ y=x,\ x=1,\ y=2\)。[?]

（左右两张图：直线 \(y=x\)、抛物线，区域 \(D_{1}\)、\(D_{2}\) 分块。\(D_{1}\cup D_{2}=0\)、\(D_{1}\cap D_{2}=0\)。）[?]

（7）\(D:\ y=\sin x,\ x=\tfrac{\pi}{2},\ y=1\)，点 \((1,?)\)。[?]

例

\(\displaystyle \iint_{D}\big(x^{3}y^{2}+\sqrt[3]{y+x}\big)\,dx\,dy\)，\(D:\ x\le 1,\ 0\le y\le 2\)。

（其中 \(x^{3}y^{2}\) 项关于对称区域积为 0，奇偶性约去）：

（右图：含 \(y^{2}=2x\)、\(y=x-b\) 等曲线的阴影区域，标 \(x=b\)。）[?]

二重积分的变量替换（一般）

设 \(\begin{cases} u=u(x,y)\\ v=v(x,y)\end{cases}\)，\(D'\) 为 \(\begin{cases} p\le u\le q\\ a\le v\le b\end{cases}\)，则

（\(k\) 为雅可比因子，见下页。）[?]

学姐笔记 P27

二重积分换元法（雅可比行列式）

设变换 \(\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{cases}\)，雅可比 \(\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\neq 0\)，则 \(D\leftrightarrow D'\) 一一对应，且

例（计算雅可比）

区域由 \(y=\dfrac{x^{2}}{a},\ y=\dfrac{x^{2}}{b}\)（\(b>a>0\)）等曲线围成。令

例（旋转/平移型换元）

\(\displaystyle \iint_{D}\ln\frac{x+y}{x-y}\,dx\,dy\)，\(D:\ x=1,\ y=0,\ x+y=2\)。令

（左下、右下示意图：\(uv\)-平面与 \(xy\)-平面的对应区域，菱形 / 三角形。）[?]

极坐标变换

对于 \(D:\ r=r_{1}(\theta)\) 到 \(r=r_{2}(\theta)\)，\(\theta\) 从 \(\theta_{1}\) 到 \(\theta_{2}\)：

（示意图：扇形区域，内外边界曲线 \(r=r_{1}(\theta)\)、\(r=r_{2}(\theta)\)，张角 \(\theta_{1}\)、\(\theta_{2}\)。）

学姐笔记 P28（2023.3.30 第三次预习文件）

本页为打印的预习题（例 1–例 15），手写为旁批与提示。下方忠实录入题目，手写批注以 [批] 标注。

例 1

已知函数 \(z=f(x,y)\) 的全微分 \(dz=2x\,dx-2y\,dy\)，\(f_{x}(1,1)=2\)，求 \(f(x,y)\) 在 \(D=\{(x,y):x^{2}+\tfrac{y^{2}}{4}\le 1\}\) 上的最值。[?]

[批] \(z=x^{2}-y^{2}+2\)；用拉格朗日 / 边界参数化求极值。

例 2

设 \(z=x^{2}+y^{2}-2x-2y\) 在区域 \(D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 2x+2y\}\) [?] 上求最大、最小值。

[批] 化 \(x^{2}+y^{2}-2x-2y=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-2\)，圆心 \((1,1)\)。

例 3

设级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a_{i}+b)^{2}}{n^{?}}\) 的敛散性。[?]

例 4

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{(ai+bj)^{2}}{n^{?}}\)（化为二重积分的黎曼和）。[?]

例 5

\(\displaystyle \int_{0}^{?} dx \int_{x}^{?}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\,dy\)（换序）。[?]

例 6

\(\displaystyle \iint_{D}\big(2x^{2}+3y+2\big)\,dx\,dy\)，\(D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 1,\ y\ge 0\}\)。

例 7

\(\displaystyle \iint_{D}(x^{2}+y^{2}-1)\,dx\,dy\)，\(D=\{(x,y):0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\}\)。

例 8

\(\displaystyle \widetilde{D}=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le r\}\)，求极限 \(\displaystyle \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^{2}}\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}}\cos(x+y)\,dx\,dy\)。[?]

例 9

设 \(f(x,y)\) 在 \([0,1]\times[0,1]\) 连续，且 \(\displaystyle xy\Big(\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy\Big)^{?}=f(x,y)-1\)，求 \(f(x,y)\)。[?]

例 13

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续且恒正，证明 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx \int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}\,dx \ge (b-a)^{2}\)。

例 14

设 \(f(x)\in C[0,1]\)，证明 \(\displaystyle \int_{0}^{1} dy \int_{y}^{1} f(\sin x)\,dx = \int_{0}^{1} x\,f(\sin x)\,dx\)。[?]

例 15

\(D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 1\}\)，证明 \(\displaystyle 2\pi(\sqrt{17}-4)\le \iint_{D}\frac{dx\,dy}{\sqrt{16+\sin^{2}x+\cos^{2}y}} \le \frac{\pi}{4}\)。[?]

学姐笔记 P29（例 4–例 7 / 例 10 解答）

例 4（黎曼和化二重积分）

逐层展开后（手写多步化简）：

（手写最终结果，含 \(a^{4}b+\cdots\) 展开项。）[?]

例 5

\(\displaystyle \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{xy}{\sqrt{1+y^{4}}}\,dy\)（换序，先 \(x\) 后 \(y\)）：

（图：抛物线 \(y^{2}=x\) 与 \(y=\sqrt{x}\) 围成阴影区域。）[?]

例 6

\(\displaystyle \iint_{D}\big(2x^{2}+3y+2\big)\,dx\,dy\)（用奇偶对称化简）：

转极坐标：

（手写：奇函数项 \(3y\) 在对称半圆域积为 0，约去。）[?]

例 7

\(\displaystyle \iint_{D}(x^{2}+y^{2}-1)\,dx\,dy\)，在单位圆上：

• \(x^{2}+y^{2}\le 1 \Leftrightarrow r\le 1\)，令 \(\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\end{cases}\)
• \(x^{2}+y^{2}=1 \Leftrightarrow r=1\)；\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r\)

（化为极坐标后分段积分，结果含 \(-\tfrac{\pi}{4}\)。）[?]

例 9 / 例 10

例 9 计算：

例 10（图：曲线 \(y=\sqrt{1-x}\)，区域积分）：

（手写：对称性 + 极坐标混合，最终 \(I=\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{8}=\cdots\)。）[?]

学姐笔记 P30（例 11–例 13 解答）

例 11

设 \(D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le r\}\)，求极限

解（转极坐标，利用 \(x\to 0\) 时 \(e^{x}\sim x+1\)）：

（手写：泰勒展开 \(e^{x^{2}-y^{2}}\approx 1\)、\(\cos\approx 1\)，故极限 \(=1\)。）[?]

例 12

若 \(f(x,y)\) 在 \([0,1]\times[0,1]\) 上连续，且 \(\displaystyle xy\Big(\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy\Big)^{2}=f(x,y)-1\)，求 \(f(x,y)\)。

解：设 \(\displaystyle A=\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy\)，则 \(f(x,y)=A^{2}xy+1\)。

故 \(f(x,y)=4xy+1\)，即 \(f(x,y)=A^{2}xy+1\) 代回得 \(f(x,y)=4xy+1\)。[?]

例 13

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续且恒正，证明 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx \int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}\,dx \ge (b-a)^{2}\)。

证（① 柯西不等式法；② 二重积分对称法）：

两式相加并用均值不等式 \(\dfrac{f(x)}{f(y)}+\dfrac{f(y)}{f(x)}\ge 2\)：

得证。[?]

学姐笔记 P31

三重积分（物理意义：空间立体质量）

设密度 \(\rho=f(x,y,z)\)，则质量元 \(dM=f(x,y,z)\,dV\)，总质量

$$M=\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV=\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$$

先单后重（先一后二 / 投影法）

先对 \(z\) 积分，再在投影区域 \(D_{xy}\) 上做二重积分：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint_{D_{xy}}\left[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right]dx\,dy$$

即 \(\displaystyle \iint_{D_{xy}} dx\,dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\)。注意（柱体）：当被积函数 \(f\equiv 1\) 时，三重积分 \(=\) 立体体积 \(V\)。

例 1

求 \(x^2+y^2\le a^2\)，\(x=0,\ x=1,\ y=0,\ y=2,\ z=4\) 围成的立体的体积。

立体在 \(z\) 方向：\(\dfrac{a^2}{4}\le z\le x^2+y^2\)（顶面 \(z=x^2+y^2\)，[?]）

$$V=\iint_{D_{xy}} dx\,dy\int_{\frac{a^2}{4}}^{x^2+y^2} dz=\int_0^1 dx\int_0^2 dy\int_{\frac{a^2}{4}}^{x^2+y^2} dz$$

例 2

由 \(y=x^2,\ z=0\) 与 \(y+z-8=0\) 所围立体的体积。

消去 \(z\)：\(z=8-2y\)（由 \(y+z-8=0\)，[?]），投影曲线 \(\begin{cases} y=x^2\\ y=8-2y \end{cases}\)，即 \(x^2+(2x)^2=8\) [?]。

$$V=\iint_{D_{xy}} dx\,dy\int_{x^2}^{8-2y} dz$$

例 3

求 \(\displaystyle\iiint\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)dx\,dy\,dz\)，立体为 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\le 1\)，\(x,y,z\ge 0\)（第一卦限内的四面体）。投影法：

$$\iiint \frac{x}{a}\,dx\,dy\,dz$$

积分区域 \(D_{xy}\)：\(\begin{cases} 0\le x\le a\\ 0\le y\le b\left(1-\dfrac{x}{a}\right) \end{cases}\)

$$=\int_0^a dx\int_0^{\,b(1-\frac{x}{a})}\frac{x}{a}\Big(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\Big)\,dy=\cdots=\frac{abc}{24}$$

由对称性 \(\displaystyle\iiint \frac{x}{a}=\iiint \frac{y}{b}=\iiint \frac{z}{c}=\frac{abc}{24}\)。

学姐笔记 P32

截面法（先二后一）

对每个固定的 \(z\)，截面区域 \(D(z)\) 上做二重积分，再对 \(z\) 积分：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\int_a^b dz\iint_{D(z)} f(x,y,z)\,dx\,dy$$

例 1（用截面法 / 先二后一）

\(I=\displaystyle\iiint_\Omega z^2\,dx\,dy\,dz\)，\(\Omega:\ z=\sqrt{x^2+y^2}\)，\(z=h\)（\(h>0\)）所围圆锥。

固定 \(z\)，截面为圆 \(x^2+y^2\le z^2\)，面积 \(\pi z^2\)：

$$I=\int_0^h dz\iint_{D(z)} z^2\,dx\,dy=\int_0^h z^2\cdot\pi z^2\,dz=\int_0^h \pi z^4\,dz=\frac{\pi}{5}h^5$$

更一般地 \(\displaystyle I=\int_0^h dz\iint_{D(z)} f(x,y,z)\,dx\,dy\)，相当于：截面 \(D(z)\) 上密度按 \(z\) 给定。

例 2（先二后一）

\(I=\displaystyle\iiint_\Omega z^2\,dx\,dy\,dz\)，\(\Omega:\ x^2+y^2+z^2\le R^2\)（球），\(x^2+y^2+(z-a)^2\le a^2\) 同样为球。两球公共部分。

固定 \(z\) 时截面半径由两条曲面给出：上半 \(x^2+y^2\le 2az-z^2\)（小球），下半 \(x^2+y^2\le R^2-z^2\)（大球）。

$$I=\int_0^a dz\iint z^2\,dx\,dy+\int_a^R dz\iint z^2\,dx\,dy$$

$$=\int_0^a z^2\cdot\pi(2az-z^2)\,dz+\int_a^R z^2\cdot\pi(R^2-z^2)\,dz$$

对称性应用

若区域 \(\Omega\) 关于某坐标面对称：

$$\iiint_\Omega f\,dv=\iiint_{\Omega_1} f\,dv+\iiint_{\Omega_2} f\,dv=\begin{cases} 2\iiint_{\Omega_1} f\,dv,& f\text{ 关于该变量为偶}\\[4pt] 0,& f\text{ 关于该变量为奇}\end{cases}$$

例

\(V_1=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le R^2\}\)，\(V_2=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le R^2,\ x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\}\)（第一卦限）。

$$\iiint_{V_1} x\,dv=8\iiint_{V_2} x\,dv,\qquad \iiint_{V_1} x\,dv=0$$

（\(x\) 为奇函数，整球积分为 0。）

例：\(\displaystyle\iiint z\sqrt{x^2+y^2}\,dv\)，\(\Omega:\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\le 1\)

奇函数 \(\Rightarrow\) 积分为 0。

例

$$\iiint_V \sqrt{x^2+y^2+z^2}\,dv \;[?]$$

$$\iiint_\Omega z^2\,dv=2\int_0^c z^2\iint_{D(z)} dx\,dy\,dz=2\int_0^c \pi ab\Big(1-\frac{z^2}{c^2}\Big)z^2\,dz=\frac{4}{15}\pi abc^3$$

类比 \(\displaystyle\iiint x^2\,dv=\frac{4}{15}\pi a^3bc\)，\(\displaystyle\iiint y^2\,dv=\frac{4}{15}\pi ab^3c\)。

学姐笔记 P33

三重积分的换元法

设变换 \(\begin{cases} x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w)\end{cases}\)，则

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint_{\Omega'} f\big(x(u,v,w),\,y(u,v,w),\,z(u,v,w)\big)\,\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\,du\,dv\,dw$$

① 柱坐标变换（特例：极坐标加 z 轴）

$$\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=z\end{cases}\qquad |J|=r$$

