10.2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） 📖 笔记p42-43

设 $L$ 是平面上从 $A$ 到 $B$ 的一条有向光滑（或逐段光滑）曲线，$P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $L$ 上连续。将 $L$ 分成 $n$ 段，第 $i$ 段的起点 $(x_{i-1}, y_{i-1})$、终点 $(x_i, y_i)$，令 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，$\Delta y_i = y_i - y_{i-1}$。在每段上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，若极限

存在且与分割方式和取点方式无关，则称此极限为 $P\dd x + Q\dd y$ 沿 $L$ 的第二类曲线积分，记作

其中 $\lambda = \max_i\{|\Delta s_i|\}$ 是最大弧段长度。当 $P$、$Q$ 在 $L$ 上连续时，积分存在。

设 $L^-$ 表示与 $L$ 方向相反的曲线（即从 $B$ 回到 $A$），则

设有向曲线 $L$ 的参数方程为

其中 $t=\alpha$ 对应起点 $A$，$t=\beta$ 对应终点 $B$。则

曲线 $L$ 可以表示为 $y=y(x)$（以 $x$ 为参数），方向为 $x$ 从 $a$ 到 $b$，则

注意：$\dd x$ 前面的系数是 $1$（因为 $x$ 本身就是参数，$x'(x)=1$），$\dd y = y'(x)\dd x$。

若曲线更方便表示为 $x=x(y)$（以 $y$ 为参数），则

此时 $\dd y$ 前面系数为 $1$（因为 $y$ 就是参数），$\dd x = x'(y)\dd y$。

设有向曲线 $L$ 在点 $(x,y)$ 处的单位切向量为 $\vec{\tau} = (\cos\alpha,\sin\alpha)$（$\alpha$ 是切线方向与 $x$ 轴正方向的夹角），则

从而

设空间有向曲线 $\Gamma$ 的参数方程为 $x=x(t)$，$y=y(t)$，$z=z(t)$，$t:\alpha\to\beta$（$\alpha$ 对应起点，$\beta$ 对应终点），$P$、$Q$、$R$ 在 $\Gamma$ 上连续，则

其中 $P=P(x(t),y(t),z(t))$，$Q$、$R$ 类似。

识别特征：给定具体曲线（直线段、圆弧、抛物线等）和方向，要求计算 $\int_L P\,\dd x + Q\,\dd y$。

标准步骤：

1. 写出曲线的参数方程 $x=x(t)$，$y=y(t)$
2. 确定参数方向：起点对应的 $t$ 值做下限，终点对应的 $t$ 值做上限
3. 计算 $x'(t)$，$y'(t)$，代入公式 $\int_\alpha^\beta[Px'+Qy']\,\dd t$

易错点：

• 参数上下限的方向！不要像第一类积分那样强制小在下、大在上
• 圆弧方向：逆时针 $t:0\to\pi$，顺时针 $t:\pi\to 0$，别搞反

mini 例：$L$：$(R,0)\to(-R,0)$ 上半圆逆时针，$\int_L x\,\dd y = \int_0^\pi R\cos t\cdot R\cos t\,\dd t = \frac{\pi R^2}{2}$。

识别特征：曲线由多段组成（折线、分段函数等），需要对每段分别计算。

标准步骤：

1. 将路径拆分为若干光滑段 $L_1, L_2, \ldots$
2. 对每段分别参数化并计算积分
3. 利用路径可加性求和：$\int_L = \int_{L_1}+\int_{L_2}+\cdots$

速解技巧：

• 水平线段上 $\dd y=0$，竖直线段上 $\dd x=0$，可立即消去一项
• 轴上行走时 $y=0$ 或 $x=0$，进一步简化被积函数

识别特征：被积表达式 $P\dd x+Q\dd y$ 恰好是某个函数的全微分，即 $\frac{\pp P}{\pp y} = \frac{\pp Q}{\pp x}$。

标准步骤：

1. 验证 $\frac{\pp P}{\pp y} \stackrel{?}{=} \frac{\pp Q}{\pp x}$
2. 若成立，找原函数 $F$ 使得 $F_x=P$，$F_y=Q$
3. $\int_L P\,\dd x+Q\,\dd y = F(B)-F(A)$（端点值之差，与路径无关）
4. 特别地，封闭曲线上全微分积分 $=0$