\(xy\) 平面用极坐标，\(z\) 不变。适用：被积函数含 \(x^2+y^2\)，或区域为柱面/锥面/旋转面。

例

求 \(V\) 的体积，\(\Omega:\ x^2+y^2\le a^2\)，\(x^2+y^2\le ax\)，\(z=0\)。

$$\iint_{D_{xy}} dx\,dy\ \to\ \int d\theta\int r\,dr$$

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta\int_0^{a\cos\theta} dr\int_0^{?} r\,dz \quad[?]$$

例

\(I=\displaystyle\iiint_\Omega (x^2+y^2)\,dx\,dy\,dz\)，\(\Omega:\ \begin{cases} z\ge x^2+y^2\\ z=2\end{cases}\) (\(z=2\) 上界，抛物面 \(z=x^2+y^2\))。

柱坐标，\(z:\ x^2+y^2\le z\le 2\)，即 \(r^2\le z\le 2\)，\(D_{xy}:\ x^2+y^2\le 2\)。

$$\int_0^{2\pi} d\theta\iint r^2\,dx\,dy[?]=\iint_{D_{xy}} dx\,dy\int_{x^2+y^2}^{2} (x^2+y^2)\,dz$$

② 球坐标变换

\(\theta\in[0,2\pi]\)，\(\varphi\in[0,\pi]\)。

$$\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\sin\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi\end{cases}\qquad |J|=r^2\sin\varphi$$

例

\(\displaystyle\iiint (2xy+z^2)\,dv\)，\(\Omega:\ x^2+y^2+z^2\le R^2\)。

奇函数（\(2xy\)）部分积分为 0：

$$I=\iiint (x^2+y^2+z^2)\,dv\ \cdot \frac{1}{3}\;[?]=\frac{1}{3}\iiint (x^2+y^2+z^2)\,dv$$

（用 \(\iiint x^2=\iiint y^2=\iiint z^2\) 的对称性，等于 \(\tfrac13\iiint r^2\,dv\)。）

学姐笔记 P34

例

\(I=\displaystyle\iiint (x^2+y^2+z^2)\,dx\,dy\,dz\)，\(\Omega:\ x^2+y^2+z^2\le 2Rz\) (\(R>0\))，\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)。

\(x^2+y^2+z^2\le 2Rz\Rightarrow r^2\le 2Rr\cos\varphi\Rightarrow r\le 2R\cos\varphi\)。锥面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow \cos\varphi=\sin\varphi\Rightarrow \varphi=\dfrac{\pi}{4}\)。

$$\begin{cases} 0\le\theta\le 2\pi\\ 0\le\varphi\le\dfrac{\pi}{4}\\ 0\le r\le 2R\cos\varphi\end{cases}$$

$$I=\int_0^{2\pi} d\theta\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\varphi\int_0^{2R\cos\varphi} r^2\cdot r^2\sin\varphi\,dr$$

题型：球面坐标的几种角度上限

\(V:\ x^2+y^2+z^2\le a^2\)（上半球），\(y=\sqrt{2ax-x^2}\)（柱面）。

$$\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\cos\theta\;[?]\\ z=r\sin\varphi\sin\theta\;[?]\end{cases}\quad\Rightarrow\ |J|=r^2\sin\varphi$$

条件 \(\begin{cases} x^2+y^2+z^2\le a^2\Rightarrow r\le a,\ 0\le\varphi\le\dfrac{\pi}{2}\\ y=\sqrt{2ax-x^2}\Rightarrow r^2\sin^2\varphi=2aR\sin\varphi[?]\Rightarrow r=2a\sin\varphi,\ \sin\varphi\ge 0\end{cases}\)

例：椭球 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\le 1\) ——广义球坐标变换

$$\begin{cases} x=ar\sin\varphi\cos\theta\\ y=br\sin\varphi\sin\theta\\ z=cr\cos\varphi\end{cases}\qquad |J|=abc\,r^2\sin\varphi$$

区域 \(\begin{cases} 0\le\theta\le 2\pi\\ 0\le\varphi\le\dfrac{\pi}{2}\\ 0\le r\le 1\end{cases}\)（视具体题目）[?]

$$V_1=4\iiint_{} =4\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_0^1 abc\,r^2\sin\varphi\,dr$$

例

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\le 1\)，\(\dfrac{z}{c}\ge\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}}\)（锥面）。用广义球坐标。

锥面：\(c\,r\cos\varphi=r\sin\varphi\Rightarrow\tan\varphi=c\Rightarrow\varphi=\arctan c\)。[?]

$$\begin{cases} x=ar\sin\varphi\cos\theta\\ y=br\sin\varphi\sin\theta\\ z=cr\cos\varphi\end{cases}$$

$$I=\int_0^{2\pi} d\theta\int_0^{\arctan c} d\varphi\int_0^1 r^2\sin\varphi\,d\varphi\;[?]$$

学姐笔记 P35

第二章：曲面积分

（页首为示意图：一个圆盘上方有曲面片，及一个空间曲面被网格剖分成小曲面片 \(\Delta S\) 的立体图，旁配坐标轴 \(x,y,z\)。）

曲面积的计算

对曲面 \(z=f(x,y)\) 作网格剖分，第 \(i\) 块小曲面片 \(\Delta S_i\)，\(d\to 0\)（剖分细度趋于 0）。

在点 \((x,y)\in D_{xy}\) 处，设法向与 \(z\) 轴夹角为 \(\gamma\)，则投影关系：

$$\Delta\sigma_i=|\cos\gamma_i|\,\Delta S_i=\Delta\sigma_i\;[?]$$

$$|\cos\gamma_i|=\frac{|\vec n\cdot\vec k|}{|\vec n||\vec k|}=\frac{1}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}}$$

故 \(\displaystyle \Delta S_i=\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}\,\Delta\sigma_i\)。

$$S=\lim_{d\to 0}\sum_{i=1}^{n}\Delta S_i=\lim_{d\to 0}\sum \sqrt{f_x^2+f_y^2+1}\,\Delta\sigma_i=\boxed{\iint_{D_{xy}} \sqrt{f_x^2+f_y^2+1}\,dx\,dy}$$

$$=\iint_{D_{xy}} \frac{dx\,dy}{|\cos\gamma|}$$

参数形式曲面：\(\vec r=\vec r(u,v)\)，即 \(z=f(x,y)=\vec r(u,v)\)

面积元素由两个偏导向量的叉积给出：

$$dS=|\vec r_u\,du\times \vec r_v\,dv|=|\vec r_u\times\vec r_v|\,du\,dv$$

记 \(EG-F^2\) 写法：

$$(\vec r_u\times\vec r_v)\cdot(\vec r_u\times\vec r_v)=\begin{vmatrix} \vec a\cdot\vec c & \vec a\cdot\vec d\\ \vec b\cdot\vec c & \vec b\cdot\vec d\end{vmatrix}\;[?]$$

（拉格朗日恒等式 \((\vec a\times\vec b)\cdot(\vec c\times\vec d)=(\vec a\cdot\vec c)(\vec b\cdot\vec d)-(\vec a\cdot\vec d)(\vec b\cdot\vec c)\)。右侧另有该叉积所张平行四边形/小曲面片的立体示意图。）

学姐笔记 P36

例

求圆锥面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 被柱面 \(x^2+y^2=x\) 所割下部分的曲面积。

（示意图：圆锥面在柱面内被斜切出的一片曲面。）

例

\(x^2+y^2=1\)，\(y+z=1\)，\(z=0\) 所围成立体的全表面积。

（示意图：单位圆柱被斜平面 \(y+z=1\) 截，下底 \(z=0\)。）

$$S=\pi+\pi\sqrt2+\frac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot\sqrt2=(3+\sqrt2)\pi \quad[?]$$

（侧面 \(+\) 上斜椭圆面 \(+\) 下底，具体系数见原图。）

例

锥面 \(z^2=x^2+y^2\)，被柱面 \(z^2=2y\)[?] 所割下部分的曲面积。

$$S=2\iint_{D_{xy}} \sqrt{f_x^2+f_y^2+1}\,dx\,dy=2\sqrt2\iint_{D_{xy}} dx\,dy$$

（\(z=\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow \sqrt{f_x^2+f_y^2+1}=\sqrt2\)。）投影区域：

$$\begin{cases} x^2+y^2\le z^2\\ z^2\ge 2y\end{cases}\Rightarrow x^2+(y-1)^2\le 1\;[?]$$

利用上下对称性求面积。

例（对称性判断积分为 0）

（示意图：以原点为中心的正方形区域 \(D_{xy}\)，四个象限被分成 \(D_1,D_2,D_3,D_4\)。）

$$I_E=\iint_{D_E} y\cos x\,dx\,dy$$

由对称性：\(\displaystyle \iint_{D_1}=\iint_{D_4}=0\)，\(\displaystyle \iint_{D_2}=\iint_{D_3}\ne 0\)[?]。

学姐笔记 P37

例：含 √(x²+y²+z²) 的三重积分极限（用球坐标）

题目：求

条件：\(\Omega\)：\(x^2+y^2+z^2\le t^2\)（半径为 \(t\) 的球），且 \(f\in C[0,1]\)，\(f(0)=0\)，\(f'(0)=1\)。

用球坐标，被积函数只与 \(r\)（即图中记作 \(\rho\)）有关，将三重积分化为

对 \(\theta\)、\(\varphi\) 积分（\(\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi\)，\(\int_0^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=2\)），得

当 \(t\to0^+\) 时分子分母同趋于 0，用洛必达法则（对 \(t\) 求导，分子由变限积分求导得 \(f(t)\,t^2\)，分母 \(t^4\) 求导得 \(4t^3\)）：

（旁注：由 \(f(0)=0\) 知此即导数定义，结果用到 \(f'(0)=1\)。）

例：在曲面/平面所围区域上求三重积分 ∭ x²y³z⁵ dV

区域 \(V\)：由 \(z=xy\)，\(y=x\)，\(x=1\)，\(z=0\) 所围。

（图：第一卦限内的立体，底面在 \(xOy\) 平面内由直线 \(y=x\)、\(x=1\) 与坐标线围成的三角形区域，上方曲面为 \(z=xy\)，标出点 \((1,1)\) 等。）

所求积分：

定限说明：

• 由 \(z=xy\) 与 \(z=0\)：\(0\le z\le xy\)。
• 由 \(y=x\) 与 \(x=1\)：底面上 \(y\) 从某线到 \(x\)、\(x\) 到 \(1\)（[?] 下限存疑）。

例：旋转抛物面相关立体

曲面：\(z=x^2+y^2\)（旋转抛物面），\(z=2x^2+2y^2\)，以及平面 \(y=x\)、\(y=x^2\)（[?]）。

（图：三维坐标系中两张旋转抛物面 \(z=x^2+y^2\) 与 \(z=2(x^2+y^2)\) 之间夹成的环状/碗状立体的示意图。）

学姐笔记 P38

曲线积分的引入与定义（对弧长的曲线积分，第一类）

背景一（线密度求质量）：设平面曲线 \(y=f(x)\)（\(a\le x\le b\)），线密度为 \(\rho=\rho(x,y)\)。在曲线上取微弧段，质量微元

故曲线的总质量

（图：曲线 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的一段，标出微弧 \(ds\)。）

背景二（曲顶/柱面面积）：设高度函数 \(h(x,y)\) 立在曲线上，面积微元

（图：以平面曲线 \(y=f(x)\) 为准线、高度为 \(h(x,y)\) 的柱面/帘状曲面示意。）

定义（对弧长的曲线积分）

设曲线弧 \(L\)，函数 \(f(x,y)\) 在 \(L\) 上有定义，对任一分割点 \((\xi_i,\eta_i)\in L\)，若极限存在则记

称为 \(f(x,y)\) 在 \(L\) 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）。若 \(L\) 为闭曲线 \(C\)，记 \(\oint_C f(x,y)\,ds\)。

注

• ① \(\displaystyle\int_a^b\) 中要求 \(a<b\)（积分下限小于上限），与曲线方向无关。
• ② \(f(x,y)\) 须在 \(C\) 上有定义；若曲线 \(C\)：\(y=\psi(x)\)，则化为 \(f(x,\psi(x))\)。

计算公式

若 \(y=\psi(x)\)，则 \(ds=\sqrt{1+\psi'^2}\,dx\)，于是

（其中 \(L\) 端点对应 \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\)，\(a<b\)。）

退化情形：若 \(y=0\)（曲线在 \(x\) 轴上），则

（图：\(x\) 轴上一段从 \(c\) 到 \(d\) 的线段，说明此时弧长积分退化为定积分。）

例：星形线上的弧长积分

计算 \(\displaystyle\oint_C f(x,y)\,ds\)，其中 \(C\)：\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\)（星形线）。

参数化：\(\begin{cases}x=a\cos^3\theta\\ y=a\sin^3\theta\end{cases}\)

例：含 √(x²+y²) 的弧长积分（极坐标）

计算 \(\displaystyle\int_C e^{\sqrt{x^2+y^2}}\,ds\)，其中 \(C\)：\(r=a\)（\(0\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}\)）等所围曲线段（圆弧 \(C_1\) 与半径线段的组合）。

在极坐标下，曲线 \(r=\rho(\theta)\) 的弧长微元 \(ds=\sqrt{\rho^2+\rho'^2}\,d\theta\)：

• \(C_1\)（圆弧）：\(\rho(\theta)=a\)，\(\rho'=0\)，\(ds=a\,d\theta\)，\(\sqrt{x^2+y^2}=a\)，\(\displaystyle\int_{C_1}e^{\sqrt{x^2+y^2}}\,ds=\int_0^{\pi/4} a\,e^{a}\,d\theta\)。
• 半径线段：\(\sqrt{x^2+y^2}=r\)，\(ds=dr\)，\(\displaystyle\int_0^a e^{r}\,dr\)（[?] 上下限存疑）。

（图：第一象限内半径为 \(a\)、张角到 \(\tfrac{\pi}{4}\) 的扇形边界，标出圆弧 \(C_1\) 与直边。）

学姐笔记 P39

例：圆/球域上的积分（接上页，杂数 ds）

计算 \(\displaystyle\oint_C f(x,y)\,ds\)，其中 \(C\)：\(x^2+y^2=a^2\)，被另一曲线 \(x^2+y^2=ax\)（或 \(x+y=0\) 等）分割所围区域的边界（[?] 分割曲线辨认不确切）。

化简：

（上式系数辨认不确切，[?]。）利用对称性：

（这几步利用轮换对称性把 \(x,y\) 互换，[?] 中间细节模糊。）

例：星形线弧长积分（参数化）

计算 \(\displaystyle\oint_C z\,ds\)（或对应被积式），其中 \(C\)：\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\)（在 \(z=\sqrt{1+x^2}\) 等关系下，[?]）。

参数化：\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\)，取 \(\begin{cases}x=a\cos^3\theta\\ y=a\cos\theta\sin\theta\\ a=\cos\theta\end{cases}\)（[?] 参数式辨认不确切）。

例：x²+y²=1 上 / 半球面上的曲面积分

题：\(x^2+y^2=1\)，\(y\ge0\)，\(z\ge0\)，周长/范围如图所限。取 \(z=\sqrt{1-y^2}\)，

（图：圆锥/锥面示意，顶点在上，底圆在 \(xOy\) 平面。）

定义（第一类曲面积分，对面积的曲面积分）

设曲面 \(\Sigma\)，\(f(x,y,z)\) 在 \(\Sigma\) 上有定义，分割后任取点，若极限

存在，则称为 \(f\) 在 \(\Sigma\) 上对面积的曲面积分（第一类）。若 \(\Sigma\) 为闭曲面，记 \(\oiint_{\Sigma} f\,dS\)。

计算（投影法）

• ① 若 \(\Sigma\)：\(z=z(x,y)\)，则 \(dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy\)，于是 $$\iint_{\Sigma} f(x,y,z)\,dS=\iint_{D_{xy}} f\big(x,y,z(x,y)\big)\,\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy$$ （要先确定曲面对坐标面的投影，再化为二重积分，一投二代三换 / 一一对应。）
• ② 参数形式：\(\begin{cases}x=\lambda(u,v)\\ y=\mu(u,v)\\ z=\nu(u,v)\end{cases}\)，则 \(dS=|\vec r_u\times\vec r_v|\,du\,dv=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv\)，其中 $$E=\vec r_u\!\cdot\!\vec r_u,\quad F=\vec r_u\!\cdot\!\vec r_v,\quad G=\vec r_v\!\cdot\!\vec r_v$$

学姐笔记 P40

例：球面上的曲面积分 ∬ z dS（求质量 M）

设 \(\Sigma\)：\(x^2+y^2+z^2=a^2\) 的上半部分被 \(z=h\)（\(0<h<a\)）所截的部分。取上半球面 \(z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\)，投影到 \(xOy\) 面区域 \(D_{xy}\)，

化简根式（\(\sqrt{1+\dots}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\)）：

转极坐标（\(x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\)）：

令 \(t=a^2-r^2\)（\(dt=-2r\,dr\)）：

例：∬ (x²+y²) dS（锥面，质量/转动惯量类）

\(\Sigma\)：\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)（锥面），\(0\le z\le 1\)（如图圆锥）。取 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\)，则 \(\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{2}\)，投影到 \(xOy\) 面 \(D\)：\(x^2+y^2\le1\)，

注：若 \(\Sigma\) 为半锥面（仅一侧），结果取一半 \(\Rightarrow \dfrac{\sqrt2}{4}\pi\)。

例：∬ (ds/z²) 型（半球面上）

\(\Sigma\)：\(x^2+y^2+z^2=R^2\)，\(z\ge0\)（上半球）；由 \(z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}\) 给出。[同上 y、z 范围限制]

取 \(0\le y\le R\)，\(D_{xy}\)：\(\begin{cases}0\le y\le R\\ 0\le z\end{cases}\)，\(z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}\)，

（[?] 该例中变量替换与上下限多处模糊，转录依手稿结构保留，细节请对照原图。）

学姐笔记 P41

对坐标的曲线积分（第二类曲线积分，向量场做功）

背景：质点沿曲线 \(\widehat{AB}\) 在变力 \(\vec F=(P,Q,R)\) 作用下运动所做的功（图：曲线 \(y=f(x)\) 上一点 \((x,y)\) 处标出力向量 \(\vec F(P,Q)\)）。

定义

设有向曲线弧 \(C\)：从 \(A\) 到 \(B\)，向量场 \(\vec F=(P,Q,R)\)（\(P,Q,R\) 为 \(x,y,z\) 的函数），对任一分点 \((\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\)，若极限存在则记

其中 \(d\vec r=(dx,dy,dz)\)。称为对坐标的曲线积分（第二类）。它与方向有关：\(\widehat{AB}=-\widehat{BA}\)（反向变号）。

与第一类的关系（单位切向量 τ）

弧长微元 \(ds=|d\vec r|=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2}=|d\vec r|\)。单位切向量

（方向余弦）于是

故第二类化为第一类：

即向量形式：

计算公式（参数式）

① 若 \(C\)：\(\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{cases}\)（\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\)），则

例：椭圆/圆参数曲线上的第二类积分

计算 \(\displaystyle\int_C y^2\,dx+x^2\,dy\)，其中 \(C\)：\(x=a\cos t\)，\(y=b\sin t\)。

（图：圆/椭圆，标出 \(A(a,0)\)、\(B(0,b)\) 等。）

则 \(\begin{cases}x'(t)=-a\sin t\\ y'(t)=b\cos t\end{cases}\)，代入：

（[?] 积分上下限与最终系数辨认不确切，结果约为 \(\tfrac{4}{3}ab^2\) 量级。）

学姐笔记 P42

第二类曲线积分计算续（显函数代入与极坐标）

本页继续上页例题与图形：在第一象限的曲线段（图：带阴影的曲线区域，标出 \(s\)、\(y\) 轴）上计算各类对坐标的曲线积分。

例：折线 / 抛物线段上的 ∫ yb ds 型

由 \(x=y^2\) 代入显式关系 \(x^2\cdot y^3=2ax\)（[?] 关系式辨认不确切）：

其中

整理：

转坐标后（图：单位圆区域 \(D\)，标 \(x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\)，原图此处图形辨认不确切）：

例：偏导数 z_x、z_y（隐函数 / 参数曲面）

由某关系求得

（即球面 \(z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}\) 的偏导。）于是

转极坐标：

（[?] 本页公式较密、字迹偏淡，部分系数与上下限不确切，转录依手稿结构保留，请对照原图核对。）

学姐笔记 P43

例3 计算 \(\displaystyle\int_C x\,y\,dx + (y-x)\,dy\)，分别沿 (a) 线段 \(\overline{AB}\)；(b) 抛物线 \(y=2(x-1)^2\)；(R≥1) \(A\overline{DB}\) 折线段

其中 \(\overrightarrow{AB}=(1,2)\)，\(y=2x-1\)，\(y'=2(x-1)\)；\(A(1,1)\)，\(B(2,3)\)；\(D\) 为 \(y=2\)、\(x=2\) 的点。

• ① \(\displaystyle I=\int_1^2 x(2x-1)\,dx + \int_1^2 \big(2(x-1)+1\big)\,dx\)
• ② \(\displaystyle I=\int_1^2 \big[\,x\cdot 2(x-1)^2 + \big(2(x-1)^2-x\big)\cdot 4(x-1)\,\big]\,dx\)
• ③ \(\displaystyle I=\int_1^2 x\,dx + \int_1^3 (y-2)\,dy\) [? 分段下限]

积分与路径相关。

例4 \(\displaystyle\oint_L \vec F\cdot d\vec r\)，其中 \(\vec F=\big(2x+3y,\;3x+y^2 z-2,\;3xy-4z\big)\)，C 为闭曲线

• ① 取 \(A(2,0,0)\)，\(B\)：\(x=a\cos t,\;y=a\sin t,\;z=\dfrac{a}{2\pi}t\)，\(0\le t\le 2\pi\)，到 \(B(a,0,0)\)。

  \(\displaystyle I=\int_0^{2\pi}\!\Big[(2a\cos t+5a\sin t)(-a\sin t)+\big(3a\cos t+3a^2\sin t\cdot\tfrac{a}{2\pi}t-2\big)(a\cos t)+\big(3a^2\cos t\sin t-\tfrac{2a}{\pi}\cdot\tfrac{a}{2\pi}t\big)\cdot\tfrac{a}{2\pi}\Big]\,dt\)

  [? 被积式细节较密，部分系数难辨]
• ② \(D(0,0,0)\)，由 \(A\) 经原点到 \(B\)：\(A\to O\to D\to B\)

  \(AO\)：\(dy=0,\;dz=0,\;z=0\Rightarrow I_1=\displaystyle\int_a^0 2x\,dx\)

  \(OD\)：\(dx=0,\;dy=0,\;x=y=0\Rightarrow I_2=\displaystyle\int_0^c(-4z)\,dz\)

  \(DB\)：\(dy=0,\;dz=0,\;y=0,\;z=c\Rightarrow I_3=\displaystyle\int_0^a 2x\,dx\)

  \(\displaystyle I=\frac{2}{3}c^2 + I_2=\frac{2}{3}c^2 \cdot 5\) [? 合并结果]

• ③ 取 \(x=a\)，\(A\to B\)：\(\displaystyle I_3=\int_0^c\!-4z\,dz=-2c^2\)

积分与路径相关；当 a≠0 时，积分与路径相关。

补：有向曲面（曲面侧）方向余弦

法向量 \(\vec n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)：

• \(\cos\alpha>0\) 右侧，\(<0\) 左；
• \(\cos\beta>0\) 后，\(<0\) 前；
• \(\cos\gamma>0\) 上，\(<0\) 下。

对应：前后 / 左右 / 上下，正向 \((\Sigma^+)\)、反向 \((\Sigma^-)\)。

关系式：

学姐笔记 P44

对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）

设向量场 \(\vec F=(P,Q,R)\)，曲面 \(\Sigma\) 分割为小块 \(\Delta S_i\)，取点 \((\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\)：

定义：通过曲面 \(\Sigma\) 指定侧、向量场 \(\vec F\) 的通量

设单位法向量 \(\vec n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)，则

• \(dy\,dz=\cos\alpha\,dS\)
• \(dz\,dx=\cos\beta\,dS\)
• \(dx\,dy=\cos\gamma\,dS\)

即 \((dy\,dz,\;dz\,dx,\;dx\,dy)=\vec n\,dS\)，于是两类曲面积分的联系：

化为二重积分（投影法）

设 \(\Sigma:\;z=z(x,y)\)，\((x,y)\in D_{xy}\)，取上侧（\(+\)）/ 下侧（\(-\)）：

（上侧取正，下侧取负）。例：被积函数 \(\dfrac{xy z}{x^2+y^2}\)。

对球面 \(\Sigma:\;z=\sqrt{1-x^2-y^2}\)（上半）与 \(z=-\sqrt{1-x^2-y^2}\)（下半）分别投影：

[示意图：上下两个半球面 \(\Sigma_1,\Sigma_2\)，对 \(xOy\) 面投影。]

例 \(\displaystyle\iint_\Sigma f(x,y,z)\,dy\,dz + g\,dz\,dx + h\,dx\,dy\)（长方体表面）

区域 \(\Sigma:\;x\in(0,a),\;y\in(0,b),\;z\in(0,c)\) 长方体表面。设投影分两片 \(\Sigma_1:\,x=a,\;\Sigma_2:\,x=0\)：

同理（对 \(g,h\)）：\(\;ab\big(h(c)-h(0)\big) + bc\big(f(a)-f(0)\big) + ac\big(g(b)-g(0)\big).\)

[示意图：边长 a,b,c 的长方体，沿三个坐标方向取对面投影相减。]

学姐笔记 P45

例 \(\displaystyle\iint_\Sigma (z^2+x)\,dy\,dz + z\,dx\,dy\)，\(\Sigma:\;z=\tfrac12(x^2+y^2)\) 介于 \(z=0\) 与 \(z=2\) 之间下侧

对 \(dy\,dz\) 项投影到 \(yOz\)（\(D_{yz}:\;x^2+y^2\le 4\) 相关），对 \(dx\,dy\) 项投影到 \(xOy\)：

对 \(dy\,dz\) 项，分前后两片 \(\Sigma_1:\,x=+\sqrt{2z-y^2}\;(x>0)\) 前侧、\(\Sigma_2:\,x=-\sqrt{2z-y^2}\;(x<0)\) 后侧：

[示意图：旋转抛物面 \(z=\tfrac12(x^2+y^2)\) 被 \(z=2\) 截下的碗形曲面，取下侧。]

合一投影法（统一投影）

对 \(\displaystyle\iint_\Sigma P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iint_\Sigma (\vec F\cdot\vec n)\,dS\)。

设 \(\Sigma:\;z=z(x,y)\)，法向量 \(\vec n=\pm(-z_x,-z_y,1)\)（上侧取 \((-z_x,-z_y,1)\)，下侧取 \((z_x,z_y,-1)\)）：

（与 dS 同方向一致取号）

于是

同理可投影到 \(xOz\) 面 \(\big(-P x_z + Q - R x_y\big)\)、投影到 \(yOz\) 面 \(\big(-P + Q y_x - R y_z\big)\)，各取相应侧（前后侧 / 左右侧 / 上下侧）。

例 \(\Sigma:\;z=\tfrac12(x^2+y^2)\)（上侧）

法向量 \(\vec n=(-z_x,-z_y,1)=(-x,-y,1)\)，统一记 \((x_z,\,y_z,-1)\) [? 记号]：

学姐笔记 P46

参数方程曲面的第二类曲面积分 \(\displaystyle\iint_\Sigma \vec F\cdot d\vec S\)

设 \(\Sigma:\;\begin{cases}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{cases}\)，则切向量

取 \(\vec n=\pm(A,B,C)\)，于是

外侧取 \((A,B,C)\)，内侧取 \((-A,-B,-C)\)。例：\(\Sigma\) 取 \(C>0\) 时对应上侧 [? why?]