找原函数的方法：

• 先对 $x$ 积分：$F=\int P\,\dd x + C(y)$
• 再对 $y$ 求偏导令其等于 $Q$，确定 $C(y)$

常见全微分：$\dd(xy) = y\dd x+x\dd y$；$\dd(x^2+y^2)=2x\dd x+2y\dd y$；$\dd(e^x\cos y) = e^x\cos y\,\dd x - e^x\sin y\,\dd y$。

识别特征：曲线 $L$ 是封闭的（$A=B$），或可以通过补线构成封闭曲线。

核心公式（10.3 节详细讲）：

其中 $D$ 是 $L$ 所围区域，$L$ 取正向（逆时针）。

速判：若 $\frac{\pp Q}{\pp x}-\frac{\pp P}{\pp y}$ 是常数或简单函数，Green 公式远比直接参数化高效。

特例：$\frac{\pp Q}{\pp x}-\frac{\pp P}{\pp y}=0$ $\Rightarrow$ 积分与路径无关，封闭曲线积分为零。

识别特征：空间曲线 $\Gamma$，计算 $\int_\Gamma P\,\dd x+Q\,\dd y+R\,\dd z$。

标准步骤：

1. 写出空间曲线的参数方程 $x=x(t)$，$y=y(t)$，$z=z(t)$
2. 代入 $\int_\alpha^\beta[Px'+Qy'+Rz']\,\dd t$

常见曲线：空间直线段、螺旋线 $(a\cos t, a\sin t, bt)$、两曲面交线。

注意：三维情形没有 Green 公式的直接类比（需要用 Stokes 公式，不在本节范围内）。通常只能参数化硬算。

1. 先查全微分：检验 $\frac{\pp P}{\pp y}\stackrel{?}{=}\frac{\pp Q}{\pp x}$。若相等 $\Rightarrow$ 找原函数 $F$，$\int_L=F(B)-F(A)$。这是最快的方法！
2. 封闭曲线？ 若是，考虑 Green 公式：$\oint_L = \iint_D\left(\frac{\pp Q}{\pp x}-\frac{\pp P}{\pp y}\right)\dd\sigma$。
3. 以上都不行 $\Rightarrow$ 参数化法：
   • 简单曲线（直线段、坐标轴、圆弧）直接写参数方程
   • 分段曲线：拆分后逐段计算再求和
4. 特殊技巧：
   • 补线成封闭曲线 $\to$ Green 公式
   • 利用对称性：奇函数在对称路径上积分为零
   • 利用两类联系公式转化

1. 参数化公式：$\displaystyle\int_L P\,\dd x+Q\,\dd y=\int_\alpha^\beta[P\,x'(t)+Q\,y'(t)]\,\dd t$，下限=起点参数、上限=终点参数（可大可小，不强制 $\alpha<\beta$）。
2. 方向性：$\displaystyle\int_{L^-}=-\int_L$（反向变号，因 $\dd x,\dd y$ 带符号）。
3. 路径无关四等价（单连通）：$Q_x=P_y\ \Leftrightarrow\ $ 闭路积分 $=0\ \Leftrightarrow\ P\dd x+Q\dd y$ 是全微分 $\Leftrightarrow$ 存在原函数 $u$，$\displaystyle\int_L=u(\text{终})-u(\text{起})$。
4. Green 公式：$\displaystyle\oint_L P\,\dd x+Q\,\dd y=\iint_D(Q_x-P_y)\,\dd\sigma$（$L$ 正向 = 逆时针，区域在左）。
5. 面积公式：$S=\displaystyle\oint_L x\,\dd y=-\oint_L y\,\dd x=\tfrac12\oint_L(x\,\dd y-y\,\dd x)$；椭圆 $\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1$ 面积 $\pi ab$。
6. 凑全微分黄金组合：$y\dd x+x\dd y=\dd(xy)$；$\dfrac{x\dd y-y\dd x}{x^2}=\dd(\tfrac yx)$；$\dfrac{x\dd y-y\dd x}{x^2+y^2}=\dd(\arctan\tfrac yx)$；$x\dd x+y\dd y=\tfrac12\dd(x^2+y^2)$。
7. 挖洞法：被积含 $\dfrac{1}{x^2+y^2}$ 型奇点且区域含原点 $\Rightarrow$ 挖小圆，外逆内顺。