例 \(\displaystyle\iint_\Sigma \frac{x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\)，\(\Sigma:\;x^2+y^2+z^2=R^2\) 外侧

在球面上 \(\big(x^2+y^2+z^2\big)^{3/2}=R^3\)，故

用球面参数 \(\begin{cases}x=R\sin\varphi\cos\theta\\ y=R\sin\varphi\sin\theta\\ z=R\cos\varphi\end{cases}\)，\(0\le\varphi\le\pi,\;0\le\theta\le 2\pi\)：

用 \(\displaystyle\iint_\Sigma \vec F\cdot d\vec S=\iint_\Sigma (\vec F\cdot\vec n)\,dS\)

这里 \(\vec F=\dfrac{1}{R^3}\,(x,y,z)\)，外法向 \(\vec n^0=\dfrac{1}{R}(x,y,z)\)，故 \(\vec F\cdot\vec n^0=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{R^4}=\dfrac{1}{R^2}\)：

例 求 \(x^2y^2=a y\) [? 曲线方程] 围成区域 / 旋转曲面面积（投影到极坐标）

取 \(z=0\)，\(\displaystyle S=\frac{a}{2}\iint \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,(\cdots)\,dx\) [? 系数]，化为

极坐标 \(\begin{cases}x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\end{cases}\) 代入计算。

[示意图：圆柱面与某曲面相截的立体，投影到 \(xOy\)；旁注"投影"/"极坐标"。]

学姐笔记 P47

例 用第二类曲线积分计算平面区域面积公式 \(\displaystyle S=\tfrac12\oint_{\partial D} x\,dy - y\,dx\)

设 D 为 x 型区域（也可取 y 型区域），\(\partial D\) 为其边界，取正向（逆时针）。

[示意图：边界曲线 \(\overarc{ANB}\)（下、\(y_1\)）与 \(\overarc{AMB}\)（上、\(y_2\)），区间 \([a,b]\)。]

（利用对称 / 同理）

同理 \(\displaystyle S=\oint_{\partial D} x\,dy\)，故 \(\displaystyle \tfrac12\Rightarrow S=\tfrac12\oint_{\partial D} x\,dy - y\,dx\)（取二者平均）。

格林公式（Green）

设 \(P,Q\in C^1(D)\)，D 为有界闭区域，\(\partial D\) 为其正向边界：

• D：区域 / \(\partial D\)：边界
• \(\displaystyle \oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy\)：D 上的边界（曲线积分）

[示意图：左为单连通区域；右为带洞的复连通区域，外边界与内边界 \(C_1\) 均标"\(+\)"正向。]

N–L（牛顿–莱布尼茨）类比：\(\displaystyle\int_a^b F'(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b\)，把"\(F(x)\) 在端点取值"推广到"边界 \(\partial D\) 取值 → 区域 \(D\) 积分"。

Green 公式：

证明（先就特殊区域）

说明思路：先 → 后。

1. D 既是 x 型又是 y 型（既 x 型又 y 型）。
2. 分块讨论：A 串接（拼接）、B 挖洞（带洞）。

1. 以 \(\displaystyle\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\,dx\,dy\) 为例，设 D 为 y 型：\(\;c\le y\le d,\;x_1(y)\le x\le x_2(y)\)：

[示意图：y 型区域，左边界 \(x_1(y)\)、右边界 \(x_2(y)\)，圆形闭曲线。]

学姐笔记 P48

2. 复连通情形（挖洞）

[示意图：A 为带一个孔的区域（内边界正向）"分割成串"；B 为环形区域。]

取 \(Q=x,\;P=-y\)，则 \(\dfrac{\partial Q}{\partial x}=1\)：

取 \(Q=x,\;P=0\)：\(\dfrac{\partial Q}{\partial x}=1,\;\dfrac{\partial P}{\partial y}=0\Rightarrow \displaystyle\oint_{\partial D} x\,dy = \iint_D 1\,dx\,dy = S\)；

取 \(P=-y,\;Q=0\)：\(\Rightarrow \displaystyle -\oint_{\partial D} y\,dx = \iint_D 1\,dx\,dy = S\)。

例 计算椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 围成的面积

参数化 \(x=a\cos\theta,\;y=b\sin\theta\)：

例 \(\displaystyle\oint_C (1y - e^{xy})\,dx + (5x + \sqrt[3]{1+y^4})\,dy\) [? 被积函数 1y、根号项]

例 \(\displaystyle I=\int_C \big(e^x\sin y - m y\big)\,dx + \big(e^x\cos y - m\big)\,dy\)，C：半圆周 \(x^2+y^2=ax\)（\(a>0\)），从 \(A(a,0)\) 到 \(O(0,0)\)

\(Q_x - P_y = e^x\cos y - \big(e^x\cos y - m\big) = m\)（常数）。补线（添辅助线）：补一条 \(\overline{OA}\) 使其闭合，[? 旁注：注意方向、补 P、a 之类的描述]，注意补回的线积分。

[示意图：上半圆周（直径在 x 轴上 \(0\to a\)），补 \(\overline{OA}\) 在 x 轴上 \(x>0\)；右侧另有一小图。]

例 \(\displaystyle I=\oint_C \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2}\)，其中 C 为各种回路

• (1) \(x^2+y^2=R^2\)：\(\displaystyle I_1=\frac{1}{R^2}\oint_C -y\,dx + x\,dy = \frac{1}{R^2}\cdot 2\pi R^2 = 2\pi\)。
• (2) \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)：被积函数在 D 内（原点）有奇点。[? 红字：偏导数 Q_x=P_y 在 D 内除原点处成立] 用 Green + 挖洞法： $$\oint_C - \oint_{C_\varepsilon} = \int_{C\backslash C_\varepsilon} \;=\; \iint_D (Q_x - P_y)\,dx\,dy = 0 \;\Rightarrow\; \oint_C \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2} = 2\pi.$$

[示意图：椭圆内挖一小圆 \(C_\varepsilon\)（绕原点奇点），两边界之间区域上用 Green 公式。]

学姐笔记 P49

引入闭区间路径, 用封闭曲线

示意图: 两条平面闭曲线。左图为一个不绕原点的简单闭区域 [?], 标注 [?] \( I_{\partial L}=0 \); 右图为绕原点的闭曲线 (8 字/椭圆带原点), 标注 [?] \( I_{\partial L}=2\pi \)。

积分与路径无关 & 制约条件

制约条件 (闭路积分为 0):

$$ \oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad \iint_{D}\left( Q_x - P_y \right)\,dx\,dy \quad\Rightarrow\quad P_y = Q_x $$

定理: P, Q 在 D 内有连续偏导数, 则下列四条等价

• ① 沿 D 内任意闭曲线 \( L \) 有 \( \oint_L P\,dx + Q\,dy = 0 \);
• ② 曲线积分 \( \displaystyle\int_L P\,dx + Q\,dy \) 与路径无关;
• ③ 存在 \( u = u(x,y) \), 使得在 \( (x,y)\in D \) 内 \( du = P\,dx + Q\,dy \);
  • 由此 \( P = u_x,\ Q = u_y \);
  • 从而 \( P_y = u_{xy},\ Q_x = u_{yx} \)，得 \( P_y = Q_x \)。
• ④ 在 D 内处处有 \( P_y = Q_x \)。

(③ ⇒ ②) 势函数可由曲线积分给出:

$$ u(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P\,dx + Q\,dy $$

学姐笔记 P50

全微分求积分与全微分方程

若 P, Q 满足积分与路径无关, 则 \( \displaystyle u(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P\,dx + Q\,dy \), 即 \( P\,dx + Q\,dy \) 是某个 \( u \) 的全微分, \( du = P\,dx + Q\,dy \)。

于是 \( u(x,y) \) 与 \( P\,dx + Q\,dy \) 的一个原函数:

$$ \int_a^b P\,dx + Q\,dy = \int_a^b du = u(b) - u(a) $$

例

求 \( \displaystyle\int (1+2xy - y^2)\,dx - (x+y^2)\,dy \) 沿不同路径积分。 (注: \( P_y = Q_x = -1 + 2x \) [?])

① \( \displaystyle u(x,y) = \int_{(0,0)}^{(x,y)} (1+2xy - y^2)\,dx - (x+y^2)\,dy \)

(沿折线 \( (0,0)\to(x,0)\to(x,y) \) 积分)

$$ = \int_0^x 1\,dx + \int_0^y -(x+y^2)\,dy = x + x^2 y - xy^2 - \tfrac{1}{3}y^3 + C $$

右侧旁注: 凑全微分法 (凑微分); 折线积分法 (折成与坐标轴平行折线); 求势函数法。

② 凑微分法 求 \( u \)

$$ du = P\,dx + Q\,dy $$

$$ \begin{cases} u_x = 1 + 2xy - y^2 \\ u_y = -(x+y^2) \end{cases} $$

\( \Rightarrow u = x + x^2 y - y^2 x + C(y) \), 再 \( u_y = -x^2 - 2xy + C'(y) \) [?]

$$ C'(y) = -y^2 \;\Rightarrow\; C(y) = -\tfrac{y^3}{3} + C $$

$$ \Rightarrow u = x + x^2 y - xy^2 - \tfrac{1}{3}y^3 + C $$

③ 凑微分 (凑全微分) 法

$$ (1+2xy - y^2)\,dx - (x+y^2)\,dy $$

$$ = dx + 2xy\,dx - y^2\,dx - x\,dy - 2xy\,dy - y^2\,dy $$

(其中 \( -y^2\,dy = -\tfrac{1}{3}d(y^3) \))

$$ = dx - d(xy^2) - d(xy^2) - d\!\left(\tfrac{y^3}{3}\right) $$ [?]

$$ \Rightarrow u = x - x^2 y - xy^2 - \tfrac{1}{3}y^3 + C $$ [?]

右侧旁注: 凑全微分时注意 \( d \) 的运用。

全微分方程

$$ du = P\,dx + Q\,dy = 0 \;\Rightarrow\; du = 0 \;\Rightarrow\; u(x,y) = C \quad(\text{通解}) $$

\( P\,dx + Q\,dy = 0 \) 为全微分方程 \( \Longleftrightarrow Q_x = P_y \)。

$$ P\,dx + Q\,dy = 0 \xrightarrow{\ P_y = Q_x\ } du = 0 \;\Rightarrow\; u(x,y) = C $$

积分因子 (integrating factor)

若 \( u_x\,dx + u_y\,dy = 0 \):

$$ u_x\,dx + u_y\,dy = 0 $$

\( P\,dx + Q\,dy = 0 \) 若 \( P_y \neq Q_x \), 则可寻积分因子。 若 \( f(x,y)\,P\,dx + f(x,y)\,Q\,dy = 0 \) 是全微分方程, 称 \( f(x,y) \) 为积分因子。

常用凑微分组合 (积分因子提示): \( \dfrac{x}{y},\ \dfrac{y}{x},\ \dfrac{1}{xy},\ \dfrac{1}{x^2+y^2},\ x^a y^b \) 等 [?]

学姐笔记 P51

例 (用积分因子)

$$ \left( x - \sqrt{x^2+y^2}\,\right)dx + y\,dy = 0 \quad\text{同乘}\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\ (\text{即 }Q\neq P_y) $$

右侧旁注: 积分因子 \( f = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \)。

$$ \frac{x\,dx + y\,dy}{\sqrt{x^2+y^2}} - dx = 0 $$

$$ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,d(x^2+y^2)\cdot\tfrac12 - dx = 0 $$ [?]

$$ d\sqrt{x^2+y^2} - dx = 0 \;\Rightarrow\; \sqrt{x^2+y^2} - x = C $$

例 (积分因子)

$$ y(1+xy)\,dx + x(1-xy)\,dy = 0 $$

$$ y\,dx + xy^2\,dx + x\,dy - x^2 y\,dy = 0 $$

$$ d(xy) + xy(y\,dx - x\,dy) = 0 $$

同除 \( (xy)^2 \) (取积分因子 \( \dfrac{1}{(xy)^2} \)):

$$ \frac{d(xy)}{(xy)^2} + \frac{y\,dx - x\,dy}{xy} = 0 \quad(\text{凑出}\ \tfrac{1}{xy}) $$

$$ -d\!\left(\frac{1}{xy}\right) + d\!\left(\ln\left|\frac{x}{y}\right|\right) = 0 $$

右侧凑微分备忘:

• \( x\,dy + y\,dx = d(xy) \)
• \( \dfrac{y\,dx - x\,dy}{y^2} = d\!\left(\dfrac{x}{y}\right) \)
• \( \dfrac{y\,dx - x\,dy}{x^2} = -d\!\left(\dfrac{y}{x}\right) \)
• \( \dfrac{y\,dx - x\,dy}{x^2+y^2} = d\!\left(\arctan\dfrac{x}{y}\right) \) [?]
• \( \dfrac{y\,dx - x\,dy}{xy} = d\!\left(\ln\left|\dfrac{x}{y}\right|\right) \)

例 曲面积分

$$ \iint_{\Sigma} (x^2 + 4z^3 + y^2)\,dS,\quad \Sigma: |x| + |y| + |z| = a. $$

(由对称性) \( \displaystyle = \iint_{\Sigma} (x^2 + y^2 + z^2)\cdot\tfrac{1}{3}\,dS \) [?]

\( \displaystyle = \tfrac{4z^3}{3}\iint_{\Sigma}\cdots \) [?] (利用奇偶对称, 奇函数项积分为 0)

$$ \Sigma_1:\ x + y + z = a,\quad 0 \leq x \leq a $$ [?]

$$ = \sqrt{3}\int_0^a dx \int_0^{a-x} \cdots\,dy $$ [?]

示意图: 第一卦限三角形平面 \( x+y+z=a \) 与坐标面所围, 投影到 \( xOy \) 面为三角形 \( y = a-x \)。

第 D11 次作业

$$ I:\ \begin{cases} z = \sqrt{2 - x^2 - y^2} \\ z = x \end{cases} $$

多种化法 (柱坐标): 由 \( z = x \) 与上半球面相交。

$$ 2x^2 + y^2 = 2 \;\Rightarrow\; \begin{cases} x = \cos\theta \\ y = \sqrt{2}\sin\theta \end{cases} \quad A\sim\frac{\pi}{3},\ B\sim -\frac{\pi}{3} $$ [?]

$$ \overline{I_{II}} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\cdots $$ [?]

另一题 (区域 \( A,B \) 弧): 设直线 \( B\,(a,0;a,a) \), 圆弧 \( A\,(0,\sqrt{2}a;0) \) [?]

$$ \int_L (y+z)\,dx + (z^2 - x^2 + x)\,dy + (x+y)\,dz $$ [?]

底部示意图与向量场: 螺线/圆 与一条直线, 圆心 \( m \)。给出

• \( O\vec{B} = (x, y) \) [?]
• \( \vec{F} = (y, x) \) [?]
• \( I = \displaystyle\int -y\,dx + x\,dy \)
• \( P_y = -1,\quad Q_x = 1 \)

学姐笔记 P52

例题

例: 已知平面区域 \( D = \{(x,y)\mid 0 \leq x \leq \pi,\ 0 \leq y \leq \pi\} \), \( L \) 为 D 的正向边界, 试证

• (1) \( \displaystyle \oint_L x e^{\sin y}\,dy - y e^{-\sin x}\,dx = \oint_L x e^{-\sin y}\,dy - y e^{\sin x}\,dx \) \( = \pi^2 \displaystyle\int_0^{\pi}\!\left(e^{\sin x} + e^{-\sin x}\right)dx \) [?]
• (2) \( \displaystyle \oint_L x e^{\sin y}\,dy - y e^{-\sin x}\,dx \geq \frac{5}{2}\pi^2 \) [?] ( \( \geq 2 + \tfrac{1}{2}\sin^2 x \) [?] )

例: 求星形线 \( x = a\cos^3 t,\ y = b\sin^3 t \) 所围图形的面积

分析: \( \displaystyle S = \frac{1}{2}\oint_L x\,dy - y\,dx \) [?]

例: 设 \( u(x,y) \) 有连续导数, 曲线 \( L \) 过点 \( A(\pi,0) \) 与 \( B(0,\sqrt{2}\,) \) [?], 在上半平面是 \( \cos\theta = a \) [?] 上的一段曲线方程为 \( r = a(1-\cos\theta) \) [?], A, B 分别对应 \( t=0,\pi \) [?], 求 \( \displaystyle\int_{AB}\left[\varphi(y) e^x - \pi y\right]dx + \left[\varphi'(y) e^x - \pi\right]dy \) [?]

示意图: 上半平面一条心形/弧线 L 从 A 到 B, 阴影区域 D。补一段 \( BA \) (\( y = 0 \)) 用 Green 公式。

$$ Q_x = \varphi'(y) e^x,\qquad P_y = \varphi'(y) e^x - \pi $$ [?]

$$ Q_x - P_y = \pi $$

$$ = \int_{\widehat{AB}} + \int_{BA} - \int_{BA} $$ [?]

$$ \text{Green} = \iint_D \pi\,dx\,dy - \int_{BA}^{0}\varphi(y) e^x\,dx \quad\Rightarrow\quad = \int_0^{\pi}\!\!d\theta\int_0^{\cdots}\pi r\,dr $$ [?]

例: 设 \( u(x,y) \) 有连续导数, 曲线积分

$$ \int_{(0,1)}^{(1,2)} y\varphi(y)\,dx + a\!\left(\frac{x^2}{y} - \varphi(y)\right)dy $$ [?]

在上半平面, 积分与路径无关, \( \varphi(1) = a \) [?]。求 \( u \) 的表达式及该积分值。

$$ Q_x = P_y \;\Rightarrow\; \frac{e^x}{y} - \Phi(y) = \varphi(y) + y\varphi'(y) $$ [?]

$$ \varphi'(y) + \frac{2}{y}\varphi(y) = \frac{e^x}{y^2} $$ [?]

$$ y = e^{-\int \frac{2}{y}\,dy}\left(\int \frac{e^x}{y^2}\, dx + C\right) $$ [?]

例: 计算曲线积分 \( \displaystyle\int_L \frac{y\,dx - (x - y^2)\,dy}{x^2 + y^2} \), 其中 \( L \) 是 \( y = -\cos x,\ x \) 从 \( (-1,1) \) 到 \( (1,1) \) 的一段曲线

分析: \( \displaystyle P = \frac{y\,dx - x\,dy}{x^2 + y^2},\ P_2 = \frac{y^2\,dy}{x^2+y^2} \) [?]

• \( P_1 \): 补线, 用 Green 公式, 如何补? [?]
• \( P_2 \) 代入化为定积分 [?] (答 \( A - \tfrac{3\pi}{4} \) [?])

示意图: \( y=-\cos x \) 在 \( x\in[-1,1] \) 一段曲线, 绕原点附近补一小圆避开奇点。

学姐笔记 P53

(承上) 计算 \( \displaystyle I = \oint_C \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2 + y^2} \)

其中 \( C:\ x^2 = 2(y+2) \), \( M(-2\sqrt{5},2)\to N(2\sqrt{5},2) \) [?]

示意图: 抛物线 \( x^2 = 2(y+2) \), 在原点附近补小圆弧 \( d \) 避开奇点 \( (0,0) \)。

$$ I = \int_{C} + \int_{MN} - \int_{d} + \int_{NM} + \int_{Cd} $$ [?]

$$ = \int_{d}\frac{2\,dx}{x^2 + 4} + \pi\pi. $$ [?]

$$ = -2\cdot\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\Big|_{-2\sqrt5}^{2\sqrt5} + 2\pi. $$ [?]

$$ = 2\pi - 2\arctan\sqrt5. $$ [?]

例: 已知曲线 \( L \) 的方程 \( \begin{cases} z = \sqrt{2 - x^2 - y^2} \\ z = x \end{cases} \), 起点 A \( (0,\sqrt2,0) \), 终点 B \( (0,-\sqrt2,0) \) [?], 计算 \( \displaystyle\int_L (y+z)\,dx + (z^2 - x^2 + y)\,dy + (x^2 + y^2)\,dz \) [?]

$$ L:\ 2x^2 + y^2 = 2 \quad\therefore\ \begin{cases} x = \cos t \\ y = \sqrt2\,\sin t \end{cases} \qquad A:\ t = \frac{\pi}{2},\quad B:\ t = -\frac{\pi}{2} $$ [?]

$$ I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} (\cos t + \sqrt2\sin t)(-\sin t)\,dt + \sqrt2\sin t\,(\sqrt2\cos t\,dt) + (\cos^2 t + 2\sin^2 t)(-\sin t\,dt) $$ [?]

$$ = \int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \left(-\sin t\cos t - \sqrt2\sin^2 t + 2\sin t\cos t - \sin t\cos^2 t - 2\sin^3 t\right)dt $$ [?]

$$ = \sqrt2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t\,dt = \sqrt2\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt2}{2}\pi $$ [?]

例: 如前平面区域 \( D = \{(x,y)\mid 0 \leq x \leq \pi,\ 0 \leq y \leq \pi\} \), \( L \) 为 D 的正向边界, 试证

• (1) \( \displaystyle \oint_L x e^{\sin y}\,dy - y e^{-\sin x}\,dx = \oint_L x e^{-\sin y}\,dy - y e^{\sin x}\,dx \)
• (2) \( \displaystyle \oint_L x e^{\sin y}\,dy - y e^{-\sin x}\,dx \geq \frac{5}{2}\pi^2 \)

示意图: 正方形区域 \( D=[0,\pi]\times[0,\pi] \), 边界 A(下)、B(左)、C(上)、(右), 逆时针正向。

(1) \( \displaystyle t_2 = \int_0^{\pi}\!\pi e^{\sin y}\,dy + \int_0^{\pi}\!\pi e^{-\sin y}\,dy = \pi\int_0^{\pi}\!\left(e^{\sin y} + e^{-\sin y}\right)dy \) [?]

\( \displaystyle t_2 = \int_0^{\pi}\!\pi e^{\sin y}\,dy + \int_0^{\pi}\!\pi e^{-\sin y}\,dy = \pi\int_0^{\pi}\!\left(e^{\sin y} + e^{-\sin y}\right)dy \)  ∴ \( t_1 = t_2 \) [?]

(2) 要证: \( e^{\sin y} + e^{-\sin y} \geq 1 + \tfrac{1}{2}\sin^2 x + 1 + \tfrac{1}{2}\sin^2(-x) = 2 + \sin^2 x \) [?]

$$ I \geq \pi\int_0^{\pi}\!\left(2 + \sin^2 x\right)dx = 2\pi^2 + \pi\int_0^{\pi}\!\sin^2 x\,dx = 2\pi^2 + \frac{\pi^2}{2} = \frac{5\pi^2}{2} $$ [?]

例: 设 \( u(x,y) \) 有连续导数, 曲线 …(同 P52) 方程 \( r = a(1-\cos\theta) \), A, B 对应 \( t=0,\pi \)

示意图: 上半平面心形线 L 从 A 到 B。

$$ Q_x = \varphi'(y) e^x,\qquad P_y = \varphi'(y) e^x - \pi $$ [?]

$$ Q_x - P_y = \pi $$

学姐笔记 P54

(承上 Green 公式计算)

$$ I = \int_{\widehat{AB}} + \int_{BA} - \int_{BA} $$ [?]

$$ \text{Green} = \iint_D \pi\,dx\,dy - \int_{BA}^{0}\varphi(y) e^x\,dx $$ [?]

$$ = \int_0^{\pi}\!d\theta\int_0^{a(1-\cos\theta)} \pi r\,dr - \left(1 - e^{-2\pi}\right) $$ [?]

$$ = \int_0^{\pi}\!\frac{a^2}{2}(1-\cos\theta)^2\pi\,d\theta - \left(1 - e^{-2\pi}\right) $$ [?]

$$ = \frac{a^2\pi}{2}\int_0^{\pi}\!\left(1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta\right)d\theta - \left(1 - e^{-2\pi}\right) $$ [?]

$$ = \frac{a^2\pi}{2}\left[\pi + 2\cdot\frac{\pi}{2}\,\right] - \left(1 - e^{-2\pi}\right) $$ [?]

$$ = \frac{a^2\pi}{2}\cdot\frac{3}{2}\pi - \left(1 - e^{-2\pi}\right) $$ [?]

$$ = \frac{3}{4}\pi^2 a^2 + e^{-2\pi} - 1 $$ [?]

例: 设 \( u(x,y) \) 有连续导数, 曲线积分

$$ \int_{(0,1)}^{(1,2)} y\varphi(y)\,dx + x\!\left(\frac{x^2}{y} - \varphi(y)\right)dy $$ [?]

在上半平面, 积分与路径无关, \( \varphi(1) = a \) [?]。

$$ Q_x = P_y \;\Rightarrow\; \frac{e^x}{y} - \Phi(y) = \varphi(y) + y\varphi'(y) $$ [?]

$$ \varphi'(y) + \frac{2}{y}\varphi(y) = \frac{e^x}{y^2} $$ [?]

$$ y = e^{-\int \frac{2}{y}\,dy}\!\left(\int \frac{e^x}{y^2}\,dy + C\right) = \frac{1}{y^2}\!\left(e^x + C\right) $$ [?]

$$ \varphi(y) = \frac{1}{y^2}\!\left(y\frac{e^x}{y}\,dy + C\right) = \frac{1}{y^2}\!\left(e^x y + C\right) $$ [?]

由 \( \varphi(1) = e \) 得 \( e + C = e \;\Rightarrow\; C = 0 \;\Rightarrow\; \varphi(y) = \dfrac{e^x}{y^2} \) [?]

右侧示意图: 上半平面从 \( (0,1) \) 到 \( (1,2) \) 的折线积分路径。

$$ I = \int_{(0,1)}^{(1,2)} y\frac{e^x}{y^2}\,dx + x\!\left(\frac{e^x}{y} - \frac{e^x}{y^2}\right)dy $$ [?]

$$ = \int_{(0,1)}^{(1,2)} \frac{e^x}{y}\,dx + x\frac{(y-1)e^x}{y^2}\,dy $$ [?]

(沿折线先 \( x \) 后 \( y \)) $$ = \int_0^1 e^x\,dx + \int_1^2 \frac{(y-1)e}{y^2}\,dy $$ [?]

$$ = e - \frac{e^x}{y}\Big|^2_1 = e - \left(\frac{e^x}{2} - e\right) = 2e - \frac{e^x}{2} $$ [?]

学姐笔记 P55 — Gauss 公式

Gauss 公式

（沟通空间区域与边界曲面之间的联系）。

示意图：左侧为一个闭曲面 \(\Sigma\)（取外侧，记为 \(\Sigma^+\)）所围成的空间区域 \(\Omega\)；右侧为带内外两层边界的环形空间区域，外侧取正、内侧取负。

Gauss 公式：

P、Q、R 在 \(\Omega\) 上需具备一阶连续偏导数。

向量形式（散度形式）：

例 1

计算 \(\displaystyle\iint_{\Sigma} x^{2}z^{3}\,dydz + (x^{2}y - z^{3})\,dzdx + (2xy + y^{2}z)\,dxdy\)，其中 \(\Sigma\) 为上半球面 \(z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}\) 的上侧。[?]

方法：补面 — 配凑 — 利用 Gauss（同 xy 平面凑成封闭曲面）。

示意图：上半球面 \(\Sigma\) 配上底面圆盘 \(\Sigma_1\)（位于 \(z=0\)），下侧法向量 \(\vec{n}=(-z_x,\,-z_y,\,1)\)。

法二：直接用 Gauss。

用 Gauss 化为三重积分：

区域 \(\Omega:\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}\)（半球体），用球坐标化简。[?]

例 2

计算 \(\displaystyle\iint_{\Sigma}(x+z)\,dydz + z\,dzdx + (1-z^{2})\,dxdy\)，其中 \(\Sigma\) 为指定曲面。对于这类不封闭曲面，需先补面 \(\Sigma_1\)，使 \(\Sigma+\Sigma_1\) 封闭后再用 Gauss。[?]

方法：补面 — 配凑 — 利用 Gauss。

其中三重积分部分先算，再减去补面 \(\Sigma_1\) 上的积分。[?]

学姐笔记 P56 — 积分学总览（思维导图）

本页是一张"积分学"知识框架的思维导图，中心向四周展开：定积分、重积分、曲线积分、曲面积分。

一、定积分

定义：\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)。

• 积分中值定理：\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)\)，其中 \(\xi\in[a,b]\)。
• 牛顿-莱布尼茨公式：\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)。
• 变限积分求导：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\)。
• 对称区间：\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \begin{cases}2\int_0^a f(x)\,dx,& f\text{ 偶}\\[2pt]0,& f\text{ 奇}\end{cases}\)。

应用（几何/物理）：

• 旋转体体积：\(\displaystyle V_x = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx\)。
• 平面图形面积。
• 曲线弧长：\(\displaystyle s = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx\)。
• 旋转曲面侧面积。[?]

二、重积分

（二重积分 / 三重积分）

• 二重积分定义：\(\displaystyle\iint_D f(x,y)\,d\sigma\)，可化为累次积分 \(\displaystyle\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\)。
• 极坐标变换：\(\displaystyle\iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_{D'} f(r\cos\theta,\, r\sin\theta)\,r\,drd\theta\)。
• 对称性 / 轮换对称性的利用。
• 三重积分：\(\displaystyle\iiint_{\Omega} f(x,y,z)\,dV\)。
• 计算方法：a. 投影法（先一后二）；b. 截面法（先二后一）\(\displaystyle\iint dxdy\int f\,dz\)；c. 柱坐标、球坐标变换。

应用 — 曲面面积：

三、曲线积分

第一类（对弧长）：

第二类（对坐标）：

两类曲线积分的联系：\(\displaystyle\int_L P\,dx+Q\,dy = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\,ds\)。

Green 公式：\(\displaystyle\oint_{L} P\,dx+Q\,dy = \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\)。[?]

三、曲面积分

• 第一类（对面积）：\(\displaystyle\iint_{\Sigma} f(x,y,z)\,dS\)。
• 第二类（对坐标）：\(\displaystyle\iint_{\Sigma} P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy = \iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot d\vec{S}\)，向量形式 \(\vec{F}=(P,Q,R)\)，\(d\vec{S}=\vec{n}\,dS\)。

（图右上角附小图：表示曲面 \(z=f(x,y)\) 在 \(xy\) 平面投影区域 \(D_{xy}\) 的示意。）

学姐笔记 P57 — 数项级数 / p 级数

数项级数

部分和的极限定义级数的和：

例：\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\)，用裂项法求和。

（图右上角附阶梯型小图，示意部分和的几何含义。）

例：\(\displaystyle\sum\frac{1}{n}\) 发散（调和级数）。

利用 \(x>\ln(1+x)\)：取 \(x=\tfrac1n\)，得 \(\dfrac1n>\ln\!\left(1+\dfrac1n\right)=\ln(n+1)-\ln n\)，求和后发散。

收敛的必要条件：\(\displaystyle\sum a_n\) 收敛 \(\Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n = 0\)。

逆否：若一般项不趋于 0，则级数发散。

例：\(\displaystyle\sum \cos\frac1n\)（\(\to 1\neq0\)）、\(\displaystyle\sum(-1)^n\) 均发散。[?]

柯西收敛准则 / 收敛 ⟺ 部分和数列有极限

级数收敛的本质：部分和数列收敛，是否收敛只与"尾巴"有关。[?]

例：\(\displaystyle\sum\frac1n\) 发散的另证（成倍放缩）：

p 级数

\(\displaystyle\sum\frac{1}{n^{p}}\)：当 \(p\le 1\) 发散；当 \(p>1\) 收敛。

级数与无穷限广义积分的相互转化

当 \(f(x)\ge 0\) 单调时，级数 \(\displaystyle\sum f(n)\) 与广义积分 \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)\,dx\) 同敛散（积分判别法雏形）。[?]

学姐笔记 P58 — 正项级数及其敛散性判别（一）

正项级数（\(a_n\ge 0\)）

正项级数收敛 \(\iff\) 部分和数列 \(\{S_n\}\) 有上界 \(\Rightarrow \displaystyle\sum a_n\) 收敛。

例 1：证明 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\) 收敛

放缩：\(\displaystyle\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{1\cdot2 + 2\cdot3 + \cdots} = \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac1n\)[?]，从而部分和有界 \(\Rightarrow \displaystyle\sum\frac{1}{n^{2}}\) 收敛。

（另写：\(\displaystyle\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{(n-1)\,n} = \frac{1}{n-1}-\frac1n\)。）

例 2：证明 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}\)（\(p>1\)）收敛（积分放缩）

例 3：用阶梯放缩证明 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\) 收敛（成倍分组）

比较判别法

设 \(\displaystyle\sum u_n,\ \sum v_n\)（\(u_n,v_n\ge 0\)），若 \(u_n\le k\,v_n\)（\(\forall n\)）。

结论：\(\displaystyle\frac{u_n}{v_n}=\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}\)（\(\forall n\)）[?]

比较判别法（极限形式 / 比较法极限版）

设 \(\displaystyle\sum u_n,\ \sum v_n\)（\(u_n,v_n\ge 0\)），\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=b\)：

• (i) \(0\le b < +\infty\)：\(\displaystyle\sum v_n\) 收敛 \(\Rightarrow \sum u_n\) 收敛。
• (ii) \(0 < b \le +\infty\)：\(\displaystyle\sum v_n\) 发散 \(\Rightarrow \sum u_n\) 发散。

（红字旁注：找参考级数比较敛散性。）

学姐笔记 P59 — 比较判别法的应用 / p 级数为标尺

例

① \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}\)：因 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1\)，与 \(\displaystyle\sum\frac1n\) 同敛散 \(\Rightarrow\) 与 \(\displaystyle\sum\frac{1}{n^{?}}\) 比较，发散。[?]

② \(\displaystyle\sum\frac{1}{1+a^{n}}\)（\(a>0\)）：

• (i) \(a>1\)：\(\displaystyle\frac{1}{1+a^{n}} < \frac{1}{a^{n}}\)，与等比 \(\displaystyle\sum\frac{1}{a^n}\) 比较 \(\Rightarrow\) 收敛。
• (ii) \(a\le 1\)：\(\displaystyle\frac{1}{1+a^{n}}\not\to 0\) \(\Rightarrow\) 发散。

③ \(\displaystyle\sum\left[\,e - \left(1+\tfrac1n\right)^{n}\,\right]\)：

旁注：\(\displaystyle\sum\!\left[\,e-\left(1+\tfrac1n\right)^{n}\,\right]\) 用等价无穷小，与 \(\displaystyle\sum\frac1n\) 同阶 \(\Rightarrow\) 发散。[?]

判别法 3：p 级数判别法（极限形式）

\(\displaystyle\sum u_n\)（\(u_n\ge 0\)），取参照 \(p\)：若 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{p} u_n = b\)（有限）：

• (i) \(0\le b < +\infty,\ p>1\)：\(\displaystyle\sum u_n\) 收敛。
• (ii) \(0 < b \le +\infty,\ p\le 1\)：\(\displaystyle\sum u_n\) 发散。

红字提示：先看通项 \(u_n\) 与 \(\dfrac{1}{n^{p}}\) 同阶，由 \(n^{p}u_n\) 的极限定出对应的 \(p\)；常配合 Taylor / 等价无穷小展开。

即 \(u_n \sim b\cdot\dfrac{1}{n^{p}}\)。

例（应用 p 级数判别法）

① \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\sqrt{\frac{n-1}{n+1}}\,\right)^{\!2}\)：

[?] 上式系数处理较潦草，仅取主阶。

② \(\displaystyle\sum\left(e - \big(1+\tfrac1n\big)^{n}\right)^{p}\)（\(p>0\)）：

[?]

学姐笔记 P60 — 比值判别法 / 根值判别法 / 积分判别法

① \(\displaystyle\sum a^{\ln n}\)：\(a^{\ln n}=\big(e^{\ln a}\big)^{\ln n}=\big(e^{\ln n}\big)^{\ln a}=n^{\ln a}=\left(\tfrac1n\right)^{-\ln a}\)，化为 p 级数判别。

② \(\displaystyle\sum\frac{(\arctan n)^{p}}{n^{\lambda}}\)：因 \(\arctan n \to \dfrac{\pi}{2}\)（\(n\to\infty\)），故 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{\lambda}\cdot\frac{(\arctan n)^{p}}{n^{\lambda}}=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{p}\)，\(a_n \sim \dfrac{(\pi/2)^{p}}{n^{\lambda}}\)，按 \(\lambda\) 判敛散。[?]

③ \(\displaystyle\sum\frac{\ln n}{n^{\lambda}}\)：当 \(\lambda>1\) 收敛。讨论 \(\lambda\le 1\)：取 \(1[?]

比值判别法（达朗贝尔）

\(\displaystyle\sum u_n\)（\(u_n>0\)），\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=r\)：

• \(r<1\)：收敛；
• \(r>1\)：发散；
• \(r=1\)：失效（需另判）。

橙框口诀：\(r<1 \Rightarrow\) 收敛；\(r>1 \Rightarrow\) 发散。常配合 \(n!\) 等阶乘型一般项。

例 ① \(\displaystyle\sum\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}\)：

例 ② \(\displaystyle\sum n!\left(\tfrac1x\right)^{n}\)（\(x>0\)）：

[?] 讨论：分情况按 \(x\) 与边界比较，定收敛 / 发散。

根值判别法（柯西）

\(\displaystyle\sum u_n\)（\(u_n\ge 0\)），\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=r\)：\(r<1\) 收敛，\(r>1\) 发散，\(r=1\) 失效。

橙框口诀：\(r<1\Rightarrow\)收敛；\(r>1\Rightarrow\)发散。

例：\(\displaystyle\sum\frac{1}{n}\big(1+\tfrac1n\big)^{n^{2}}\)（\(x>0\)）[?]：

• \(x>e\)：收敛；
• \(x
• \(x=e\)：\(\displaystyle u_n=\frac1n\big(1+\tfrac1n\big)^{n^{2}}\big/e^{n}\to\frac{(1+\frac1n)^{n^{2}}}{e^{n}}\)，需另判。[?]

积分判别法

设 \(\displaystyle\sum u_n,\ u_n>0\)，\(u_n=f(n)\)，\(f(x)\) 单调下降且 \(f(x)\to 0\)。则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 与 \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(x)\,dx\) 同敛散。

学姐笔记 P61

例：判别 \(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{p}}\) 的敛散性 \((p>0)\)

① 令 \(f(x)=\dfrac{1}{x(\ln x)^{p}}\)，\(f(x)\) 单调递减。

当 \(x\to+\infty\) 时，\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{p}}\to 0\)。

② 用积分判别法（与 \(\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{p}}\) 同敛散）：

任意项级数

• 绝对收敛：若 \(\sum |u_n|\) 收敛，则称 \(\sum u_n\) 绝对收敛。
• 条件收敛：若 \(\sum u_n\) 收敛，但 \(\sum |u_n|\) 发散，则称 \(\sum u_n\) 条件收敛。例：\(\displaystyle\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}\)

定理：若 \(\sum |u_n|\) 收敛，则 \(\sum u_n\) 收敛

证：令 \(a_n=\dfrac{u_n+|u_n|}{2}\)，\(b_n=\dfrac{|u_n|-u_n}{2}\)。

则 \(0\le a_n\le |u_n|\)，\(0\le b_n\le |u_n|\)。

\(\therefore\) \(\sum a_n\)，\(\sum b_n\) 均收敛。

又 \(u_n=a_n-b_n\)，\(\therefore \sum(a_n-b_n)\) 收敛，即 \(\sum u_n\) 收敛。

故 \(\displaystyle\sum |u_n|\) 收敛 \(\begin{cases}\text{收敛}\;\Rightarrow\;\text{建议先看}\;\sum|u_n|\;\text{是否收敛}\\[3pt]\text{发散}\end{cases}\)

\(\sum |u_n|\) 发散 与 \(\sum u_n\) 发散

最进一步说：\(\sum |u_n|\) 发散，其余还需进一步根据情况判断，例 \(\sum u_n\) 可能发散。

• 比值法：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big|\frac{u_{n+1}}{u_n}\Big|=r>1\)，则 \(|u_n|\ge|u_n|\not\to 0\;\Rightarrow\;u_n\not\to 0\;\Rightarrow\;\)发散。
• 根值法：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n|}=r>1\;\Rightarrow\;|u_n|\not\to 0\;\Rightarrow\;u_n\not\to 0\;\Rightarrow\;\)发散。

性质：收敛级数的乘积与重排

（其一）柯西乘积（绝对收敛级数的乘积）：

绝对收敛级数可以任意重排，其和不变。[?]

学姐笔记 P62

1）交错级数判别法

交错级数 \(\displaystyle\sum(-1)^{n-1}u_n\quad(u_n>0)\)。

Leibniz 判别法：若交错级数 \(\displaystyle\sum(-1)^{n-1}u_n\) 满足 ① \(u_n\downarrow\) ② \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=0\)，则收敛，且其余项满足 \(|R_n|\le u_{n+1}\)。

证（截断思想）：

考察偶数项部分和 \(S_{2n}\)：

每个括号 \(\ge 0\)，故 \(S_{2n}\nearrow\)（单调增）。

故 \(S_{2n}\) 单调增且有上界 \(\Rightarrow\) \(\{S_{2n}\}\) 收敛，设 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{2n}=S\)。

又 \(S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1}\)，故 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{2n+1}=S\)。

奇偶子列同极限 \(\Rightarrow\) 级数收敛于 \(S\)。

余项估计：\(|R_{2n}|=|(u_{2n+1}-u_{2n+2})+(u_{2n+3}-u_{2n+4})+\cdots|\ge 0\)，且 \(\le u_{2n+1}\)。即 \(|R_n|\le u_{n+1}\)。

例：判别下列级数

① \(\displaystyle\sum(-1)^{n}\arctan\frac{1}{n}\quad(>0)\)：满足 Leibniz 两条件，收敛。

② \(\displaystyle\sum\frac{1}{100^{n}}\cdot b\)（\(b>0\) 比较项）：与 \(\displaystyle\sum\frac{1}{2^{n}}\) 比较收敛，绝对收敛。

③ \(\displaystyle\sum\sin\big(\pi\sqrt{n^2+a^2}\,\big)\)：

用 Leibniz 判别 收敛（条件收敛）。[?]

侧栏：参数 \(p\) 讨论小结

• \(b_n\): \(\begin{cases}01 & \text{收敛}\end{cases}\)
• \(c_n\): \(\begin{cases}01 & \text{收敛}\end{cases}\)
• \(a_n\): \(\begin{cases}01 & \text{收敛}\end{cases}\) [?]

侧栏：\(\displaystyle\sum\ln\Big(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\Big)\) 的敛散性

（\(p\) 取不同值要讨论）不能简单用比较，要展开：

第一项 \(\dfrac{(-1)^n}{n^p}\) 交错（条件/绝对视 \(p\)），第二项 \(-\dfrac{1}{2n^{2p}}\) 为正项（看 \(2p\) 与 1 关系）。[?]

2）A-D 判别法（Abel–Dirichlet）

对级数 \(\displaystyle\sum a_n b_n\)，若 \(a_n\)、\(b_n\) 满足下列两组条件之一：

• Abel：\(\{a_n\}\) 单调有界，\(\sum b_n\) 收敛 \(\Rightarrow\) \(\sum a_nb_n\) 收敛。
• Dirichlet：\(\{a_n\}\) 单调趋于 0，\(\sum b_n\) 的部分和有界（\(\displaystyle\Big|\sum_{k=1}^{n}b_k\Big|\le M\)）\(\Rightarrow\) \(\sum a_nb_n\) 收敛。

即：\(\forall n\)，\(\;|B_n|=\Big|\sum_{k=1}^{n}b_k\Big|\le M\)。

学姐笔记 P63

A-D 判别法的应用（典型 \(b_n=\sin n\theta\) / \(\cos n\theta\)）

关键引理：当 \(\theta\neq 2k\pi\) 时，部分和有界：

（由积化和差 / 乘 \(2\sin\frac{\theta}{2}\) 叠缩得到）。[?]

例：判别 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n\theta}{n^{p}}\) 的敛散性 \((p>0)\)。

取 \(a_n=\dfrac{1}{n^{p}}\) 单调趋于 0；\(b_n=\sin n\theta\) 部分和有界 \(\Rightarrow\) 由 Dirichlet 判别法，级数收敛。

• 当 \(p>1\) 时绝对收敛；
• 当 \(0

函数项级数（引入）

设 \(\{u_n(x)\}\) 定义在区间 \(I\) 上，称 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) 为函数项级数。

收敛域：使级数 \(\sum u_n(x)\) 收敛的 \(x\) 全体构成收敛域 \(D\)。

和函数：\(\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x),\quad x\in D\)，部分和 \(S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)\)。

逐点收敛 vs 一致收敛

• 逐点收敛：\(\forall x\in D,\ \forall\varepsilon>0,\ \exists N(\varepsilon,x)\)，当 \(n>N\) 时 \(|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon\)。（\(N\) 依赖 \(x\)）
• 一致收敛：\(\forall\varepsilon>0,\ \exists N(\varepsilon)\)（只依赖 \(\varepsilon\)，不依赖 \(x\)），当 \(n>N\) 时对一切 \(x\in D\) 有 \(|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon\)。记作 \(S_n(x)\rightrightarrows S(x)\)。[?]

学姐笔记 P64

一致收敛的判别

余项判别（定义法）：\(\displaystyle\sum u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛 \(\iff\) \(\displaystyle\sup_{x\in D}|R_n(x)|=\sup_{x\in D}|S(x)-S_n(x)|\to 0\ (n\to\infty)\)。

Weierstrass 判别法（M 判别法 / 优级数判别法）

若存在正项收敛级数 \(\displaystyle\sum M_n\)（数项级数），使得对一切 \(x\in D\) 及充分大的 \(n\) 有

则 \(\displaystyle\sum u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛（且绝对一致收敛）。\(\sum M_n\) 称为优级数。

例：证明 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n^{2}}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上一致收敛。

因 \(\Big|\dfrac{\sin nx}{n^{2}}\Big|\le\dfrac{1}{n^{2}}\)，而 \(\displaystyle\sum\frac{1}{n^{2}}\) 收敛，由 M 判别法知原级数一致收敛。

一致收敛级数的性质

• 连续性：若 \(u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(\sum u_n(x)\) 一致收敛于 \(S(x)\)，则 \(S(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续。
• 逐项积分：在上述条件下 \(\displaystyle\int_{a}^{b}S(x)\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}u_n(x)\,dx\)（积分与求和可交换）。
• 逐项求导：若 \(u_n(x)\) 有连续导数，\(\sum u_n(x)\) 收敛，且 \(\sum u_n'(x)\) 一致收敛，则 \(\displaystyle S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x)\)。

[?] 部分条件文字辨认存疑，详见原图。

学姐笔记 P65

幂级数

形如 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^{n}\) 的函数项级数称为幂级数。特别地 \(x_0=0\) 时 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}\)。

Abel 定理

• 若 \(\displaystyle\sum a_nx^{n}\) 在 \(x=x_1\ (x_1\neq 0)\) 处收敛，则当 \(|x|<|x_1|\) 时绝对收敛。
• 若 \(\displaystyle\sum a_nx^{n}\) 在 \(x=x_2\) 处发散，则当 \(|x|>|x_2|\) 时发散。

收敛半径 \(R\)

存在 \(R\ge 0\)（收敛半径），使得 \(|x|R\) 时发散，\(|x|=R\) 处需单独讨论。收敛区间 \((-R,R)\)。

求 \(R\) 的方法（比值/根值）：

约定：\(\rho=0\Rightarrow R=+\infty\)；\(\rho=+\infty\Rightarrow R=0\)。

例：求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}\) 的收敛域。

\(\displaystyle\rho=\lim_{n\to\infty}\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\Rightarrow R=1\)。

端点：\(x=1\) 时 \(\displaystyle\sum\frac{1}{n}\) 发散；\(x=-1\) 时 \(\displaystyle\sum\frac{(-1)^{n}}{n}\) 收敛。故收敛域为 \([-1,1)\)。

[?] 个别系数符号辨认存疑，详见原图。

学姐笔记 P66

幂级数的运算性质（在收敛区间内）

• 幂级数在其收敛区间 \((-R,R)\) 内一致收敛（在任一闭子区间上），和函数 \(S(x)\) 连续。
• 逐项求导：\(\displaystyle S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}\)，收敛半径不变。
• 逐项积分：\(\displaystyle\int_{0}^{x}S(t)\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\)，收敛半径不变。

常用展开式（Taylor / Maclaurin 级数）

例（利用已知展开式）：求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}\) 的和函数。

设 \(\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}\)，逐项求导得 \(\displaystyle S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\frac{1}{1-x}\ (|x|<1)\)。

又 \(S(0)=0\)，积分得 \(\displaystyle S(x)=\int_{0}^{x}\frac{dt}{1-t}=-\ln(1-x)\ (|x|<1)\)。

[?] 本页下半部分（端点/具体例题数字）辨认存疑，详见原图。

学姐笔记 P67

(1) 求和示例 \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n(n+1)}{(\ln 2)^n}t^n\)（\(t>0\)）

已知 \(\dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)，求导得

\(\dfrac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}\)，于是 \(\dfrac{x}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^n\)。

记 \(x=\dfrac{1}{t}\)（\(t>1\)），则 \(\dfrac{1}{(t-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}\)，

\(\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)\,x^n=2\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{(1-x)^{?}}\) [?]（推导细节字迹难辨）

(2) 由幂级数求和函数（移项 + 凑系数）

设 \(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)!}x^n\)。令 \(\Big(\dfrac{1}{2n+1}\Big)^{*}\) 凑成 \(2\sum\dfrac{1}{2n+1}\Big(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Big)^{2n+1}\sqrt{x}\)，

\(=2\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}\Big|_{x=\frac{1}{\sqrt{?}}}\) [?]

设 \(S=f(x)\)，构造微分方程求和

\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\Big(\dfrac{1}{2n+1}\Big)^{*}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{1-x}x^n\)，\(x\in(-1,1)\)

\(f(x)-f(0)=\int_0^x f'(t)\,dt=\int_0^x\dfrac{1}{1-t}\,dt=\ln\dfrac{1}{1-x}\)

\(f(0)=0\)，\(\therefore\ \boxed{S=\ln(\cdots)}\) [?]

(3) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)x^n\Big|_{x=\frac12}=2\sum nx^n+\sum x^n\)

(4) \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{1}{3n+1}\)（构造 \(S=f(x)\) 用微分方程）

\(=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{3n+1}x^{3n+1}\Big|_{x=1}\)，设 \(S=f(x)\)，

\(f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{3n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^3)^n=\dfrac{1}{1+x^3}\)

\(f(x)-f(0)=\int_0^x f'(t)\,dt=\int_0^x\dfrac{1}{1+t^3}\,dt\)

(5) 求和 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}\)（同样构造微分方程，"巧妙"法）

设 \(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}\)，则 \(f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}=f(x)\)，

\(\Rightarrow f(x)=Ce^x\)，由 \(f(0)=1\Rightarrow C=1\)，故 \(f(x)=e^x\)。[? "巧妙解法"批注难辨]

课本常用展开式（红色补注）

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots=\dfrac{1}{1+x^2},\quad |x|<1;\)

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+\cdots=\dfrac{1}{1-x},\quad |x|<1;\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^n=x+x^2+\cdots=\dfrac{x}{1-x},\quad |x|<1.\)

学姐笔记 P68

幂级数和泰勒展开

一、Taylor 级数

系数 \(a_n=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\)

（若 \(f(x)\in C^{\infty}(V(x_0,r))\)，在 \(x_0\) 某邻域内可以展开），

\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)

注：Taylor 级数收敛 \(\not\Rightarrow\) 收敛于 \(f(x)\)。

eg. \(f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x}}, & x>0\\[2pt] 0, & x\le 0\end{cases}\)

• ① \(f(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{-\frac1x}}{x}=0\)；
• ② \(f^{(n)}(0)=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=0=S\ne f(x)\)（不收敛于 \(f(x)\)）

Taylor 级数收敛于 \(f(x)\) 的充要条件

设 \(f(x)\) 在 \(V(x_0,r)\) 内任意阶可导，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的 Taylor 级数收敛于 \(f(x)\)，

\(\Leftrightarrow\) 余项 \(R_n(x)\to 0\)（\(n\to\infty\)），\(x\in V(x_0,r)\)。

注：若 \(f(x)\) 及各阶导数在 \(V(x_0,r)\) 内有界，余项 \(R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)，设 \(|f^{(n)}|\le M\)，则 \(M>0\) 使 \(|f^{(n)}|\le M\)（一致有界）\(\Rightarrow R_n\to 0\)。

初等函数泰勒级数展开式

• ① \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots,\quad x\in\mathbb{R}\)
• ② \(\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots,\quad x\in\mathbb{R}\)
• ③ \(\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots,\quad x\in(-1,1]\)

由此（红字补注）：\(\dfrac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n\)；

对应 \(\big(\ln(1+x)\big)'=\dfrac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n\)；

• \(\displaystyle \arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\cdots,\quad x\in[-1,1]\)

对应 \(\big(\arctan x\big)'=\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}\)，\(x\in(-1,1)\)。

• \((1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots,\quad |x|<1\)

补注：\(\big(\arcsin x\big)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) → 引出 \(\arcsin\) 展开。

学姐笔记 P69

eg. 将 \(f(x)=\dfrac{1}{a-x}\)（\(a\ne 0\)）展开（凑成几何级数）

• (i) \(\sum a_n x^n\)
• (ii) \(\sum b_n(x-1)^n\)
• (iii) \(\sum c_n\big(\tfrac{1}{x}\big)^n\)

(i) \(f(x)=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{x}{a}}=\dfrac{1}{a}\sum_{n=0}^{\infty}\Big(\dfrac{x}{a}\Big)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{a^{n+1}},\quad x\in(-a,a)\)

(ii) \(f(x)=\dfrac{1}{a-1-(x-1)}=\dfrac{1}{a-1}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{x-1}{a-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(x-1)^n}{(a-1)^{n+1}}\)

收敛域：\(x-1\in(-(a-1),\,a-1)\)，即 \(x\in(2-a,\,a)\)。[? 区间端点字迹难辨]

(iii) \(\dfrac{1}{a-x}=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{\frac{a}{x}-1}=-\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{a}{x}}\) [? 该行符号难辨]

eg. \(f(x)=\dfrac{3x}{x^2+x-2}\)，在 \(x_0=0\) 处展开成幂级数

部分分式：\(f(x)=\dfrac{2}{2+x}+\dfrac{1}{1-x}\) [? 待核：分子系数]

\(=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{x^n}{2^{n+1}}+\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)，\(|x|<1\)。

收敛域 \(|x|<1\)。

eg. \(f(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}\)，在 \(x_0=0\) 处展开成幂级数

\(f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}-\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{-1}{n+1}x^{n+1}=2\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\)，\(x\in(-1,1)\)

补注：分别在 \((-1,1]\)、\([-1,1)\)，求交集得 \(x\in(-1,1)\)。

\(\displaystyle\int_0^{\frac12}\dfrac{1}{x}\ln\dfrac{1+x}{1-x}\,dx=2\int_0^{\frac12}\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{2n+1}\,dx=2\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}x^{2n+1}\Big|_0^{\frac12}=2\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}\cdot\dfrac{1}{2^{2n+1}}\) [? 末项数值待核]

eg. \(f(x)=-\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{1-x}\)（\(x>1\)）展开 [? 函数式难辨]

\(f^{(n)}(x)=(-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}\)，\(R_n\to 0\)（\(x\ne 0\)）

方法一：设 \(x=1+t\)，\(t\in(-1,0)\) [?]，则 \(f(x)=-\dfrac{1}{(1+t)}\cdots\)

方法二：\(f(x)=-\dfrac{1}{x}=\big(\tfrac1x\big)'\) 型；\(\dfrac1x=\dfrac{1}{1+(x-1)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n\)，

\(\therefore\big(\tfrac1x\big)'=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n n(x-1)^{n-1}\)。

eg. \(f(x)=\dfrac{4x+1}{2x^2+3x+1}\) [? 系数待核]

方法一：\(\displaystyle\int\dfrac{4x+1}{2x^2+3x+1}\,dx=\int\dfrac{d(2x^2+3x+1)}{2x^2+3x+1}=\ln\big((2x+1)+\ln(x+1)\big)\)[? 该积分结果字迹难辨]

方法二：（部分分式）[未写完]

学姐笔记 P70

eg. \(f(x)=\dfrac{x}{2x^2+3x-2}\)，在 \(x_0=2\) 处展开

令 \(x-2=u\)。

eg. \(f(x)=\sin^3 x=\dfrac34\sin x-\dfrac14\sin 3x\)

（亦可由 \(\displaystyle\int\sin^2 x\sin x\,dx=-\int(1-\cos^2 x)\,d\cos x\) 处理）

eg. \(f(x)=\arctan\dfrac{1-2x}{1+2x}\)

\(f'(x)=-\dfrac{2}{1+4x^2}=-2\sum_{n=0}^{\infty}(-4x^2)^n=-2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n 4^n x^{2n},\quad |x|\le\dfrac12\) [? 收敛区间端点应为 \(|x|<\frac12\)]

\(f(x)=\displaystyle\int f'(x)\,dx=-2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n 4^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\ {\color{#c00}+\,f(0)}=\cdots+\dfrac{\pi}{4}\)（红字补：加常数 \(f(0)=\dfrac{\pi}{4}\)）

学姐笔记 P71

幂级数解微分方程

例1：设级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n\) 在 \(x=1\) 处收敛，其和函数 \(y=y(x)\) 满足

\(xy''(x)+(1-x)y'(x)-2y(x)=0\)，\(y(0)=2\)。求 \(y(x)\) 的表达式。

(1) 证明 \((n+1)^2 a_{n+1}=(n+2n_0)a_n\)（\(n\in\mathbb{N}\)）[? 系数关系右端待核，疑为 \((n+2)a_n\)]

解一：（待定系数 / 升降幂）

设 \(y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n\)，\(y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n x^{n-1}\)，\(y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-2}\)，

代入方程：\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n x^{n-1}-\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n x^{n}-2\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n=0\)，

右注：合并同次幂，令各 \(x^n\) 系数为 \(0\)。

\(\therefore (n+1)n\,a_{n+1}+(n+1)a_{n+1}=(n+2)a_n\)，即 \((n+1)^2 a_{n+1}=(n+2)a_n\)。

(2) 由 (1) 求通项与和函数

递推：\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+2}{(n+1)^2}\)，\(a_0=y(0)=2\)，

\(a_{n+1}=\dfrac{n+2}{(n+1)^2}a_n\)，得 \(a_n=\dfrac{2(n+1)}{n!}\) [? 通项化简待核]

\(y(x)=2\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(n+1)}{n!}x^n=2\Big(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}\cdot? \Big)=2e^x(x+1)\) [? 中间合并步骤难辨]

右注：\(\sum\dfrac{x^n}{n!}=e^x\)；拆分 \(n+1=n+\) 配 \(\sum\)。

本页例题清单（蓝框）

• 例1. 求函数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{4n^2-1}{(2n)!}x^{2n}\) 的和函数。右注：\(\sum(-1)^n\dfrac{4n^2}{(2n)!}x^{2n}-\sum(-1)^n\dfrac{1}{(2n)!}x^{2n}\)
• 例2. 将 \(f(x)=\dfrac{1}{1-x}e^x\) 在 \(x=0\) 的 Taylor 级数展开式。右注：\(\dfrac{1}{1-x}\cdot\dfrac{e^x}{?}\)；末配 \((\sin x)''\) [?]
• 例3. 将 \(x\) 的幂级数表示函数 \(f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}\) 在 \(x=0\) 邻域内的幂级数。[?]
• 例4. 求级数 \(f(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^2}+\arctan\dfrac{1+x}{1-x}\) 的幂级数展开式。
• 例5. 求和级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)12^{2n}}x^{2n+1}\)，\(x\) 的幂级数展开式。
• 例6. 求和级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{\alpha}}\arctan\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)（\(\alpha\in\mathbb{R}\)）的敛散性。

例2. 解法 \(f(x)=\dfrac{1}{1-x}e^x\)

\(f^{(n)}(0)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}\cdots}{?}\)；\(\dfrac{1}{1-x}=\sum x^n\)，\(e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}\)；

右注（柯西乘积/比较系数）：\(f^{(n)}(0)=\sum_{k=0}^{n}C_n^k\dfrac{(n-k)!}{?}\cdots\) [? 全段字迹潦草，难逐字辨认]

设 \(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n\)，由 \(e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}=(1-x)\sum c_n x^n\)，比较系数：

\(\Rightarrow c_n-c_{n-1}=\dfrac{1}{n!}\Rightarrow c_n=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}\)，

\(\Rightarrow f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\Big(\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}\Big)x^n\)。

学姐笔记 P72

例3. \(f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}\)，幂级数展开（不可逐项求导）[? 批注难辨]

\(1-\cos x=\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^6}{6!}-\cdots\)

\(\therefore f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{2n-1}}{(2n)!}(-1)^{n+1}\)

\(\displaystyle\int f(x)\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{x^{2n}}{2n\,(2n)!}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{2n\,(2n)!}x^{2n}\)

例4. \(f(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^2}+\arctan\dfrac{1+x}{1-x}\)

左项：求一次（导/积分）；右项：求导一次。

\(\displaystyle\int\dfrac{x}{(1+x^2)^2}\,dx=\dfrac12\int\dfrac{d(1+x^2)}{(1+x^2)^2}=-\dfrac12\cdot\dfrac{1}{1+x^2}\)

例5. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)12^{2n+1}}x^{2n+1}\)

右注：凑成 \(2\big(\tfrac{x}{2}\big)^{2n+1}\) 型。

\(=2\sin\dfrac{x}{2}\)（结合 \(\sin(x-1)\)），

\(=2\sin\big(\dfrac{x-1}{2}+\dfrac12\big)\)

\(=2\big(\sin\dfrac{x-1}{2}\cos\dfrac12+\cos\dfrac{x-1}{2}\sin\dfrac12\big)\) [? 此处与 \(\sin\) 展开的对应关系字迹难辨]

例6. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\arctan\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) 的敛散性

★ 是否绝对收敛（与 \(\alpha\) 有关？）

\(\dfrac{1}{n^{\alpha}}\arctan\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sim\dfrac{1}{n^{\alpha+\frac12}}\to 0\)（\(n\to\infty\)），

• 当 \(\alpha>\dfrac12\)：绝对收敛（\(\alpha>\tfrac12\)）；
• 当 \(-\dfrac12<\alpha\le\dfrac12\)：条件收敛；
• 当 \(\alpha\le-\dfrac12\)：发散。

学姐笔记 P73

本页为填空 / 判断题练习（例7–例13），红字为学姐手写批注与答案。

例7

设函数 \(f(x)=\dfrac{x}{\ln\frac{1}{1-x}}\) 在 \(\left(0,\frac{1}{2}\right)\) 上能展开成幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^{n}\)，则 \(c_0=\underline{\;\;}\)，\(c_1=\underline{\;\;}\)。

批注：顶部红字给出 \(f(0)=\dfrac{1}{\ln 2}\cdot\dfrac{1}{(1-x)}=\dfrac{1}{2}\)；并标注 \(c_0=f(0)=\dfrac{1}{2}\)，\(c_2=\dfrac{f''(0)}{2!}\)（即用泰勒系数 \(c_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\) 求各项系数）。

例8

二次积分 \(\displaystyle\int_0^{\pi}\mathrm dy\int_0^{\pi}\bigl|\sin(x^2+y)\bigr|\,\mathrm dy=\underline{\;\;}\)。

批注：红字「换序」，答案标注为 \(2\pi\)。

例9

球面 \(\Sigma:\;x^2+y^2+z^2=1\) 上的曲面积分 \(\displaystyle\oiint\bigl((x-y)^2+3z^2\bigr)\,\mathrm dS=\underline{\;\;}\)。

例10

函数 \(f(x,y)=x^2\cos(y+3z)\) 的梯度向量在点 \((1,0,0)\) 处的散度 \(\operatorname{div}(\nabla f)\big|_{(1,0,0)}=\underline{\;\;}\)。

例11

微分方程 \(y\,\mathrm dx+(\cos 2y+x)\,\mathrm dy=0\) 的通解为 \(\underline{\;\;}\)。

例12

积分 \(\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{\ln(1+x^2)}{x}\,\mathrm dx=\underline{\;\;}\)（结果用级数表示）。

例13　判断对错，对的证明，错误的举反例

• (1) 若幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n}\) 的收敛半径为 \(R\,(>0)\)，则 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{1}{R}\)。
  批注：「交错级数 or 缺项级数」（提示此结论错误，反例可取交错或缺项幂级数）。
• (2) 若 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{a_n a_{n+1}}\) 收敛（\(a_n>0\)），则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛。
• (3) 级数 \[ \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\cdots \] 收敛。[?]

批注（左下红字，针对 (2)）：构造反例的通项 \[ a_{2k+1}=\frac{1}{(2k+1)^{5}},\qquad a_{2k}=\frac{1}{2k}. \]

学姐笔记 P74

例14（2016）

设曲线 \(C\) 是 \(xoy\) 平面上的一段光滑曲线。在 \(xoy\) 平面上求一点 \((a,b)\)，使得 \[ F(a,b)=\int_{C}\bigl[(x-a)^2+(y-b)^2\bigr]\,\mathrm ds \] 最小，并指出 \((a,b)\) 点的意义。

分析：透过现象看本质。

本质：多元函数的最值问题。\(F(a,b)\) 如何求导？

批注（红字推导）：

令偏导为零取驻点比大小： \[ \begin{cases}F_a=0\\[2pt]F_b=0\end{cases}\ \Rightarrow\ \text{驻点，比大小} \] 展开 \[ F(a,b)=\int x^2\,\mathrm ds-2a\!\int x\,\mathrm ds+a^2\!\int\mathrm ds+\int y^2\,\mathrm ds-2b\!\int y\,\mathrm ds+b^2\!\int\mathrm ds, \] \[ F_a=-2\!\int x\,\mathrm ds+2a\!\int\mathrm ds,\qquad F_b=-2\!\int y\,\mathrm ds+2b\!\int\mathrm ds. \] （令 \(F_a=F_b=0\) 即得 \((a,b)\) 为曲线 \(C\) 的质心 / 形心。）

例15

设数列 \(\{a_n\}\,\{b_n\}\) 满足 \(0

证明：(1) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\)；(2) 级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n}{b_n}\) 收敛。

批注（红字）：由条件 \(\cos a_n-a_n=\cos b_n\) 得 \(\cos a_n>\cos b_n\)，故 \(a_n

例16

已知 \(f(x)\) 可导，且 \(f(0)=1\)，\(0

(1) 证明 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_n)\) 绝对收敛；

(2) 证明极限 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n\) 存在，且 \(1<\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n<2\)。

批注（红字）：记 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=B\)。由 \[ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{\infty}(x_{k+1}-x_k)+x_1 \] 且 \(x_1=f(0)=1\)，可知 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_n)\in(0,1)\)。又 \[ B-1=f(B)-f(0)=f'(\xi)\,B<\tfrac{1}{2}B, \] 由此估出 \(1

例17

设 \(I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n}x\,\mathrm dx,\ n\in\mathbb Z^{+}\)。

(1) 若 \(n\ge 2\)，计算 \(I_n+I_{n-2}\)；

(2) 设 \(p\) 为实数，讨论级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}I_n^{p}\) 的敛散性。

分析：(2) 利用 (1) 估计 \(I_n^{p}\) 的范围。

（A: \(p>1\) 绝对收敛，\(0

批注（红字）：由 \(I_{n+2}+I_n<2I_n